数列基础知识点和方法归纳.doc

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有，.（7）项数为奇数的等差数列，有， ，.2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.注意：由求时应注意什么？时，；时，.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解 时， 时， 得：，练习数列满足，求注意到，代入得；又，是等比数列，时，（2）叠乘法 如：数列中，求解 ，又，.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得练习数列中，求（）（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： 时，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加练习已知，则 由原式(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)【优选整合】人教A版高中数学 高三二轮（理）专题09 等差数列与等比数列 测试1. 已知是等差数列，且a11，a44，则a10()A. B. C. D. 【答案】A【解析】设的公差为,由题意,即，得，故本题选2. 正项等比数列an中，若a2a1816，则log2a10()A. 2 B. 4C. 8 D. 16【答案】A3. 已知等差数列an满足a11，an2an6，则a11等于()A. 31 B. 32C. 61 D. 62【答案】A【解析】等差数列an满足a11，an2an6，4. 已知递增的等比数列an的公比为q，其前n项和Sn0，则()A. a10,0q1 B. a11C. a10,0q0，q1【答案】A【解析】Sn0，a1an，且|an|an1|，则anan10，则q(0,1)，a10,0q1.故选A.5. 将正奇数排成如下三列：135791113 15 17则2 007在()A. 第334行，第1列 B. 第334行，第2列C. 第335行，第2列 D. 第335行，第3列【答案】C【解析】设每行第一个数组成一个数列an，则an1(n1)66n5，因为a3352 005，所以2007在第335行的第2列6. 已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A. 9 B. 15C. 18 D. 30【答案】C【解析】由an1an2可得数列an是等差数列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.7. 已知数列an是首项为1，公差为d(dN*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是()A. 2 B. 3C. 4 D. 5【答案】B【解析】数列an是首项为1，公差为d(dN*)的等差数列，an1(n1)d，81是该数列中的一项，811(n1)d，n1，d，nN*，d是80的因数，故d不可能是3.故选B.点睛：本题的难点主要在解题思路，本题化简之后得到811(n1)d，所以也可以把下面的选项的答案代入检验，看n是否是正整数.8. 一个等比数列an的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A. 13项 B. 12项C. 11项 D. 10项【答案】B【解析】设首项为a1，共有n项，公比为q.前三项之积为aq32，最后三项之积为aq3n64，两式相乘得aq3(n1)8，即aqn12，又a1a1qa1q2a1qn164，a64，则(aqn1)n642，2n642，n12，故选B.9. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏 B. 3盏C. 5盏 D. 9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论10. 等差数列an的前n项和为Sn，且a10，若存在自然数m3，使得amSm，则当nm时，Sn与an的大小关系是()A. Snan B. SnanC. Snan D. 大小不能确定【答案】C【解析】若a10，存在自然数m3，使得amSm，则d0，若d0，数列是递减数列，则Smam，不存在amSm.由于a10，d0，当m3时，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，显然Snan.故选C.11. 设等差数列an的前n项和为Sn，若1a54，2a63，则S6的取值范围是_【答案】12,42【解析】由题知1a14d4,2a15d3，则S66a115d15(a14d)9(a15d)，再由不等式的性质知S612,42故填12,42.点睛：本题是一道易错题，如果根据1a54，2a63分别求出的范围，再求S66a115d的范围，实际上是错误的.这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法.12. 在等差数列an中，若a1320，a2013，则a2 014_.【答案】1981【解析】由题意知，等差数列的公差d1，a2 014a20(201420)d1319941981.故填-1981.13. 设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和，且a11，a47，则S5_.【答案】25【解析】设数列的公差为d，则3da4a16，得d2，所以S551225.故填25.14. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2ann(nN*)，则an_.【答案】12n【解析】因为Sn2ann， 所以Sn12an1n1，可得an12an1，即an112(an1)，又因为a11，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an1(2)2n12n，所以an12n.15. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an1，求bn的前n项和Tn.【答案】（1）an2n1(nN*)；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般利用项和公式求通项. (2)第（2）问，先化简bnlog4an1，得到，再利用等差数列求和公式求和.试题解析：(1)当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1211，满足an2n1，数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)得，bnlog4an1，则bn1bn，数列bn是首项为1，公差d的等差数列，Tnnb1d.16. 已知等差数列an 和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.【答案】（1）an2n1；（2）.【解析】试题分析：（1）第（1）问，一般先求数列an的基本量，再求数列的通项.(2)第（2）问，先求数列bn的通项，再利用等比数列的求和公式求和.试题解析：(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.17. 已知数列an满足：an1and(nN*)，前n项和记为Sn，a14，S321.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足b1，bn1bn2an，求数列bn的通项公式【答案】（1