行星齿轮减速器设计毕业论文.doc

行星齿轮减速器设计毕业论文目 录摘 要1Abstract21、前 言31.1研究行星齿轮减速器的目的、意义31.2国内外行星齿轮减速器发展概况32、行星齿轮减速器方案确定52.1设计背景52.2行星齿轮减速器的传动型式52.3传动简图53、行星齿轮传动尺寸设计63.1传动比分配63.2配齿计算73.3齿轮主要参数计算73.4装配条件验算123.5传动效率的计算134、齿轮传动强度的校核154.1高速级齿轮啮合疲劳强度校核计算154.1.1外啮合齿轮副中接触强度的校核154.1.2外啮合齿轮副中弯曲强度的校核174.1.3高速级齿轮内啮合接触强度的校核184.2低速级齿轮啮合疲劳强度的校核194.2.1低速级外啮合接触疲劳强度校核194.2.2低速级外啮合齿根弯曲疲劳强度的校核214.2.3低速级内啮合齿轮副中接触强度的校核225、主要构件的结构设计与计算245.1轴的设计245.1.1输入轴245.1.2输出轴255.1.3行星轴265.2齿轮的设计275.2.1太阳轮设计275.2.2行星轮设计285.2.3内齿轮305.3行星架设计315.4齿轮联轴器设计345.4.1齿轮联轴器的几何计算355.4.2齿轮联轴器的强度计算356、三维建模366.1行星齿轮减速器装配图366.2行星齿轮减速器爆炸图37总 结38参考文献39致 谢401、前 言1.1研究行星齿轮减速器的目的、意义本次通过对行星齿轮减速器设计，利用绘图软Pro/ENGINEER5.0对其相关结构进行建模，便于分析，熟练使用三维软件，不但培养我们把所学相关的专业知识综合利用的能力，而且加深对行星齿轮减速速器的工作原理与结构的认知，是一次很好的将理论与实践相结合的锻炼机会。对于我自身来说，可以深入学习绘图软件，提高自学能力；大的方面则是为机械齿轮传动作出轻微贡献，行星齿轮传动可用于减速、增速和变速传动，运动的合成和分解，以及在特殊的应用中，这些作用对于现代机械传动发展有着十分重要的意义，但这里，我只关注行星齿轮传动作为减速传动的部分。1.2国内外行星齿轮减速器发展概况国外发展:国外行星齿轮减速器应用非常普遍，发展非常迅速，其制造公司有NEWSTART纽氏达特、德国DEMAG、英国ALLEN齿轮公司、瑞士马格MAAG、日本三菱造船公司，以上公司主要体现在高速大功率传动方面；而法国雪特龙（Citroen）、德国法伦达（Flender）公司、日本宇都兴产公司则注重的是低速重载方面。英国ALLEN齿轮公司生产了一台功率为25740KW的压缩机用行星减速器，瑞士马格MAAG生产了一台功率为11030KW的船用行星减速器，日本三菱造船公司制造出了功率为8830KW的船用行星减速器；承载重量一般在50-125t左右。国内发展:我国的行星齿轮减速器生产地主要集中北京、江苏、洛阳、成都，而山东的淄博市博山楷钧源机械厂主要生产的行星齿轮减速器类型有NGW-L型、NGW-S型、NGW系列等其他类型。总的来说，这行业还是有了很大的提高，体现在起重运输、轻工化工、工程机械等设备上。在1975年，制定了三个系列的NGW型行星减速器系列；在1984年，颁布了NGW-L、NGW-S、NGW-Z系列的标准，全国拥有齿轮制造企业600多家，减速器制造企业400家，这就为我国的机械行业作出了重大贡献。2、行星齿轮减速器方案确定2.1设计背景试为一卷筒直径为3.5m的卷扬机设计行星齿轮减速器，高速轴通过弹性联轴器与电动机直接联接，已知电动机功率P=850kw，转速n入=950r/min，减速器输出轴转速n出=43r/min，最大输出转矩为Tmax=390103Nm，预期寿命10年。2.2行星齿轮减速器的传动型式 根据上述设计要求可知，此行星齿轮减速器应具有传动效率高，体积小，重量轻，传动比范围大等特点，所以我们采用双级行星齿轮传动。而双级NGW型符合上述要求，所以选用由两个行星齿轮串联而成的双级行星齿轮减速器较为合理。2.3传动简图 b2 b1 c2 c1 H2 H1 a2 a1 输出端 输入端图2.1行星齿轮减速器传动简图3、行星齿轮传动尺寸设计3.1传动比分配 由功率P=850kw,则算出总传动比i=22.09，用角标表示高速级参数，表示低速级参数。设高速级与低速级外啮合齿轮材料、齿面硬度相同，则Hlim=Hlim，取nw=nw，zw=zw，B=1.03，（db为低速级内齿轮分度圆直径，db为高速级内齿轮分度圆直径）Kc1=Kc, d/d=1.86, =1.3，引用多级行星齿轮传动的传动比分配，由式17.2-7得： E=AB3 （3.1）A= 式中：nw行星轮数目； d齿宽系数； Kc载荷不均匀系数见表17.2-16； Kv动载系数； KH接触强度的齿向载荷分布系数； ZN接触强度的寿命系数； ZW工作硬化系数； Hlim计算齿轮的接触疲劳极限。A=2.418E=AB3=2.4181.033=2.64查图17.2-4得i=5.5， i=43.2配齿计算高速级：查表17.2-1选择行星轮数目，取nw=3确定各轮齿数，按配齿方法进行计算=C，适当调整=5.53125使C为整数，Za1=59 Za1=32 Zb1=Cnw1Za1=59332=145Zc1=（Zb1Za1）=（14532）=56.5取Zc1=56，则j=1.01136，由图17.2-3可查出适用的预计啮合角在=20、=1820到=23、=2130的范围内，预取=2130低速级：计算方法同高速级，首先，=C，=40 =30 =C=40330=90 =（）=（9030）=30 j=1预计啮合角在=20、=2010到=22、=21的范围内。3.3齿轮主要参数计算1）按接触强度初算a-c传动的中心距和模数高速级：输入转矩T=9550=9550Nm=8544Nm查表17.2-16，设载荷不均匀系数K=1.15，在一对a-c传动中，太阳轮传递的转矩T=K=1.15=3275Nm 表3.1综合系数K 载荷特性接触强度弯曲强度说 明平 稳中等冲击较大冲击2.03.24.0精度高、布置对称、硬齿面，采取有利于提高强度的变位时取低值，反之取高值由表3.1查得接触强度使用的综合系数K=3，齿数比u=1.75太阳轮和行星轮的材料用20CrMnTi渗碳淬火，齿面硬度5660HRC，查图16.2-18选取=1300MPa，取齿宽系数=0.5按表16.2-20中的公式计算中心距 a483（u+1） （3.2）a=483（1.75+1）=249.7mm模数m1=5.67mm取m=6mm未变位时，a=m（+)=6(32+56)=264mm按预取啮合角=2130，可得a-c传动中心距变动系数，y=（+）（1） =（32+56）（1） =0.438625则中心距a=a+ym=264+0.4386256=266.63175mm取a=267mm低速级：低速级输入转矩T=Ti=85445.50.98=46052NmT=K=1.15=17653.267Nm接触强度使用的综合系数K依然等于3，齿数比u=1，=1300MPa，=0.5由公式3.2得a483（u+1）=483（1+1） =397.6mm模数m=13.25mm，取m=14mm未变位时，a=m(z+z)=14（30+30）=420mm按预取啮合角=21，y=（z+z)(1)=(30+30)(1)=0.1965则中心距a=a+ym =420+0.196514=422.751mm取a=423mm2）计算a-c传动的实际中心距变动系数y和啮合角高速级：y=0.5 cos=cos=cos20=0.9291342 =2042低速级：y=0.214 cos=cos=cos20=0.9330281 =215（注：式中上标与下标1、2表示为高速级、低速级。）3）计算a-c传动变位系数高速级：x=（z+z) =（32+56） =0.52079用图16.2-7校核，x在P5与P6线之间，为综合性能较好区，可用。用图16.2-8分配变位系数，得x=0.31,x=x-x=0.52079-0.31=0.21079低速级：x=（z+z) =(30+30) =0.20111用图16.2-7校核，x在P4与P5线之间，为综合性能较好区，可用。同样，用图16.2-8分配变位系数，得x=0.1,分配变位系数方法如下：先在图16.2-8上找出由和所决定的点，由此点按L射线的方向作一射线，在此射线上找出与z和z相应的点，然后即可从纵坐标轴上查得变位系数x。x=x-x=0.20111-0.1=0.101114）计算c-b传动的中心距变动系数ycb和啮合角c-b传动未变位时高速级：a=(zz)=(14556)=267mm则y=0=20低速级：a=(zz)=（9030）=420mma不等于a 低速级的c-b传动与a-c传动一样，y=y=0.214=215）计算c-b传动的变位系数高速级： =20 x=0x=x+x=0+0.210790.21低速级： z+z=zz x=x=0.20111x=x+x=0.20111+0.10111=0.302220.36）几何尺寸计算高速级：见表3.2 （单位：mm)低速级：见表3.3表3.2高速级几何尺寸名称分度圆直径齿顶圆直径齿根圆直径公式d=mz外:d=d+2(h+x-)m 内:d=d-2(h-x+-k)md=d-2(h+c-x)m,d=d+2( h+c+x)mad =192d=207.470d=180.720cd =336d=350.280d=323.529bd =870d=863.205d=887.520表3.3 低速级几何尺寸名称分度圆直径齿顶圆直径齿根圆直径公式d=mz外:d=d+2(h+x-)m 内:d=d-2(h-x+-k)md=d-2(h+c-x)d=d+2( h+c+x)mad =420d=450.439d=387.8cd =420d=450.470d=387.831bd =1260d=1245.989d=1303.43.4装配条件验算对于我设计的双级NGW型的行星齿轮传动应满足如下装配条件：1） 邻接条件 按公式验算邻接条件，即 2asind （3.3）d行星轮的齿顶圆直径已知高速级的a=267mm，d=350.280mm，n=32267sin=462.457350.280mm，从而满足邻接条件；已知低速级的a=423mm,d=450.470mm2423sin=732.657mm450.470mm,满足邻接条件。2）同心条件 按z+2z=z的条件，已知高速级，z=32, z=145, z=56则满足同心条件；已知低速级，z=30， z=90， z=30 满足同心条件。3）安装条件按此公式验算， =C（整数）=59（整数） 高速级满足安装条件=40（整数） 低速级满足安装条件3.5传动效率的计算双级NGW型是由基本的行星齿轮传动串联而成的，故传动效率为 （3.4）而=1，=1，p=高速级啮合损失系数的确定在转化机构中，其损失系数等于啮合损失系数和轴承损失系数之和，即，=+，这里计算时轴承损失系数为0其中， =+ （3.5）转化机构中中心轮a1与行星轮c1之间的啮合损失转化机构中中心轮b1与行星轮c1之间的啮合损失 =（） （3.6） =（） （3.7）高速级中外啮合的重合度查图16.2-10可得，=0.84+0.89=1.73内啮合的重合度=0.89+0.94=1.833.6与3.7式中 啮合摩擦系数，取=0.2 齿轮副中小齿轮的齿数 齿轮副中大齿轮的齿数=1.730.2（）=0.02667=1.830.2（）=0.00629=0.02667+0.00629=0.03296而p=4.53125 则=1=10.03296=0.972低速级啮合损失系数的确定低速级中啮合的重合度查图16.2-10可得=0.83+0.83=1.66， =0.83+0.92=1.75=1.660.2（）=0.03474=1.750.2（）=0.01221=0.03474+0.01221=0.04695p=3=1=10.04695=0.965 综上所述，总的传动效率为=0.9720.965=0.93798由此可见，该行星齿轮传动效率高，满足使用要求。4、齿轮传动强度的校核4.1高速级齿轮啮合疲劳强度校核计算4.1.1外啮合齿轮副中接触强度的校核1）使用系数K 考虑到由齿轮啮合外部因素引起的附加动载荷影响的系数，它与原动机和工作机的特性，轴和连轴器系统的质量和刚度以及运行状态有关，原动机工作平稳，为中等振动,3取K=1.752）动载系数K考虑齿轮的制造精度，运转速度对轮齿内部附加动载荷影响的系数,3由式16.2-12得，K=1.1083）齿向载荷分布系数 考虑沿齿向载荷分布不均匀影响的系数,3按表16.2-40、41公式计算确定，=1.1254）齿间载荷分配系数K考虑同时啮合的各对轮齿间载荷分配不均匀影响的系数,3由表16.2-42查得，K=15）行星齿轮间载荷分配不均匀系数考虑在各个行星齿轮间载荷分配不均匀对齿接触应力影响的系数,3=1.46）节点区域系数考虑节点啮合处法面曲率与端面曲率的关系，并把节圆上的圆周力换算为分度圆上的圆周力，把法面圆周力换算为端面圆周力的系数，3其计算公式为 Z= （4.1）式中分度圆端面压力角；节圆端面啮合角；基圆柱螺旋角，取Z=2.57）弹性系数 考虑配对齿轮的材料弹性模量E和泊松比对接触应力影响的系数,3公式为 = （4.2）取=189.808）重合度 考虑端面重合度、纵向重合度对齿面接触应力影响的系数3 = （4.3） 取=0.8979）螺旋角系数 考虑螺旋角对齿面接触应力影响的系数,3=，取=110）最小安全系数S 考虑齿轮工作可靠性的系数3，取S=111）接触强度计算的寿命系数 考虑当齿轮只要求有限寿命时，齿轮的接触疲劳极限可以提高的系数3按表16.2-44中公式计算得，=1.03812）润滑油膜影响系数 考虑润滑油粘度、圆周速度、以及齿面粗糙度对润滑油膜影响的系数,3取=113）工作硬化系数 考虑经光整加工的硬齿面小齿轮在运转过程中对调质钢大齿轮齿面产生冷作硬化，从而使大齿轮的齿面接触疲劳极限提高的系数，3取=114）接触强度计算的尺寸系数 考虑计算齿轮的模数大于试验齿轮的模数时，由于尺寸效应使齿轮的齿面接触疲劳极限降低的系数,3取=1.04315）分度圆上的切向力查表16.2-32得: = （4.4）而=2848Nm=27454.57N接触应力: = （4.5）=2.5189.800.897 =785.38MPa许用接触应力=1407MPa满足接触疲劳强度条件4.1.2外啮合齿轮副中弯曲强度的校核1）齿向载荷分布系数由表16.2-40、41，取=1.3012）齿间载荷分布系数由表16.2-42，取=1.13）行星轮载荷分布系数取=1.314）太阳轮、行星轮齿形分布系数、=2.43，=2.615）太阳轮、行星轮应力修正系数、=1.64，=1.536）重合度系数由图16.2-25，=0.727）抗弯强度计算的尺寸系数由表16.2-49得，=1.028）抗弯强度计算的寿命系数查表16.2-47得，=0.8579）太阳轮、行星轮齿根圆角敏感性系数、查表16.2-48得，=1，=110）相对表面状况系数由式16.2-21至16.2-23得，=0.98711）弯曲强度最小安全系数查表16.2-46得，=1.10齿根弯曲应力=119.32MPa=110.36MPa取=119.32MPa许用弯曲应力=235.30MPa 满足齿根弯曲强度条件4.1.3高速级齿轮内啮合接触强度的校核内啮合齿轮副中弯曲强度可以忽略，主要表现为接触强度的计算，而校核与外啮合齿轮副的接触强度校核相似。选择参数K=1.128，=1.225，K=1，=1.42，Z=2.48，=189.80，=0.987，=1，S=1，=1.058，=1，=1，=1.056，u=2.58,=750MPa接触应力= =2.48189.800.987=664.45MPa许用接触应力=837.9MPa 满足接触疲劳强度条件4.2低速级齿轮啮合疲劳强度的校核4.2.1低速级外啮合接触疲劳强度校核1）使用系数K考虑到由齿轮啮合外部因素引起的附加动载荷影响的系数，它与原动机和工作机的特性，轴和连轴器系统的质量和刚度以及运行状态有关，原动机工作平稳，为中等振动,3取K=1.752）动载系数K考虑齿轮的制造精度，运转速度对轮齿内部附加动载荷影响的系数,3由式16.2-12得，K=1.0953）齿向载荷分布系数 考虑沿齿向载荷分布不均匀影响的系数，按表16.2-40、41公式计算确定,3=1.1024）齿间载荷分配系数K考虑同时啮合的各对轮齿间载荷分配不均匀影响的系数3，由表16.2-42查得，K=15）行星齿轮间载荷分配不均匀系数考虑在各个行星齿轮间载荷分配不均匀对齿接触应力影响的系数,3=1.356）节点区域系数 考虑节点啮合处法面曲率与端面曲率的关系，并把节圆上的圆周力换算为分度圆上的圆周力，把法面圆周力换算为端面圆周力的系数，3其计算公式为式5.1.6，取Z=2.57）弹性系数 考虑配对齿轮的材料弹性模量E和泊松比对接触应力影响的系数，3公式为=，取=189.808）重合度 考虑端面重合度、纵向重合度对齿面接触应力影响的系数3=，取=0.8979）螺旋角系数 考虑螺旋角对齿面接触应力影响的系数,3=，取=110）最小安全系数S 考虑齿轮工作可靠性的系数，取S=111）接触强度计算的寿命系数 考虑当齿轮只要求有限寿命时，齿轮的接触疲劳极限可以提高的系数3按表16.2-44中公式计算得，=1.05612）润滑油膜影响系数 考虑润滑油粘度、圆周速度、以及齿面粗糙度对润滑油膜影响的系数,3取=113）工作硬化系数 考虑经光整加工的硬齿面小齿轮在运转过程中对调质钢大齿轮齿面产生冷作硬化，从而使大齿轮的齿面接触疲劳极限提高的系数，3取=114）接触强度计算的尺寸系数 考虑计算齿轮的模数大于试验齿轮的模数时，由于尺寸效应使齿轮的齿面接触疲劳极限降低的系数，3取=1.08615）分度圆上的切向力查表16.2-32得，=，而=15350.67Nm=68158.7N16）齿宽b及齿数比uB=120,u=1低速级外啮合接触应力= =695.08MPa许用接触应力=1490.86MPa满足接触疲劳强度条件4.2.2低速级外啮合齿根弯曲疲劳强度的校核1）齿向载荷分布系数由表16.2-40、41，取=1.3132）齿间载荷分布系数由表16.2-42，取=1.13）行星轮载荷分布系数取=1.314）太阳轮、行星轮齿形分布系数、=2.43，=2.615）太阳轮、行星轮应力修正系数、=1.64，=1.536）重合度系数由图16.2-25，=0.727）抗弯强度计算的尺寸系数由表16.2-49得，=1.028）抗弯强度计算的寿命系数查表16.2-47得，=0.8579）太阳轮、行星轮齿根圆角敏感性系数、查表16.2-48得，=1，=110）相对表面状况系数由式16.2-21至16.2-23得，=0.98711）弯曲强度最小安全系数查表16.2-46得，=1.10齿根弯曲应力=298.95MPa=276.51MPa取=298.95MPa许用弯曲应力=352.95MPa 满足齿根弯曲强度条件4.2.3低速级内啮合齿轮副中接触强度的校核选择参数K=1.128，=1.225，K=1，=1.42，Z=2.48，=189.80，=0.987，=1，S=1，=1.058，=1，=1，=1.056，u=3,=780MPa接触应力= =2.48189.800.987=811.2MPa许用接触应力=871.45MPa4时，选择双壁整体式的结构，材料用铸钢，如ZG45。（带齿套的）双壁整体式的结构如图所示，图5.10高速级行星架材料选用20Cr，密度为7.82g/cm3模型图分两侧展示出来，如下图：图5.11低速级行星架5.4齿轮联轴器设计 在行星齿轮传动中，广泛使用齿轮联轴器来保证浮动机构中的浮动件，在受力不平衡时产生位移，以使各行星轮之间载荷分布均匀。齿轮联轴器分为单联和双联齿轮联轴器两种。 本次设计高速级行星架浮动、低速级太阳轮浮动，所以采用双联齿轮联轴器，联轴器的左端与低速级的太阳轮啮合，右端与高速级的行星架啮合，外形结构如图所示：图5.12齿轮联轴器5.4.1齿轮联轴器的几何计算齿轮联轴器的齿形为渐开线，几何计算见下表（非变位）：(mm)表5.1齿轮联轴器项目代号计算公式结果分度圆直径dd=mzd=272基圆直径dd=dcosd=255.596393齿顶圆直径dd=d2hmd=d2hmd=288d=256齿根圆直径dd=d2hmd=d2hmd=262d=282齿顶高hh=hmh=8齿根高hh=hm=(hc)mh=10齿宽bb=120,b=65啮合角=20 根据该啮合传动的受载荷情况，它的失效形式主要是齿面点蚀和齿面磨损，一般不会造成轮齿折断。5.4.2齿轮联轴器的强度计算轮齿切应力 = （5.1）这里T=2848Nm式中节圆上弦齿厚=； K载荷不均匀系数，取k=2； K工况系数，K=1.5； K轮齿载荷分布系数，见表17.2-27，取K=1； K寿命系数见表17.2-26，取K=1； 许用切应力，见表17.2-25。所以满足使用要求。6、三维建模6.1行星齿轮减速器装配图6.2行星齿轮减速器爆炸图总 结 一个好的设计者，对产品必须要有完整的设计思路，具有全局观。我本次设计的题目是行星齿轮减速器，设计结构主要体现在三大模块，一是行星齿轮传动尺寸设计，二是行星齿轮传动强度校核，三是主要构件的结构设计，所有的设计内容由给定的设计背景而产生。模块一设计的内容有传动比的分配，本次设计是采用的两级行星齿轮传动的传动比分配，利用书中所示图找出我们需要的传动比；配齿计算，满足行星轮等于内齿轮与太阳轮之差的二分之一；齿轮的主要参数；装配条件验算，从三方面验算，首先是邻接条件，其次是同心条件，最后是安装条件。模块二设计的是行星齿轮传动在高速级与低速级时强度的校核，强度校核也是从接触疲劳强度与弯曲疲劳强度两方面进行校核。模块三设计的是主要构件结构，有轴的设计、齿轮的设计、行星架设计、齿轮联轴器设计，本人这里从三维图（pro/e5.0)和零件图展现出来。此次设计的行星齿轮减速器是双级NGW型的，它主要体现在安装方式不同、要求的精度不同、尺寸设计不同方面，整个设计过程中遇到了不少问题，如计算齿轮参数时，计算的结果和想要的数据匹配不上；结构设计中，尺寸大小容易弄错，如果事先不准备好设计图纸，那用三维软件绘制实物图时，会出现大小不一，配不了的情况等等问题，一份优秀的设计真的需要设计者考虑十分周全，知识面广，总的来说，设计之路十分艰辛，只有不断学习，才能顺利走下去。参考文献1孙桓、陈作模、葛文杰. 机械原理(第七版）M.北京：高等教育出版社，20062王巍.机械制图M.北京：高等教育出版社，20093王文斌.机械设计手册/单行本/齿轮传动M.北京：机械工业出版社，20074王文斌.机械设计手册/单行本/轮系M.北京：机械工业出版社，20075饶振纲.行星齿轮传动设计M.北京：化学工业出版社，20146李建功.机械设计M.北京：机械工业出版社.20077陆玉.机械设计课程设计M.北京：机械工业出版社，20068Tamiya Planetary Gearbox Set, Item 72001-1400.Edmund Scientific, Catalog No. C029D, item #D30524-08 ($19.95).9C. Carmichael, ed., Kents Mechanical Engineers Handbook, 12th ed. (New York: John Wiley and Sons, 1950). Design and Production Volume, p.14-49 to 14-43. 致 谢毕业设计已到了尾声，算上前期的开题工作，共用了两个多月的时间，在这里我要感谢我的指导老师杨老师，因为他的悉心指导，我才顺利的完成了毕业设计！其次我要感谢我所选择的题目的出题老师，也是杨老师，这个题目牵涉的知识是我所学专业的重点之一，它能让我把大学四年所学的知识综合运用起来，充分利用各种资源如校园网、图书馆等来设计。还要感谢大学里所有给我授课的老师，正是因为他们付出，才让我收获了如此宝贵的知识，也要感谢本次设计运用的所有参考文献的作者，他们的参考给了我许多启示。最后还要感谢各位老师在百忙之中抽出宝贵时间来看我的毕业论文！谢谢！41外文文献：Planetary gearsIntroduction The Tamiya planetary gearbox is driven by a small DC motor that runs at about 10,500 rpm on 3.0VDC and draws about 1.0A. The maximum speed ratio is 1:400,giving an output speed of about 26 rpm. Four planetary stages are supplied with the gearbox, two 1:4 and two 1:5,and any combination can be selected. Not only is this a good drive for small mechanical applications, it provides an excellent review of epicycle gear trains. The gearbox is a very well-designed plastic kit that can be assembled in about an hour with very few tools. The source for the kit is given in the References. Lets begin by reviewing the fundamentals of gearing,and the trick of analyzing epicyclic gear trains. A pair of spur gears is represented in the diagram by their pitch circles,which are tangent at the pitch point P. The meshing gear teeth extend beyond the pitch circle by the addendum,and the spaces between them have a depth bencath the pitch circle by the dedendum. If the radii of the pitch circles are a and b, the distance between the gear shafts is a + b. In the action of the gears,the pitch circles roll on one another without slipping. To ensure this,the gear teeth must have a proper shape so that when the driving gear moves uniformly,so does the driven gear. This means that the line of pressure ,normal to the tooth profiles in contact,passes through the pitch point. Then ,the transmission of power will be free of bibration and high speeds are possible. We wont talk further about gear teeth here,having stated this fundamental principle of gearing. If a gear of pitch radius a has N teeth ,then the distance between corresponding points on successive teeth will be 2a/N, a quantity called the circular pitch. If two gears are to mate, the circular pitches must be the same. The pitch is usually stated as the ration 2a/N, called the diametral pitch. If you count the number of teeth on a gear,then the pitch diameter is the number of teeth times the diametral pitch. If you know the pitch diameters of two gears,then you can specify the distance between the shafts. The velocity ratior of a pair of gears is the ratio of the angular velocity of the driven gear to the angular velocity of the driving gear. By the condition of rolling of pitch circles,r=-a/b=-N1/N2, since pitch radii are proportional to the number of teeth. The angular velocity of the gears may be given in radians, revolutions per minute, or any similar units. If we take one direction of rotation as positive, then the other direction is negative. This is the reason for the sign in the above expression. If one of the gears is internal, then the velocity ratio is positive, since the gears will rotate in the same direction. The usual involute gears have a tooth shape that is tolerant of variations in the distance between the axes, so the gears will run smoothly if this distance is not quite correct. The velocity ratio of the gears does not depend on the exact spacing of the axes, but is fixed by the number of teeth, or what is the same thing, by the pitch diameters. Slightly increasing the distance above its theoretical value makes the gears run easier, since the clearances are larger. On the other hand, backlash is also increased, which may not be desited in some applications. An epicyclic gear train has gear shafts mounted on a moving arm or carrier that can rotate about the axis, as well as the gears themselves. The arm can be an input element, or an output element, and can be hed fixed or allowed to rotate. The outer gear is the ring gear or annulus. A simple but very common epicyclic train is the sun-and-planet epicyclic train, shown in the figure at the left. Three planetary gears are used for mechanical reasons; they may be considered as one in describing the action of the gearing. The sun gear, the arm, or the ring gear may be input or output links. The trick is that any motion of the gear train can carried out by first holding the arm fixed and rotating the gears relative to one another, and then locking the train and rotat