微积分与极限思想.doc

微积分与极限思想有没有听说过“曹冲称象”的故事？想知道大象的体重，但无法直接去称它，怎么办呢？聪明的曹冲就想出一个办法：用石头的重量代替大象的体重。这个故事给我们一个思想方法的启发-先“化整为零”（把大象的体重用石头质量来替代），再“积零为整”（石头质量的累积就是大象体重）。“微积分”就是“微分”+“积分”。“微”是“细微”，“微分”就是“无限细分”；“积”是“累积”即求和，而非“乘积”，“积分”就是“无限求和”。我问你如何求圆的面积，你一定可以马上回答出它的计算公式。但如果是在没有发现圆周率以前的时候呢？古人只能把整个圆面等分成许多全等的小扇形（就象我们过生日分蛋糕那样）。虽然扇形很象三角形，但他毕竟不是三角形。二者差异就在于弧与弦的“曲”“直”有别，无法直接替代。因为我们会求三角形的面积，所以又很想实现这种替代。怎么办？唯一的可能就是“无限细分”。因为分得越细，二者的差异就越小。当细到“相当细”时，我们有理由用弦换弧来实现“以直代曲”的跳跃思维。什么是“相当细”呢？“相当细”就是前面提到的“无限细分”。一千不算“相当细”，一万不算“相当细”，一万万不算“相当细”.任何具体的数目，无论多大，都不算“相当细”！微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家，古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。这种方法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段来处理，从而回避了连续变化率微积分的形成与发展的历史无疑是数学界的重要话题。翻开有关微积分的教材和介绍其发展历史的著述，无论是外国人编写的，还是我国的作者；无论是过去，还是现在；大多数定理的前面都冠之以某某外国人的大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分的形成与发展所作出的贡献。大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学的故乡之一。中华民族有着光辉灿烂的数学史，对世界数学的形成与发展作出了巨大贡献。中华民族功不可磨，理应受到世人的承认与尊重由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研究方法也就提出了新的要求在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变资本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题公元1492年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了天体运行论，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在16091619年，总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的质变十六世纪，随着资本主义的出现，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展社会实践中有大量处于不断运动和变化的关系需要人们去认识和处理对它们的研究从而获得了“变量”的概念对变化着的量的一般性质和它们之间的依赖关系的研究，又得到了“函数”的概念使得对数学的研究从常量开始进入了变量的领域这成为数学发展史上的一个转折点，也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了这种新的数学方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的变化，思格斯把它称为数学的转折点此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著自然哲学的数学原理，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡等人的著作。与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法（简称新方法），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程。莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的。微积分的创立17世纪最伟大的数学成就是微积分的发明。古代的数学都是常量数学，解析几何的出现和微积分的发明把变量带进了数学，变量意味着运动，所以，微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。而这两个方面由于笛卡儿和费尔马等人的工作，其基础已基本具备。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。牛顿、莱布尼茨将这两个貌似不相关的问题联系起来，用“微积分基本定理”或称“牛顿莱布尼茨公式”表达出来他们有效地创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能成为一门独立的学科，并成为数学中最大分支“分析学”的起源，微积分理论的建立聚集了许许多多科学家和数学家的努力，最后集大成者是牛顿和莱布尼兹。牛顿与莱布尼茨关于微积分优先权的争议牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能。就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。牛顿和莱布尼茨完全独立地发明了微积分，就发明时间而言牛顿早于莱布尼茨，但就发表时间而言莱布尼茨早于牛顿。而且两人作为当时的大名人，相互敬慕还曾有书信来往。1687年，牛顿在自然哲学的数学原理中首次发表他的流数方法时，在前言中有这样一段话：“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其它类似的问题，。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。”但在第三版的时候牛顿删去了这段话，原因是他们之间发生了优先权的争议。第一个特征是不严密正如任何一项重大的发明，都不可能在一开始时便完整无瑕，微积分在其产生的初期，也因理论的不严密而在许多方面陷入了自相矛盾的困境微积分产生于解析几何、物理等的直观问题的需要，而同时也广泛地被利用它没有相应的数学理论作指导，还来不及为自己打基础微积分的基础是极限理论，而牛顿，莱布尼茨的极限观念是十分模糊的究竟什么是极限？无穷小又是什么？这在当时没有人作出过合理的解释级数和积分的收敛性，微分和积分次序交换，高阶微分的使用，以及微分方程解的存在性问题等等，那时几乎没有人涉足数学家就沉迷于用新的数学方法去解决物理、天文等方面的问题，而又被得到的新的成果所陶醉大家还顾及不上去追究在数学推理上的严密性在当时的情况下也没看到有这必要正如达朗贝尔在1743年说：“直到现在表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在人口处张灯结彩；是把房子盖得更高些，而不是给基础补充适当的强度”因此，十八世纪的数学家开垦了许多新的处女地，数量之多是惊人的，但是他们的工作是粗糙的，不严密的，是刀耕火种式的工作方法由于十八世纪的数学家忙于应用解析几何和微积分这两种强有力的数学工具去解决科学和技术中的许多实际问题，并被新方法的成功所陶醉，而无暇顾及所依据的理论是否可靠，基础是否扎实，这就出现了谬误越来越多的混乱局面争端是局微积分学的深入发展，成为了十八世纪数学发展的主要线索这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多新分支的产生，使分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特别的独立的数学领域这个时期微积分学的发展有三个显著特征外人挑起的，1699年一位瑞士数学家在一本小册子中说“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨则是“第二发明人，曾从牛顿那里有所借鉴”，莱布尼茨立即对此作了反驳。1712年，英国皇家学会专门指定了一个委员会进行调查，结果“确认牛顿为第一发明人”，这又引起了莱布尼茨的申述。争议在双方的追随者之间越演越烈。争议的后果是悲剧性的，莱布尼茨的晚年一方面由于优先权争议中总处于劣势，另一方面又失宠于新任的汉诺威公爵，晚年很凄凉，1716年去世的时候只有忠实的秘书参加了他的葬礼。而牛顿的葬礼却非常隆重，当时英国的大人物们纷纷抢着去抬牛顿的灵柩。但这场争议也给英国带来了惨重的损失。由于英国数学家固守牛顿的传统，特别是坚决不肯使用莱布尼茨的先进的微积分符号，使英国数学逐渐远离了分析学的主流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为分析学主要是在莱布尼茨微积分方法的基础上建立起来的。所以18、19世纪的大数学家主要在欧洲大陆，英国则很少。尽管发生了纠纷，两位学者却从未怀疑过对方的科学才能。1701年在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王问到对牛顿的评价时，莱布尼茨回答：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。”第二个特征是分支广泛数学家从物理学、力学、天文学的研究中发现、创立了许多数学新分支，这些分支在十八世纪大都处于萌芽状态，未形成系统严密的理论他们的目标不是研究数学，而是用数学去解决物理学中的问题他们认为数学只是物理学的一个工具他们关心的只是数学对天文学、物理学的价值可以说十八世纪数学的推动力是物理学和天文学第三个特征是方法的交替几何论证法是自古以来人们研究数学时所广泛使用的方法十七世纪的时候，代数是人们兴趣的中心，那时候代数和分析还没有分开来但是到了十八世纪，它变成从属于数学分析，而且除了数论以外，促进代数研究的因素大部分来自数学分析随着对微积分研究的进一步深入，欧拉和拉格朗日认识到分析方法具有更大的效用，就慎重地、逐渐地把几何论证换成分析论证欧拉的许多教科书里都着重说明了怎样使用分析法拉格朗日在他的分析力学的序言中大力推广分析论证拉普拉斯在他的宇宙体系统中也强调了分析法的重要作用后来许多数学家开始认识到分析法的重要性，这样数学分析的思想方法逐渐被普遍地采用了泰勒和马克劳林在研究弦振动理论和天文学问题时，得到级数展开理论；微分几何是克莱罗和欧拉在研究曲线曲面的力学问题、光学问题、大地测量和地图绘制问题时产生的；欧拉、拉格朗日在研究力学和天体运行问题之时，建立了变分法和常微分方程；达朗贝尔、拉普拉斯和拉格朗日在研究弦振动、弹性力学和万有引力问题时建立了偏微分方程理论（主要是一阶的）；欧拉、柯西在研究流体力学问题时，建立了复变函数论等等微积分的创立标志着数学由“常量数学”时代发展到“变量数学”时代。这次转变具有重大的哲学意义。变量数学中的一些基本概念如变量、函数、极限、微分、积分、微分法和积分法等从本质上看是辩证法在数学中的运用。正如恩格斯所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”辩证法在微积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一。它使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确。使我们既可以居高临下，从整体角度考虑问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题。这种对立统一的规律在微积分中得到了充分的体现。所以，微积分的产生就克服了直线与曲线和圆的不可通约性，从而使数学成为辩证法的辅助工具和表现方式。在历史上，有许多哲学家对数学非常感兴趣。毕达哥拉斯学派、柏拉图、笛卡儿、莱布尼茨、罗素、怀特海等，甚至他们其中有的人本身就是数学家。为什么他们会对数学那么关注呢？数学和哲学有什么关系呢？数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，它“可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算的推理形式体系。”而哲学所涉及的对象不是经验的对象而是超经验的对象，如宇宙万物的本原、存在、实体或本体，包括人在内所有存在物的来源和归宿等等，同样需要理性思维的能力。历史上哲学和数学相互影响，相互促进，共同发展。数学是一门公理化的演绎体系，它的一系列原理都可以从最初的几个不证自明的公理推论出来。而哲学，正如许多哲学家认为的那样，应该成为象数学和数学化的物理学那样的严密的科学体系，因而数学就理所当然地成了哲学构造体系的典范。用数学的演绎体系来构建哲学体系一直是西方哲学家的一个梦想。哲学被看作是一切科学知识的基础，是对具体科学的概括、总结，并指导各个科学。数学在自然科学中的作用，就像哲学在整个科学体系中的作用一样研究整个世界，得出普遍规律，数学是总结自然界普遍存在的空间形式和数量关系，从而指导自然科学的发展。从微积分产生的历史中，我们可以看到这样一个哲学的问题：科学的发现或发明是一个过程，它不是某一个人的智慧火花的简单迸发。任何发现、发明都有一个思想进化和酝酿的过程，科学概念和理论的形成是一个逐步积累和纯化的过程。正如牛顿所说的那样：“如果说我比笛卡儿看得远一点，那是因为我站在巨人的肩上。”因此，这就不可避免地涉及到关于科学的优先权的问题。牛顿和莱布尼茨对微积分的发明权的争论为人们所熟知，那么这种争论在排除了时间的先后之外是以什么作为发明的标准的呢？以独创性来衡量是否恰当呢?牛顿和莱布尼茨之间相互并没有借鉴各自的成果，他们都是自己独立思考而创立了微积分。对首创权的争夺不仅牵涉到科学家的荣誉而且也关系到民族自豪感的。牛顿和莱布尼茨的争执就意味着英国人和德国人的争执，那么科学的无国界性是否存在呢？科学的世界主义