第9章 压杆稳定

压杆稳定 中国矿业大学力学系 卢爱红 如何保证受压杆件的稳定性 一 稳定性概念 稳定性 承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力 F 1 当轴向力F较小时 其平衡形态为直线 一旦干扰力撤去 压杆仍可回到原来的直线平衡状态 2 当轴向力F较大时 如有一微小的侧向干扰力 压杆产生弯曲变形 当侧向力去掉后 杆不能回到原来的直线平衡状态 而是处于曲线平衡状态 二 弹性细长受压直杆的稳定性 使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 临界载荷 使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 临界载荷 压杆的临界载荷Fcr越大 越不易失稳 即稳定性越好 研究压杆稳定性的关键是确定临界载荷 失稳 屈曲 9 2临界载荷的欧拉公式 一 两端铰支细长压杆的临界载荷 将其代入挠曲线近似微分方程 引入记号 此方程的通解 边界条件 挠曲线是一条正弦曲线 当 当 两端铰支细长压杆的临界载荷Fcr的计算公式 两端铰支细长压杆的欧拉公式 二 其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力 为长度因数 相当长度 为把压杆折算成两端铰支压杆的长度 一端固定另一端自由的细长压杆如图所示 其弹性模量E 200GPa 杆长度l 2m 矩形截面b 20mm h 45mm 例1 1 试计算此压杆的临界压力 2 若将截面尺寸改为b h 30mm 长度不变 此压杆的临界压力又为多少 解 1 由于一端固定另一端自由压杆 各个方向约束相同 故必在最小刚度平面内失稳 由截面形状可知 代入欧拉公式 有 2 当截面尺寸为b h 30mm时截面的惯性矩为 代入欧拉公式 有 结论 可见在材料用量相同的条件下 采用正方形截面比矩形截面杆的临界压力大 b 例1 图示两端铰支矩形截面细长压杆 b 40mm h 30mm l 1 5m 材料为A3钢 E 206GPa 试按欧拉公式计算其临界压力 解 由于两端铰支压杆 各个方向约束相同 故必在最小刚度平面内失稳 由截面形状可知 代入欧拉公式 有 图示两桁架中各杆的材料和截面均相同 设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷 则 A P1 P2 B P1P2 D 不能断定P1和P2的关系 例4 解 对图 a 节点B 节点A 受拉 受压 先分析各杆的内力 节点D 受拉 对图 a 中受压杆件作稳定性分析 杆AD 受压 对图 b 类似于图 a 的分析 可得 杆AB BD受压 由欧拉公式 得 比较得 例 长方形截面细长压杆 b h 1 2 如果将b改为h后仍为细长杆 临界力Pcr是原来的多少倍 例 圆截面的细长压杆 材料 杆长和杆端约束保持不变 若将压杆的直径缩小一半 则其临界力为原压杆的 若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面 则其临界力为原压杆的 例 图示结构 两杆截面和材料相同 为细长压杆 确定使载荷P为最大值时的 角 设0 2 图示材料相同 直径相等的细长圆杆中 杆能承受压力最大 杆能承受压力最小 思考 什么样的杆件属于细长压杆 9 3中 小柔度杆的临界应力 临界应力 将I用截面的惯性半径i表示 反映杆端约束情况 杆长 截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响 一 临界应力 柔度或细长比 欧拉临界应力公式 令 称为压杆的柔度或细长比 无量纲量 二 欧拉公式的适用范围 即 记 欧拉公式的适用范围为 满足此式的压杆 称为大柔度杆或细长杆 仅与材料的性质有关 如 Q235钢 三 临界应力的经验公式 当柔度小于时 采用经验公式计算临界应力 合金钢 铸铁与松木等材料 其中 a b为与材料有关的常数 适用范围 塑性材料 脆性材料 1 直线公式 直线公式的适用范围 称中柔度杆或中长杆 2 抛物线公式 结构钢 低合金钢等材料 其中 a1 b1为与材料有关的常数 此时压杆一般不发生失稳 其破坏大多由强度不够引起 脆性材料 脆性材料 四 临界应力总图 大柔度杆 中柔度杆 小柔度杆 抛物线公式 例 图示圆截面压杆d 40mm s 235MPa 求可以用经验公式 cr 304 1 12 MPa 计算临界应力时的最小杆长 9 4压杆稳定条件与合理设计 1 压杆的临界载荷计算 对大柔度杆 对中柔度杆 2 压杆的稳定性条件 称为压杆的稳定性条件 用应力表示的压杆稳定性条件 为压杆的稳定安全系数 为压杆的稳定许用压力 3 折减系数法 为许用压应力 称为稳定系数或折减系数 为稳定许用压应力 稳定条件为 其中 影响压杆稳定性因素 2 横截面的形状 4 压杆的长度 3 约束条件 1 材料的性能 4 压杆的合理设计 1 合理选择压杆的材料 a对大柔度杆 临界压力仅与材料的弹性模量E有关 而不同金属材料E相差不大 故选择优质钢材对提高稳定意义不大 b对中柔度杆 临界压力与材料的强度有关 故选择高强度优质钢材对提高稳定具有一定意义 2 选择合理的截面形状 a在同样的截面面积情况下 增大截面惯性矩I的值 如 3 改变压杆的约束条件 一般地 增强压杆的约束 可大大提高压杆的稳定性 b在选择截面形状与尺寸时 还要考虑失稳的方向性 压杆两端为球形铰或固定端 压杆两端为球形铰或固定端 即 4 改变压杆的长度 图示托架 AB杆为圆管 外径D 50mm 内径d 40mm 两端为球铰 材料为A3钢 E 206MPa p 100 若规定稳定安全系数nst 3 试确定托架的许可载荷P 解 分析杆CD的受力 杆AB的惯性半径 杆AB的长度 杆AB的柔度 杆AB为大柔度杆 杆AB的稳定性条件 例 空气压缩机的活塞杆由45 钢制成 可视为两端铰支压杆 s 350MPa P 280MPa E 210MPa 长度l 703mm 直径d 45mm 最大压力Pmax 41 6kN 规定稳定安全系数nst 8 10 试校核其稳定性 解 1 确定压杆为大柔度杆还是中柔度杆 由查表得45 钢 比较得 该压杆为中柔度杆 2 选用适当公式计算临界压力 应力 活塞杆的工作安全系数 3 计算压杆的工作安全系数并与稳定安全系数比较 活塞杆满足稳定性要求 例8 图示梁 柱结构 梁用16号工字钢 柱由两根63 63 10mm的角钢组成 材料均为A3钢 E 200GPa s 240MPa p 100 0 57 规定强度安全系数ns 1 4 稳定安全系数nst 2 试校核结构是否安全 解 由型钢表查得 16号工字钢