定西市通渭县2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年甘肃省定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R， A=x|x0， B=x|x1，则集合 U（ A B） =（ ） A x|x0B x|x1C x|0x1D x|0 x 1 2下列语句中，是命题的个数是（ ） |x+2|； 5Z； R； 0N A 1B 2C 3D 4 3双曲线 3 的实轴长是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 4若 a b，则下列不等式正确的是（ ） A B a |b| 5已知数列 前 n 项和为 Sn=，则 a9+值为（ ） A 39B 40C 57D 58 6公比为 2 的等比数列 的各项都是正数，且 6，则 ） A 4B 2C 1D 8 7若不等式 2 0 的解集为 则 a+b 等于（ ） A 18B 8C 13D 1 8在 ， a=2， b= ， A= ，则 B=（ ） A B C D 9已知平面 和平面 的法向量分别为 =（ 3， 1， 5）， =（ 6， 2， 10），则（ ） A B C 与 相交但不垂直 D以上都不对 10在下列 各函数中，最小值等于 2 的函数是（ ） A y=x+ B y=（ 0 x ） C y= D y= 11有关下列命题，其中说法错误的是（ ） A命题 “若 3x 4=0，则 x=4”的逆否命题为 “若 x4，则 3x 40” B “3x 4=0”是 “x=4”的必要不充分条件 C若 pq 是假命题，则 p， q 都是假命题 D命题 p： xR，使得 x2+x+1 0，则 p： xR，都有 x2+x+10 第 2 页（共 17 页） 12设椭圆 + =1 与双曲线 有公共焦点为 P 是两条曲线的一个公共点，则 值等于（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分共 20分） 13已知长方形 ， ，则以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为 14在 ，角 A， B， C 所对应的边分别是 a， b， c，若 a2+角 B 的值是 15设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 16关于 x 的不等式 b 0 的解集是（ 1， +），则关于 x 的不等式 0 的解集是 三、解答题：（本大题共 6小题，共计 70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 .） 17已知命题 p：关于 x 的不等式 0，对一切 xR 恒成立， q：函数 f（ x） =（ 3 2a） p 或 q 为真， p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围 18已知函数 f（ x） =（ 2 2 （ ）求 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； （ ）求函数 f（ x）在 上的值域 19已知 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=2， （ ）若 b=4，求 值； （ ） 若 面积 S 求 b， c 的值 20已知等差数列 足： ， a5+6 前 n 项和为 （ ）求 n； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 21如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=2， （ 1）证明： （ 2）求二面角 A D 的正弦值； （ 3）设 E 为棱 的点，满足异面直线 成的角为 30，求 长 第 3 页（共 17 页） 22已知椭圆 G： =1（ a b 0）的离心率为 ，右焦点为（ 2 ， 0），斜率为1 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、 B 两点，以 底边作等腰三角形，顶点为 P（ 3， 2） （ ）求椭圆 G 的方程； （ ）求 面积 第 4 页（共 17 页） 2015年甘肃省定西市通渭县高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题 解析 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知全集 U=R， A=x|x0， B=x|x1，则集合 U（ A B） =（ ） A x|x0B x|x1C x|0x1D x|0 x 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先求 A B，再根据补集的定义求 A B） 【解答】 解： A B=x|x1 或 x0， A B） =x|0 x 1， 故选： D 2下列语句中，是命题的个数是（ ） |x+2|； 5Z； R； 0N A 1B 2C 3D 4 【考点】 四种命题 【分析】 用命题的定义，即验证每个语句是否能判断对错，依次验证即可得解 【解答】 解： 不能判断对错， 不是命题 能判断对错， 是命题，且是真命题 能判断对错， 是命题，且是假命题 能判断对错， 是命题，且是假命题 是命题的由 3 个 故选 C 3双曲线 3 的实轴长是（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的标准方程进行求解即可 【解答】 解：双曲线的标准方程为 =1， 则 ，则 a= ， 即双曲线 3 的实轴长 2a=2 ， 故选： A 4若 a b，则下列不等式正确的是（ ） A B a |b| 【考点】 不等式的基本性质 第 5 页（共 17 页） 【分析】 在 A 中，当 a， b 同号时， ；在 B 中， a b C 中，当 a， b 都是负数时， D 中，当 a， b 都是负数时， a |b| 【解答】 解：在 A 中，当 a b，且 a， b 同号时， ，故 A 错误； 在 B 中， a b， B 正确； 在 C 中，当 a， b 都是负数时，由 a b，得到 C 错误； 在 D 中，当 a， b 都是负数时，由 a b，得到 a |b|，故 D 错误 故选： B 5已知数列 前 n 项和为 Sn=，则 a9+值为（ ） A 39B 40C 57D 58 【考点】 数列递推式 【分析】 根据题意和 求出的 入通项公式即可求出所求式子的值 【解答】 解：当 n=1 时， 2+1=2， 当 n2 时， n 1= （ n 1） 2+1=2n 1， 又 n=1 时， 1=1，不满足上式， 其通项公式为 ， a9+7+19+21=57， 故选： C 6公比为 2 的等比数列 的各项都是正数，且 6，则 ） A 4B 2C 1D 8 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公 式求解 【解答】 解： 公比为 2 的等比数列 的各项都是正数，且 6， ，且 0， 解得 ， =1 故选： C 7若不等式 2 0 的解集为 则 a+b 等于（ ） A 18B 8C 13D 1 【考点】 一元二次方程的根的分布与系数的关系； 一元二次不等式与一元二次方程 第 6 页（共 17 页） 【分析】 通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数 a， b，即可求出 a+b 【解答】 解： 不等式 2 0 的解集为 是 2=0 的两个根 解得： a+b= 13 故选 C 8在 ， a=2， b= ， A= ，则 B=（ ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 根据正弦定理 求得 再由 b a 可得 B A，从而求得 B 的值 【解答】 解：在 ，由于 a=2， b= ， A= ，则根据正弦定理可得 ， 即 = ，求得 再由 b a 可得 B A， B= ， 故选 B 9已知平面 和平面 的法向量分别为 =（ 3， 1， 5）， =（ 6， 2， 10），则（ ） A B C 与 相交但不垂直 D以上都不对 【考点】 平面的法向量 【分析】 根据法向量平行可知两平面平行 【解答】 解： =（ 3， 1， 5）， =（ 6， 2， 10）， = 2 ， ， 故选： B 第 7 页（共 17 页） 10在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是（ ） A y=x+ B y=（ 0 x ） C y= D y= 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式 【分析】 通过取 x 0 时， A 显然不满足条件对于 B： y=2，当 时取等号，但 0 x ，故 ， B 显然不满足条件对于 C：不能保证 = ，故错；对于 D： 0， 22 2=2，从而得出正确选项 【解答】 解：对于选项 A：当 x 0 时， A 显然不满足条件 选项 B： y=2，当 时取等号，但 0 x ，故 ， B 显然不满足条件 对于 C：不能保证 = ，故错； 对于 D： 0， 22 2=2， 故只有 D 满足条件， 故选 D 11有关下列命题，其中说法错误的是（ ） A 命题 “若 3x 4=0，则 x=4”的逆否命题为 “若 x4，则 3x 40” B “3x 4=0”是 “x=4”的必要不充分条件 C若 pq 是假命题，则 p， q 都是假命题 D命题 p： xR，使得 x2+x+1 0，则 p： xR，都有 x2+x+10 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用命题的四种命题间的相互转换判断 A 的正误；利用一元二次方程的性质判断 用复命题的性质判断 C 的正误；利用特称命题判断 D 的正误 【解答】 解：在 A 中：否定命题 “若 3x 4=0，则 x=4”的条 件作结论， 否定命题 “若 3x 4=0，则 x=4”的结论作条件， 得到命题 “若 3x 4=0，则 x=4”的逆否命题为 “若 x4，则 3x 40”， 故 A 正确； 在 B 中： “3x 4=0”“x=4，或 x= 1”， “x=4”“3x 4=0”， “3x 4=0”是 “x=4”的必要不充分条件，故 B 正确； 在 C 中：若 pq 是假命题，则 p， q 至少有一个是假命题， 故 C 错误； 第 8 页（共 17 页） 在 D 中： 命题 p： xR，使得 x2+x+1 0 是特称命题， p： xR，都有 x2+x+10，故 D 正 确 故选 C 12设椭圆 + =1 与双曲线 有公共焦点为 P 是两条曲线的一个公共点，则 值等于（ ） A B C D 【考点】 圆锥曲线的共同特征 【分析】 先求出公共焦点分别为 联立方程组求出 P，由此可以求出 ， 【解答】 解：由题意知 2， 0）， 2， 0）， 解方程组 得 取 P 点坐标为（ ）， = 故选 B 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分共 20分） 13已知长方形 ， ，则以 A、 B 为焦点，且过 C、 D 两点的椭圆的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由已知 c=2， =3a4=3aa=4，由此可以求出该椭圆的离心率 【解答】 解： ， ， A、 B 为焦点， c=2， =3， a， 4=3a a=4， 第 9 页（共 17 页） e= 故答案： 14在 ，角 A， B， C 所对应的边分别是 a， b， c，若 a2+角 B 的值是 【考点】 余弦定理 【分析】 直接利用余弦定理求出 B 的余弦值，推出 B 的值即可 【解答】 解：在 ，角 A， B， C 所对应的边分别是 a， b， c，若 a2+ 由余弦定理可知 = ，因为 B 是三角形内角，所以 B= 故答案为： 15设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 10 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出约束条件 ，的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式， 分析后易得目标函数 z=4x+2y 的最大值 【解答】 解：由约束条件 ，得如图所示的三角形区域， 三个顶点坐标为 A（ 2， 1）， B（ 1， 2）， C（ 0， 1） 将三个代入得 z 的值分别为 10， 8， 2 直线 z=4x+2y 过点 A （ 2， 1）时， z 取得最大值为 10； 故答案为： 10 第 10 页（共 17 页） 16关于 x 的不等式 b 0 的解集是（ 1， +），则关于 x 的不等式 0 的解集是 1， 2） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 根据不等式 b 0 的解集求出 a 与 b 的关系和符号，化简所求的不等式，并将等价转为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集 【解答】 解： 不等式 b 0 的解集是（ 1， +）， 方程 b=0 的解 x=1，可得 a=b 0， 则不等式 化为： ，即 ， ，解得 1x 2， 即不等式的解集是 1， 2）， 故答案为： 1， 2） 三、解答题：（本大题共 6小题，共计 70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 .） 17已知命题 p：关于 x 的不等式 0，对一切 xR 恒成立， q：函数 f（ x） =（ 3 2a） p 或 q 为真， p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 容易求出命题 p 为真时， 2 a 2，而 q 为真时， a 1由 p 或 q 为真， p 且 p 真 q 假，或 p 假 q 真两种情况，求出每种情况的 a 的范围，再求并集即可得出实数 a 的取值范围 【解答】 解： 若命题 p 为真，则： =416 0， 2 a 2； 若命题 q 为真，则： 3 2a 1， a 1； 若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，则 p 真 q 假，或 p 假 q 真； ，或 ； 1a 2，或 a 2； 实数 a 的取值范围为（ ， 2 1， 2） 第 11 页（共 17 页） 18已知函数 f（ x） =（ 2 2 （ ）求 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； （ ）求函数 f（ x）在 上的值域 【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性 【分析】 （ ）化简可得 f（ x） = 2x ），可得周期为 ，由 22x2，解 x 的范围可得单调递增区间； （ ）由 x 的范围可得 2x 的范围，进而可得 2x 的范围，由正弦函数的知识可得 2x ）的范围，进而可得答案 【解答】 解：（ ）由题意可得 f（ x） =21+22x ） 故函数 f（ x）的最小正周期为 T= =， 由 22x 2，可得 x， 故函数的单调递增区间为： ， ，（ kZ）； （ ） x ， 2x ， 2x ， 故 2x ） ，所以 2x ） ， 故函数 f（ x）在 上的值域为： 19已知 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=2， （ ）若 b=4，求 值； （ ） 若 面积 S 求 b， c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ ）先求出 ，再利用正弦定理求 值； （ ）由 面积 S 求 c 的值，利用余弦定理求 b 的值 【解答】 解：（ ） ， a=2， b=4， 第 12 页（共 17 页） = = ； （ ） S = 2c ， c=5， b= = 20已知等差数列 足： ， a5+6 前 n 项和为 （ ）求 n； （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ ）设等差数列 公差为 d，由于 ， a5+6，可得 ，解得 d，利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 （ ）由（ I）可得 = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ ）设等差数列 公差为 d， ， a5+6， ，解得 ， d=2， +2（ n 1） =2n+1； =n （ ） = = = ， = = 21如图，在四棱锥 P ， 平面 5，D=2， （ 1）证明： （ 2）求二面角 A D 的正弦值； （ 3）设 E 为棱 的点，满足异面直线 成的角为 30，求 长 第 13 页（共 17 页） 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法 【分析】 解法一（ 1）以 A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出 =0，证出 （ 2）求出平面 面 一个法向量，利用两法向量夹角求解 （ 3）设 E（ 0， 0， h），其中 h0， 2，利用 = ，得出关于 h 的方程求解即可 解法二：（ 1）通过证明 平面 出 （ 2）作 点 H，连接 二面角 A D 的平面角在 （ 3）因为 45，故过点 B 作 平行线必与线段 交，设交点为 F，连接 其补角）为异面直线 成的角在 ，因为 E，从而 0，由余弦定理得出关于 h 的方程求解即可 【解答】 解法一：如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系，则 A（ 0， 0， 0）， D（ 2， 0，0）， C（ 0， 1， 0）， B（ ， ， 0）， P（ 0， 0， 2） （ 1）证明：易得 =（ 0， 1， 2）， =（ 2， 0， 0），于是 =0，所以 （ 2）解： =（ 0， 1， 2）， =（ 2， 1， 0），设平面 一个法向量为 =（ x， y，z），则 即 取 z=1，则以 =（ 1， 2， 1）又平面 一个法向量为 =（ 1， 0， 0），于是 = = ， = 所以二面角 A D 的正弦值为 第 14 页（共 17 页） （ 3）设 E（ 0， 0， h），其中 h0， 2，由此得 =（ ， ， h）由 =（ 2， 1， 0），故 = = = 所以 = ，解得 h= ，即 解法二：（ 1）证明：由 平面 得 又由 C=A，故 平面 又 面 所以 （ 2）解：如图，作 点 H，连接 由 得 平面 此 而 二面角 A