初中几何证明题库：菱形

精品文档 1欢迎下载 8 如图 已知 E 是菱形 ABCD 的边 BC 上一点 且 DAE B 80 那么 CDE 的度数为 A 20 B 25 C 30 D 35 考点 菱形的性质 分析 依题意得出 AE AB AD ADE 50 又因为 B 80 故可推出 ADC 80 CDE ADC ADE 从而求解 解答 解 AD BC AEB DAE B 80 AE AB AD 在三角形 AED 中 AE AD DAE 80 ADE 50 又 B 80 ADC 80 CDE ADC ADE 30 故选 C 点评 本题是简单的推理证明题 主要考查菱形的边的性质 同时综合利用三角形的内角 和及等腰三角形的性质 已知菱形ABCD的边长是 8 点E在直线AD上 若DE 3 连接BE与对角线AC相交于点 M 则的值是 MC AM 精品文档 2欢迎下载 图 1 M E D B C A 图 2 M E D B C A 6 6 如图 两条笔直的公路 l1 l2相交于点 O 村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A B D 已知 AB BC CD DA 5 公里 村庄 C 到公路 l1的距离为 4 公里 则村庄 C 到公路 l2的距离是 A 3 公里B 4 公里 C 5 公里D 6 公里 7 7 如图 已知菱形 ABCD 的边长为 2 BAD 60 若 DE AB 垂足为点 E 则 DE 的长为 2 2 如图 已知菱形 ABCD 的边长为 2 BAD 60 若 DE AB 垂足为点 E 则 DE 的长为 例例 5 5 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC 的中点为 O 过点 O 作 AC 的垂直平分线 分别与 AD BC 相交于点 E F 连接 AF 精品文档 3欢迎下载 求证 AE AF 答案答案 证明 连接 CE AD BC AEO CFO EAO FCO 又 AO CO AEO CFO AAS AE CF 四边形 AECF 是平行四边形 又 EF AC 平行四边形 AECF 是菱形 AE AF 考点考点 菱形的判定和性质 平行的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 由已知 根据 AAS 可证得 AEO CFO 从而得 AE CF 根据一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形 AECF 是平行四边形 由 EF AC 根据对 角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形 AECF 是菱形 根据菱形四边相等的 性质和 AE AF 3 3 如图 菱形 ABCD 的周长为 20cm 且 tan ABD 则菱形 ABCD 的面积为 4 3 cm2 精品文档 4欢迎下载 例例 1 1 如图 菱形纸片 ABCD 中 A 600 将纸片折叠 点 A D 分别落在 A D 处 且 A D 经过 B EF 为折痕 当 D FCD 时 的值为 CF FD A B C D 31 2 3 6 2 31 6 31 8 答案答案 A 考点考点 翻折变换 折叠问题 菱形的性质 平行的性质 折叠的性质 锐角三角 函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 延长 DC 与 A D 交于点 M 在菱形纸片 ABCD 中 A 60 DCB A 60 AB CD D 180 A 120 精品文档 5欢迎下载 根据折叠的性质 可得 A D F D 120 FD M 180 A D F 60 D F CD D FM 90 M 90 FD M 30 BCM 180 BCD 120 CBM 180 BCM M 30 CBM M BC CM 设 CF x D F DF y 则 BC CM CD CF DF x y FM CM CF 2x y 在 Rt D FM 中 tan M tan30 D F y3 FM2xy3 3 1 xy 2 故选 A CF x3 1 FDy2 例例 2 2 如图 菱形 ABCD 中 AB AC 点 E F 分别为边 AB BC上的点 且 AE BF 连接 CE AF 交于点 H 连接 DH 交 AG 于点 O 则下列结论 ABF CAE AHC 1200 AH CH DH AD 2 OD DH 中 正确的是 A B C D 答案答案 D 精品文档 6欢迎下载 考点考点 菱形的性质 等边三角形的判定和性质 全等 相似三角形的判定和性质 三角 形内角和定理 四点共圆的判定 圆周角定理 分析分析 菱形 ABCD 中 AB AC ABC 是等边三角形 B EAC 600 又 AE BF ABF CAE SAS 结论 正确 ABF CAE BAF ACE AHC 1800 ACE CAF 1800 BAF CAF 1800 BAC 1800 600 1200 结论 正确 如图 在 HD 上截取 HG AH 菱形 ABCD 中 AB AC ADC 是等边三角形 ACD ADC CAD 600 又 AHC 1200 AHC ADC 1200 600 1800 A H C D 四点共圆 AHD ACD 600 AHG 是等边三角形 AH AG GAH 600 CAH 600 CAG DAG 又 AC AD CAH DAG SAS CH DG AH CH HG DG DH 结论 正 确 AHD OAD 600 ADH ODA ADH ODA ADHD ODAD AD 2 OD DH 结论 正确 精品文档 7欢迎下载 综上所述 正确的是 故选 D 例例 5 5 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 答案答案 解 1 四边形 ABCD 是菱形 AB CD 1 ACD 1 2 ACD 2 MC MD ME CD CD 2CE CE 1 CD 2 BC CD 2 2 证明 F 为边 BC 的中点 BF CF BC CF CE 1 2 在菱形 ABCD 中 AC 平分 BCD ACB ACD 在 CEM 和 CFM 中 CE CF ACB ACD CM CM CEM CFM SAS ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G AB CD G 2 1 2 1 G AM MG 精品文档 8欢迎下载 在 CDF 和 BGF 中 G 2 BFG CFD BF CF CDF BGF AAS GF DF 由图形可知 GM GF MF AM DF ME 考点考点 菱形的性质 平行的性质 等腰三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 根据菱形的对边平行可得 AB D 再根据两直线平行 内错角相等可得 1 ACD 所以 ACD 2 根据等角对等边的性质可得 CM DM 再根据等腰三角形三线 合一的性质可得 CE DE 然后求出 CD 的长度 即为菱形的边长 BC 的长度 2 先利用 SAS 证明 CEM 和 CFM 全等 根据全等三角形对应边相等可得 ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G 然后证明 1 G 根据等角对等边的性质可得 AM GM 再利 用 AAS 证明 CDF 和 BGF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 GF DF 最后结合图形 GM GF MF 即可得证 例例 3 3 如图 菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 点 P Q K 分别为线段 BC CD BD 上的任 意一点 则 PK QK 的最小值为 A 1 B C 2 D 133 精品文档 9欢迎下载 答案答案 B 考点考点 菱形的性质 线段中垂线的性质 三角形三边关系 垂直线段的性质 矩形 的判定和性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 分两步分析 1 若点 P Q 固定 此时点 K 的位置 如图 作点 P 关于 BD 的对称点 P1 连接 P1Q 交 BD 于点 K1 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质 得 P1K1 P K1 P1K PK 由三角形两边之和大于第三边的性质 得 P1K QK P1Q P1K1 Q K1 P K1 Q K1 此时的 K1就是使 PK QK 最小的位置 2 点 P Q 变动 根据菱形的性质 点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上 即不论 点 P 在 BC 上任一点 点 P1总在 AB 上 因此 根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质 得 当 P1Q AB 时 P1Q 最短 过点