福建高三数学总训练数列

2006年福建省高三数学总复习专题训练 数列专题1、 已知数列总成等差数列.（1）求a2，a3，a4的值；（2）求通项an；（3）计算解：（1）由题意知2、设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;(2) 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求. 解（1）由是等比数列。（2）3、设正数数列的前n项和Sn满足.求：（1）求数列的通项公式；（2）设的前n项和为Tn，求Tn解：（I） 得，整理得 是等差数列.又 （II）10分4、已知数列满足,它的前项和为，且，（1）求；（2）已知等比数列满足，设数列的前项和为，求解：（）由得，则数列是等差数列. 因此，（）设等比数列的公比为，由，得 ，则， 当时， 由-得,当时， 5、已知数列an中,a10,且an+1=.(1)试求a1的值,使得数列an是一个常数数列；(2)试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立；解：（）欲使数列an是一个常数数列,则an+1=an,又依a10,可以推得an0并解出：an=.即a1=a2= （）研究an+1-an=(n2)注意到：0因此,an+1-an,an-an-1,a2-a1有相同的符号.要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2-a10即可.由-a10,解得：0a10,a1=1,an+1= f()2,求数列an的通项公式an； （3）若数列an的前n项的和为Sn,判断Sn与2的大小关系,并证明你的结论.解答：(1) 函数f(x)= 的图象过原点,即f(0)=0,c =0,f(x)= .又函数f(x)= = b - 的图象关于点（-1,1）成中心对称,a=1,b=1,f(x)= .(2)由题意有an+1= 2,即 = ,即 = +1, - =1.数列是以1为首项,1为公差的等差数列. =1+(n-1)=n,即 = ,an= . (3)当n2时,an= = - .Sn= a1 + a2 + a3 + + an 1+1- + - + - + + - =2 - 2.故Sn 5时，Snn29n40故Sn （nN）（3）bn()Tn b1b2bn (1)()()()(1)Tn1Tn2T1.要使Tn总成立，需T1恒成立，即m2pq，又a1，b1不为零，c22c1c3，故cn不是等比数列。注 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；推论1：设数列cn，cnanbn且ab，则数列cn1pcn为等比数列的充要条件是pa或pb。推论2：设an、bn是两个等比数列，则数列anbn为等比数列的充要条件是，数列an，bn的公比相等。推论3：公比为a、b的等比数列an，bn，且ab，s、t为不全为零的实数，cnsantbn为等比数列的充要条件是st0。10、在数列an中a11，当n2时，an，Sn，Sn成等比数列。（1）求a2，a3，a4并推出an的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论；解an，Sn，Sn成等比数列Sn2an(Sn)(n2) (*)（1）把a11，S2a1a21a2代入（*）式得：a2把a11，a2，S3a3代入(*)得：a3。同理可得：a4由此可以推出： an（2）（i）当n1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。(ii)假设nk(k2) 时，ak成立。故Sk2(Sk) (2k3)(2k1)Sk22Sk10Sk或Sk（舍去）由Sk12ak1(Sk1)得(Skak1)2ak1(ak1Sk)ak12ak12ak1 ak1即nk1时，命题也成立。由(i)(ii)可知，an对一切nN成立。11、已知数列an满足a12，对于任意的nN，都有an0，且(n1) an2an an1n an120.又知数列bn满足：bn2n11.(1)求数列an的通项an以及它的前n项和Sn； (2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.解：(n1) an2an an1n an120.是关于an和an1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an1的更为明显的关系式，从而求出an ()an0（nN），且(n1) an2an an1n an120， (n1)()2()n01或an0（nN），n又a12,所以，an2nSna1a2a3an2(123n)n2n()bn2n11，Tnb1b2b3 bn2021222n1n2nn1 () TnSn2nn21当n1时，T1S1 0，T1S1；当n2时，T2S21，T2S2；当n3时，T3S32，T3S3；当n4时，T4S41，T4S4；当n5时，T5S56，T5S5；当n6时，T6S627，T6S6；猜想：当n5时，TnSn.即2nn21.下用数学归纳法证明：1 当n5时，前面已验证成立；2 假设nk（k5）时命题成立，即2kk21.成立，那么当nk1时，2k122k2(k21)k2k2