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自考线性代数重难点解析与全真练习加入收藏【大中小】 2010-8-3 第一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。2、掌握：行列式的基本性质及推论。3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式1、若A为n阶方阵，则kA= knA2、若A、B均为n阶方阵，则AB=A。B3、若A为n阶方阵，则A*=An-1若A为n阶可逆阵，则A-1=A-14、若A为n阶方阵，i（i=1，2，n）是A的特征值，Ai四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。逐次行（列）相加减，化简行列式。把行列式拆成几个行列式的和差。4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =A0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。4、运用系数行列式A判别方程组解的问题1）当A0时，齐次方程组Ax0有非零解；非齐次方程组Axb不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当A0时，齐次方程组Ax0仅有零解；非齐次方程组Axb有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。自考线性代数重难点解析与全真练习_第2页加入收藏【大中小】 2010-8-3 一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即ABBA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵（A+B）2=A2+AB+BA+B2A2+2AB+B2（AB）2=（AB）（AB）A2B2（AB）kAkBk（A+B）（A-B）A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。3）由AB=0不能得出A=0或B=04）由AB=AC不能得出B=C5）由A2=A不能得出A=I或A=06）由A2=0不能得出A=07）数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1）（A1）1A2）（kA） 1=（1/k）A1，（k0）3）（AB）1=B1A14）（A1）T=（AT）15）A1=A13、矩阵转置1）（AT）TA2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）3）（AB）T=BTAT4）（A+B）T=AT+BT4、伴随矩阵1）A*AA A*=AI （AB）*=B*A*2）（A*）*=An-2 A*=An-1 ，（n2）3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*4）若r（A）=n，则r （A*）=n若r（A）=n-1，则r （A*）=1若r（A）5）若A可逆，则（A*）-1=（1/A）A，（A*）-1（A-1）*，A*AA-15、初等变换（三种）1）对调二行（列）2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素注意：用初等变换求秩，行、列变换可混用求逆阵，只能用行或列变换求线性方程组的解，只能用行变换6、初等矩阵1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）7、矩阵方程1）含有未知矩阵的等式2）矩阵方程有解的充要条件AX=B有解B的每列可由A的列向量线性表示r（A）=r（AB）四、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆存在n阶方阵B，有AB=BA=IA0r（A）=nA的列（行）向量组线性无关Ax=0只有零解任意b，使得Ax=b总有唯一解A的特征值全不为零4、矩阵求逆1）定义法：找出B使AB=I或BA=I2）伴随阵法：A-1=（1/A）A*注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n3时，通常用初等变换法。3）初等变换法：对（AI）只用行变换化为（IA-1）4）分块矩阵法5、解矩阵方程AX=B1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X（AB）初等行变换（IX）3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。自考线性代数重难点解析与全真练习_第3页加入收藏【大中小】 2010-8-3 一、重点1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。二、难点线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。三、重点难点解析1、 n维向量的概念与运算1） 概念2） 运算若（a1，a2，an）T，（b1，b2，bn）T加法：（a1+b1 ，a2+b2 ，an+bn）T数乘：k（ka1，ka2，kan）T内积：（。）a1b1+a2b2+，+anbnTT2、线性组合与线性表出3、线性相关与线性无关1）概念2）线性相关与线性无关的充要条件线性相关1，2，s线性相关齐次方程组（1，2，s）（x1，x2，xs）T0有非零解向量组的秩r（1，2，s）s （向量的个数）存在某i（i=1，2，s）可由其余s-1个向量线性表出特别的：n个n维向量线性相关12n0n+1个n维向量一定线性相关线性无关1，2，s线性无关齐次方程组（1，2，s）（x1，x2，xs）T0只有零解向量组的秩r（1，2，s）s （向量的个数）每一个向量i（i=1，2，s）都不能用其余s-1个向量线性表出重要结论A、阶梯形向量组一定线性无关B、若1，2，s线性无关，则它的任一个部分组i1，i2，i t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。C、两两正交，非零的向量组必线性无关。4、向量组的秩与矩阵的秩1）极大线性无关组的概念2）向量组的秩3）矩阵的秩r（A）r（AT）r（A+B）r（A）r（B）r（kA）r（A），k0r（AB）min（r（A），r（B）如A可逆，则r（AB）r（B）；如B可逆，则r（AB）r（A）A是mn阵，B是np阵，如AB0，则r（A）r（B）n4）向量组的秩与矩阵的秩的关系r（A）A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）经初等变换矩阵、向量组的秩均不变若向量组（）可由（）线性表出，则r（）r（）。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。5、基础解系的概念及求法1）概念2）求法对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。6、齐次方程组有非零解的判定1）设A是mn矩阵，Ax0有非零解的充要条件是r（A）n，亦即A的列向量线性相关。2）若A为n阶矩阵，Ax0有非零解的充要条件是A03）Ax0有非零解的充分条件是mn，即方程个数未知数个数7、非齐次线性方程组有解的判定1）设A是mn矩阵，Axb有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r（A）r（A增）2）设A是mn矩阵，方程组Axb有唯一解 r（A）r（A增）n有无穷多解 r（A）r（A增）n/n无解 r（A）+1=r（A增）8、非齐次线性方程组解的结构如n元线性方程组Axb有解，设，2，t是相应齐次方程组Ax0的基础解系，是Axb的一个解，则k11+k22+ktt+是Axb的通解。1）若1，2是Axb的解，则1-2是Ax0的解2）若是Axb的解，是Ax0的解，则+k仍是Axb的解3）若Axb有唯一解，则Ax0只有零解；反之，当Ax0只有零解时，Axb没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）四、题型及解题思路1、有关n维向量概念与性质的命题2、向量的加法与数乘运算3、线性相关与线性无关的证明1）定义法设k11+k22+kss0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢！）由BC可得ABAC，因此，可按已知条件的