高中数学 1.2.1任意角的三角函数（一）课件 新人教A版必修4.ppt

1 2任意角的三角函数1 2 1任意角的三角函数 一 一 任意角的三角函数的定义以及函数值的符号1 任意角的三角函数的定义 1 图示 在单位圆中 是任意一个角 它的终边与单位圆交于点p x y 2 结论 sin cos tan x 0 y x 3 概念 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 我们将它们统称为 三角函数 2 三角函数值在各象限的符号 1 图示 2 结论 正弦 正 负 余弦 正 负 正切 正 负 一 二 三 四 一 四 二 三 一 三 二 四 思考 的大小与点p在角的终边上的位置有关吗 提示 无关 只与角的大小有关 二 公式一1 结论 终边相同的角的同一三角函数的值 2 公式 sin k 2 cos k 2 tan k 2 其中k z 相等 sin cos tan 判断 正确的打 错误的打 1 sin cos tan 中可以将 与 sin cos tan 分开 2 同一个三角函数值能找到无数个角与之对应 3 提示 1 错误 符号sin cos tan 是一个整体 不能分开 2 正确 因为终边相同的角的同一三角函数的值相等 3 错误 答案 1 2 3 知识点拨 1 解析三角函数的定义 1 三角函数是一种函数 它满足函数的定义 可以看成是从角的集合 弧度制 到一个比值的集合的对应 2 三角函数是用比值来定义的 所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围 3 三角函数是一个实数 这个实数的大小与点p x y 在终边上的位置无关 只由角 的终边位置决定 即三角函数值的大小只与角有关 2 三角函数的定义域 3 三角函数在各象限内值的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号去确定三角函数的符号 可简记为 一全正 二正弦 三正切 四余弦 4 公式一的理解 1 公式一的实质 是说终边相同的角的三角函数值相等 即角 的终边每绕原点旋转一周 函数值将重复出现一次 体现了三角函数特有的 周而复始 的变化规律 2 公式一的结构特征 左 右为同一三角函数 公式左边的角为 k 2 k z 右边的角为 类型一任意角的三角函数定义的应用 典型例题 1 已知角 的终边过点p 1 2 cos 的值为 2 已知 的终边经过点p a a a 0 求sin cos tan 解题探究 1 若角 的终边过点p x y 则sin cos tan 的值如何表示 2 在求 op 时 需要对a进行分类讨论吗 探究提示 1 令则2 需要 可分为a 0和a 0两种情况计算 解析 1 选a 2 当a 0时 得当a 0时 得 拓展提升 利用三角函数的定义求值的策略 1 求一个角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上异于原点的点的横 纵坐标及其到原点的距离 2 若终边在直线上时 因为角的终边是射线 应分两种情况处理 3 若已知角 则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标 变式训练 利用三角函数定义求下列三角函数值 1 cos0 2 sin270 3 sin45 tan180 cos60 解析 1 角0的终边与单位圆交于点p 1 0 故cos0 1 2 270 的终边与单位圆交于点p 0 1 故sin270 1 3 180 的终边与单位圆交于点p 1 0 故 类型二三角函数值的符号的判断 典型例题 1 是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是 a sin b cos c tan d cos 或tan 2 若sin tan 0 cos tan 0 则sin cos 0 填 或 3 函数的值域是 解题探究 1 sin cos tan 在各象限的符号如何 2 若sin tan 同号 则角 应在第几象限 若cos tan 异号 则角 应在第几象限 3 对于式子中的绝对值号应如何处理 探究提示 1 一全正 二正弦 三正切 四余弦 2 若sin tan 同号 则角 应在第一或第四象限 若cos tan 异号 则角 应在第三或第四象限 3 应对x分不同的象限进行分类讨论来处理绝对值符号 解析 1 选b 是第四象限角 则cos 为正 2 由sin tan 0 知sin 与tan 同号 是第一或第四象限角 又cos tan 0 得 是第三或第四象限角 得 只能是第四象限角 有sin 0 cos 0 所以sin cos 0 答案 3 因为该函数的定义域是所以当x是第一象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 1 1 1 3 当x是第二象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 1 1 1 1 当x是第三象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 1 1 1 1 当x是第四象限角时 sinx 0 cosx 0 tanx 0 y 1 1 1 1 综上 函数的值域是 1 3 答案 1 3 互动探究 对于题2若改为 sin tan 0 cos tan 0 则sin cos 的符号又如何判断呢 解析 因为sin tan 0 则 是第二或第三象限角 又cos tan 0 得 是第三或第四象限角 得 只能是第三象限的角 有sin 0 cos 0 所以sin cos 0 即sin cos 为正数 拓展提升 确定三角函数值在各象限内符号的方法 1 三角函数值的符号是根据三角函数的定义 由各象限内的点的坐标的符号得出的 2 正弦 余弦 正切函数的符号表示 第一象限全是正值 第二象限正弦是正值 第三象限正切是正值 第四象限余弦是正值 变式训练 判断下列各式的符号 1 sin370 cos370 2 sin2cos4tan 1 解析 1 因为370 为第一象限角 所以sin370 0 cos370 0 故sin370 cos370 为正数 2 为第二象限角 为第三象限角 故cos4 0 1为第四象限角 tan 1 0 所以sin2cos4tan 1 为正数 类型三公式一的应用 典型例题 1 若750 角的终边上有一点 4 a 则a的值是 2 求下列各式的值 1 2 sin810 tan1125 cos420 解题探究 1 若750 写成k 360 0 90 的形式 则 应为多少 2 终边相同的角的同一三角函数的值有何关系 探究提示 1 750 360 2 30 30 2 相等 sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan 其中k z 解析 1 因为tan750 tan 360 2 30 答案 2 1 原式 2 原式 sin 2 360 90 tan 3 360 45 cos 360 60 sin90 tan45 cos60 拓展提升 公式一的应用策略 1 公式一可以统一写成f k 360 f 或f k 2 f k z 的形式 2 利用它可把任意角的三角函数值转化为0到2 角的三角函数值 即可把负角的三角函数化为0到2 角的三角函数 亦可把大于2 的角的三角函数化为0到2 间的三角函数 即对角实现大化小 负化正的转化 变式训练 的值为 解析 选a 易错误区 对三角函数的定义理解不准确致误 典例 2013 郑州高一检测 已知角 的终边过点p 3m m m 0 则sin 解析 由题意可得 当m 0时 则当m 0时 则答案 误区警示 防范措施 1 准确理解定义要从定义的内涵和外延准确把握定义 同时对三角函数的定义的形式要准确记忆 如本例中的不能混淆 2 分类讨论的意识在化简过程中 对字母参数要注意分类讨论 做到不重不漏 如本例中对字母参数m的讨论 类题试解 已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 则cos 解析 由题意可得 当a 0时 op 5a 则当a 0时 op 5a 则答案 1 若sin cos 且sin cos 0 则 在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选d 由条件可知 sin 0 cos 则 为第四象限角 故选d 2 有下列说法 终边相同的角的同名三角函数的值相等 终边不同的角的同名三角函数的值不等 若sin 0 则 是第一 二象限的角 若 是第二象限的角 且p x y 是其终边上一点 则其中正确的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 正确 不正确 如 不正确 如时 sin 0 但是 不是第一 二象限的角 不正确 是第二象限的角 3 若点p的坐标是 sin2 cos2 则点p位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选d 因为2是钝角 所以sin