湖南省株洲市2016年高考数学一模试卷（理科）含答案解析

湖南省株洲市 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，则 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 2已知复数 （其中 i 是虚数单位，满足 1），则 z 的共轭复数是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 3已知命题 p： R，（ f（ f（ （ 0，则 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 4若 （ ， ），则 3 ），则 值为（ ） A B C D 5在如图所示的程序框图中，若输出 i 的值是 3，则输入 x 的取值范围是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 6有关以下命题： 用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好； 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动，学号为 5， 16， 27， 38， 49 的同学均被选出，则该班学生人数可能为 60； 其中正确的命题的个数为（ ） A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 7一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 8若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y 的最大值为 2，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 9已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 ， 数列 （ n N+）的最小值为（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 10过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 D 作直线 y= x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 11我国南北朝数学家何承 天发明的 “调日法 ”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （ a， b， c， d N*），则是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 =若令 ，则第一次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第四次用 “调日法 ”后可得 的近似分数为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3时，方程 f（ x） =g（ x）根的个数是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置 13二项式 的展开式中的常数项为 14（ 5 分）（ 2004 上海）圆心在直线 2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（ 0， 4）、B（ 0， 2），则圆 C 的方程为 15（ 5 分）（ 2016 嘉定区一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的动点，则 的最小值为 16设函数 y= 的图象上存在两点 P， Q，使得 以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大 题共 70 分 明过程或演算步骤 . 17 已知数列 公差不为零的等差数列， 0，且满足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 ，且 ，求数列 的前 n 项和 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会） 在北京和张家口两个城市举办某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛随机抽取了 30 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在 75 分以上（包括 75 分）的学生定义为甲组，成绩在 75 分以下（不包括 75 分）定义为乙组 （ 1）在这 30 名学生中，甲组学生中有男生 7 人，乙组学生中有女生 12 人，试问有没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关； （ 2） 如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲组的概率是多少？ 用样本估计 总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 3人，用 表示所选 3 人中甲组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望附：；其中 n=a+b+c+d 独立性检验临界表： P（ 9（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如图，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成锐二面角的大小 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐标系 ，动点 P 到定点 F（ 1， 0）的距离与 P 到定直线 x= 4 的距离之比为 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）设点 A、 B 是轨迹 C 上两个动点，直线 的另一交点分别为 直 线 斜率之积等于 ，问四边形 面积 S 是否为定值？请说明理由 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函数 f（ x） =2a R （ 1）当 a=1 时，求 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调区间； （ 3）若 x 0 时， f（ x） 3 恒成立，求实数 a 的取值范围 四 22）、（ 23）题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）（ 2016 江西校级二模）在极坐标系中，圆 C 的方程为 =2 a 0）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为（ t 为参数） （ ）求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； （ ）若直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，且 求实数 a 的取值范围？ 选修 4等式选讲 23（ 2016 唐山一模）已知函数 f（ x） =|x+1| a|x l| （ ） 当 a= 2 时，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 2016 年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=R， A=y|y=2x+1， B=x|0，则 AB=（ ） A x|0 x 1 B x| x 1 C x|x 1 D 【分析】 求解函数的值域化简 A，求 解对数不等式化简 B，然后取交集得答案 【解答】 解： A=y|y=2x+1=R， B=x|0=（ 0， 1）， AB=（ 0， 1） 故选： A 【点评】 本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题 2已知复数 （其中 i 是虚数单位，满足 1），则 z 的共轭复数是（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 【分析】 由 1 化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则 z 的共轭复数可求 【解答】 解： = ， 则 故选： A 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3已知命题 p： R，（ f（ f（ （ 0，则 p 是（ ） A R，（ f（ f（ （ 0B R，（ f（ f（ （ 0 C R，（ f（ f（ （ 0D R，（ f（ f（ （ 0 【分析】 由题意，命题 p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 【解答】 解：命题 p： R，（ f（ f（ （ 0 是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故 p： R，（ f（ f（ （ 0 故选： C 【点评】 本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律 4若 （ ， ），则 3 ），则 值为（ ） A B C D 【分析】 直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可 【解答】 解： 3 ）， 可得 3（ 3（ = （ （ ， ）， 0， 上式化为： ， 两边平方可得 1+ 故选： D 【点评】 本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题 5在如图所示的程序框图中，若输出 i 的值是 3，则输入 x 的取值 范围是（ ） A（ 4， 10 B（ 2， +） C（ 2， 4 D（ 4， +） 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：设输入 x=a， 第一次执行循环体后， x=3a 2， i=1，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， x=9a 8， i=2，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， x=27a 26， i=3，满足退出循环的条件； 故 9a 8 82，且 27a 26 82， 解得： a （ 4， 10， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 6有关以下命题： 用相关指数 刻画回归效果， 小，说明模型的拟合效果越好； 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 2） = 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动，学号为 5， 16， 27， 38， 49 的同学均被选出，则该班学生人数可能为 60； 其中正确的命题的个数为 （ ） A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 【分析】 根据相关指数的性质进行判断， 根据正态分布的性质进行判断， 根据系统抽样的定义进行判断 【解答】 解： 相关指数 刻画回归的效果， 越大，说明模型的拟合效果越好，因此 不正确 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2）， P（ 4） = P（ 4） =1 则 P（ 2） =成立，故 错误； 学号为 5， 16， 27， 38， 49 的同学，样本间隔为 16 5=11，则人数为 11 5=55，应该是55 人， 故 错误， 故正确的命题的个数为 0 个， 故选： D 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大 7一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A 2+2 + B 16+2 C 8+2 D 8+ 【分析】 由题意作图，从而求各个三角形的面积即可 【解答】 解：由题意作图如右， 全等的直角三角形， 其中 =3， ， 故 S 2 3=3， 等腰直角三角形， D=2， 故 S 2 2=2， 等腰三角形， D=3， ， 故点 A 到 距离 d= = ， 故 S 2 = ， 故表面积 S=3+3+2+ =8+ ， 故选： D 【点评】 本题考查了学生的空间想象力与数形结合的思想应用 8（ 5 分）（ 2016 洛阳二模）若 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【分析】 先作出不等式组 的图象，利用目标函数 z=x+y 的最大值为 2，求出交点坐标，代入 3x y a=0 即可 【解答】 解：先作出不等式组 的图象如图， 目标函数 z=x+y 的最大值为 2， z=x+y=2，作出直线 x+y=2， 由图象知 x+y=2 如平面区域相交 A， 由 得 ，即 A（ 1， 1）， 同时 A（ 1， 1）也在直线 3x y a=0 上， 3 1 a=0， 则 a=2， 故选： A 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键 9（ 5 分）（ 2016 天津二模）已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 ， 数列 n 项的和，则 （ n N+）的最小值为（ ） A 4 B 3 C 2 2 D 【分析】 由题意得（ 1+2d） 2=1+12d，求出公差 d 的值，得到数列 通项公式，前 n 项和，从而可得 ，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值 【解答】 解： ， 等比数列， （ 1+2d） 2=1+12d 得 d=2 或 d=0（舍去）， n 1， = = 令 t=n+1，则 =t+ 2 6 2=4 当且仅当 t=3，即 n=2 时， 的最小值为 4 故选： A 【点评】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题 10过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 D 作直线 y= x 的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 =2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 【分析】 根据题意直线 方程为 y= （ x c）代入双曲线渐近线方程，求出 A 的坐标，进而求得 B 的表达式，代入双曲线方程整理求得 a 和 c 的关系式，进而求得离心率 【解答】 解：设 F（ c， 0），则直线 方程为 y= （ x c）代入双曲线渐近线方程 y= x 得 A（ ， ）， 由 =2 ，可得 B（ ， ）， 把 B 点坐标代入双曲线方程 =1， 即 =1，整理可得 c= a， 即离心率 e= = 故选： C 【点评】 本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中 a 和 c 的关系 11我国南北朝数学家何承天发明的 “调日法 ”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （ a， b， c， d N*），则是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 =若令 ，则第一次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第四次用 “调日法 ”后可得 的近似分数为（ ） A B C D 【分析】 利用 “调日法 ”进行计算，即可得出结论 【解答】 解：第一次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ， 第二次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ； 第三次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ， 第四次用 “调日法 ”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ， 故选： A 【点评】 本题考查 “调日法 ”，考查学生的计算能力，比较基础 12已知函数 f（ x） = ， g（ x） = x 3， 3时，方程 f（ x） =g（ x）根的个数是（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 【分析】 先对两个函数分析可知，函数 f（ x）与 g（ x）都是奇函数，且 f（ x）是反比例函数， g（ x）在 0， 上是减函数，在 ， 2上是增函数，在 2， 3上是减函数，且 g（ 0）=0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可 【解答】 解：由题意知， 函数 f（ x） = 在 3， 3是奇函数且是反比例函数， g（ x） = 3， 3是奇函数； g（ x） = 故 g（ x）在 0， 上是减函数，在 ， 2上是增函数，在 2， 3上是减函数， 且 g（ 0） =0， g（ ） = ； g（ 2） =2； g（ 3） = 3； 故作函数 f（ x）与 g（ x）在 3， 3上的图象如下， 结合图象可知，有 6 个交点； 故选： B 【点评】 本题考查了导数的综 合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置 13二项式 的展开式中的常数项为 24 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：二项式 的展开式的通项公式为 = r= 2r 令 x 的幂指数 4 2r=0，解得 r=2，故展开式中的常数项为 =4 6=24， 故答案为 24 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 14（ 5 分）（ 2004 上海）圆心在直线 2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（ 0， 4）、B（ 0， 2），则圆 C 的方程为 （ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【分析】 由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可 【解答】 解： 圆 C 与 y 轴交于 A（ 0， 4）， B（ 0， 2）， 由垂径定理得圆心在 y= 3 这条直线上 又 已知圆心在直线 2x y 7=0 上， 联立 ，解得 x=2， 圆心 C 为（ 2， 3）， 半径 r=| = 所求圆 C 的方程为（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 故答案为（ x 2） 2+（ y+3） 2=5 【点评】 本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法 15（ 5 分）（ 2016 嘉定区一模）已知直角梯形 0 ， P 是腰 的动点，则 的最小值为 3 【分析】 先建立坐标系，以直线 别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，设 P（ 0， b）（ 0 b 1），根据向量的坐标运算和模的计算得到 ， = 3，问题得以解决 【解答】 解：如图，以直线 别为 x， y 轴建立平面直角坐标系， 则 A（ 0， 0）， B（ 0， 1）， C（ 1， 1）， D（ 2， 0） 设 P（ 0， b）（ 0 b 1） 则 =（ 1， 1 b）， =（ 2， b）， + =（ 3， 1 2b）， = 3，当且仅当 b= 时取等号， 的最小值为 3， 故答案为： 3 【点评】 此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知 识分析解决问题的能力 16设函数 y= 的图象上存在两点 P， Q，使得 以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 a 的取值范围是 （ 0， 【分析】 曲线 y=f（ x）上存在两点 P、 Q 满足题设要求，则点 P、 Q 只能在 y 轴两侧设 P（ t， f（ t）（ t 0），则 Q（ t， t3+运用向量垂直的条件：数量积为 0，构造函数h（ x） =（ x+1） x e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到 a 的范围 【解答】 解：假设曲线 y=f（ x）上存在两点 P、 Q 满足题设要求， 则点 P、 Q 只能在 y 轴两侧 不妨设 P（ t， f（ t）（ t 0）， 则 Q（ t， t3+ 以 O 为直角顶点的直角三角形， =0， 即 t2+f（ t）（ t3+=0（ *） 若方程（ *）有解，存在满足题设要求的两点 P、 Q； 若方程（ *）无解，不存在满足题设要求的 两点 P、 Q 若 0 t e，则 f（ t） = t3+入（ *）式得： t3+ t3+=0 即 =0，而此方程无解，因此 t e，此时 f（ t） = 代入（ *）式得： t3+=0， 即 =（ t+1） *） 令 h（ x） =（ x+1） x e）， 则 h（ x） =+ 0， h（ x）在 e， +）上单调递增， t e h（ t） h（ e） =e+1， h（ t）的取值范围是 e+1， +） 对于 0 a ，方程（ *）总有解，即方程（ *）总有解 故答案为：（ 0， 【点评】 本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题 三、解答题：本大题共 70 分 明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知数列 公差不为 零的等差数列， 0，且满足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 ，且 ，求数列 的前 n 项和 【分析】 （ 1）通过设等差数列 公差为 d，利用 0、 计算可知首项、公差，进而可得结论； （ 2）通过 bn=知 1=1（ n 2， n N*），利用 1） +（ 1 2） +（ +算可知当 n 2 时 bn=n（ n+2），验证 也适合，裂项可知= （ ），进而并项相加即得结论 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，则 ， 解得 ， n+3； （ 2）由 bn= 1=1（ n 2， n N*）， 当 n 2 时， 1） +（ 1 2） +（ +1+2+a1+（ n 1）（ n 2+5） +3 =n（ n+2）， 又 也适合， bn=n（ n+2）， = （ ）， 【点评】 本题考查数列的通项及前 n 项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题 18（ 12 分）（ 2016 株洲一模） 2015 年 7 月 31 日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布 2022 年奥林匹克冬季奥运会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性 ，举行了一次奥运知识竞赛随机抽取了 30 名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图，若规定成绩在 75 分以上（包括 75 分）的学生定义为甲组，成绩在 75 分以下（不包括 75 分）定义为乙组 （ 1）在这 30 名学生中，甲组学生中有男生 7 人，乙组学生中有女生 12 人，试问有没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关； （ 2） 如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，那么至少有 1 人在甲组的概率是多少？ 用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 3人，用 表示所选 3 人中甲组的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望附：；其中 n=a+b+c+d 独立性检验临界表： P（ 分析】 （ 1）作出 2 2 列联表，由列联表数据代入公式求出 而得到没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关 （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲组 ”，利用对立事 件概率计算公式能求出至少有 1 人在甲组的概率 由题意知， ，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）作出 2 2 列联表： 甲组 乙组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 由列联表数据代入公式得 ，因为 没有 90%的把握认为成绩分在甲组或乙组与性别有关（ 6 分） （ 2） 用 A 表示 “至少有 1 人在甲组 ”，则 （ 8 分） 由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是甲组学生，抽取 1 名学生是甲组学生的概率为 ，那么从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 ，又因为所取总体数量较多，抽取 3 名学生可以看出 3 次独立重复实验，于是 服从二项分布 显然 的取值为 0， 1， 2， 3且 所以得分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望 （ 12 分） 【点评】 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查二项分布的性质的合理运用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题 19（ 12 分）（ 2016 株洲一模）如图，已知 平面 正三角形， E=2 F 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 （ 3）求平面 平面 成锐二面角的大小 【分析】 （ 1）取 点 P，连接 据中位线定理可知 ，而 则 平行四边形，则 面 平面足线面平行的判定定理，从而证得结论； （ 2）根据 平面 平面 平面 据线面垂直的性质可知 E=D，满足线面垂直的判定定理，证得 平面 平面 平面 据面面垂直的判定定理可证得结论； （ 3）由（ 2），以 F 为坐标原点， 在的直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 F ，根据线面垂直求出平面 法向量 n，而 m=（ 0， 0， 1）为平面 法向量，设平面 平面 成锐二面角为 ，根据 可求出所求 【解答】 （ 1）证：取 点 P，连接 F 为 中点， 又 P， 平行四边形， （ 2 分） 又 面 平面 平面 （ 4 分） （ 2） 正三角形， 平面 平面 平面 E=D， 平面 （ 6 分） 又 平面 平面 平面 平面 （ 8 分） （ 3）由（ 2），以 F 为坐标原点， 在的直线分别为 x， y， z 轴（如图）， 建立空间直角坐标系 F ， 则 C（ 0， 1， 0）， （ 9 分） 设 n=（ x， y， z）为平面 法向量， 则 令 z=1，则 n=（ 0， 1， 1） （ 10 分） 显然， m=（ 0， 0， 1）为平面 法向量 设平面 平面 成锐二面角为 ，则 =45，即平面 平面 成锐二面角为 45 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和利用空间向量定理二面角的平面角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2016 株洲一模）在平面直角坐标系 ，动点 P 到定点 F（ 1， 0）的距离与 P 到定直线 x= 4 的距离之比为 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）设点 A、 B 是轨迹 C 上两个动点，直线 的另一交点分别为 直线 斜率之积等于 ，问四边形 面积 S 是否为定值？请说明理由 【分析】 （ 1）设 P（ x， y），由点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得， ，化简即可得到所求轨迹方程； （ 2）设 A（ B（ 运用两点的距离公式和斜率公式，结合点 A、 B 在椭圆 C 上，可得 ， 讨论 当 x1=，则四边形 矩形； 当 ，通过三角形的面积公式和椭圆的对称性，即可得到所求面积为定值 【解答】 解：（ 1）设 P（ x， y），由题意可得， ， 化简得 32， 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 （ 2）设 A（ B（ 由 ，得 ， ， 因为点 A、 B 在椭圆 C 上， 所以 ， ， 所以， = ， 化简得 当 x1=，则四边形 矩形， ， 由 ，得 ， 解得 ， ， S=|4| ； 当 ，直线 方向向量为 ， 直线 方程为（ x（ y+， 原点 O 到直线 距离为 ， 所以 面 积 ， 根据椭圆的对称性，四边形 面积 S=4S | 所以， = ， 所以 所以，四边形 面积为定值 【点评】 本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线的斜率公 式和两点的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2016 株洲一模）已知函数 f（ x） =2a R （ 1）当 a=1 时，求 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调区间； （ 3）若 x 0 时， f（ x） 3 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （ 1）先由所给函数的表达式，求导数 x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，问题得以解决， （ 2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间， （ 3）先构造函 数 g（ x） =f（ x） ，求导后再构造函数 h（ x） =2（ 1），根据导数和函最值关系，分类讨论，当 a 1 时，求出 a 的范围， 当 a 1 时， 0，使 h（ =0， x （ 0， ， g（ x）单调递减， x （ +）时， g（ x）单调递增，求出函数的最值， 再构造函数 M（ x） =x 0 x 导，即可求出 a 的范围 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =2x 1， f（ x） =2， f（ 0） =21=1 k=f（ 0） =2=4， f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线方程为 y 1=4x，即 4x y+1=0， （ 2） f（ x） =2a， 当 a 0 时， f（ x） 0 恒成立， f（ x）在 R 上单调递增， 当 a 0 时，当 f（ x） 0，即 x a）时，函数单调递增， 当 f（ x） 0，即 x a）时，函数单调递减， 综上所述：当 a 0 时， f（ x）在 R 上单调递增， 当 a 0 时， f（ x）在（ ， a）上单调递减，在（ a）， +）单调递增， （ 3）令 g（ x） =f（ x） =2 x a） 2+3， x 0， g（ x） =2（ x+a）， 再令 h（ x） =2（ 1） 0， h（ x）在 0， +）单调递增，且 h（ 0）