高中数学导数的应用.docx

导数在实际问题中的应用 内容再现1、函数的单调性与其导数正负的关系： 在某个区间内，如果 ，那么函数在这个区间内单调递增；在某个区间内，如果 ，那么函数在这个区间内单调递减；若恒有 ，则函数在这个区间内是常函数。2、利用函数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程，当时：（1）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极大值，是极大值点。（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值点。4、（1）函数的闭区间上的最值： 如果在闭区间上函数的图像是一条 曲线，则该函数在上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。（2）求函数在区间上的最值的步骤： 求函数在的 ；将函数的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。三、巩固练习1、 已知函数在区间内可导，且，则 ( )(A) (B) (C) (D)2、函数在区间 ( ) (A) 上单调递减 (B) 上单调递减 (C) 上单调递减 (D) 上单调递增3、已知在上有最小值，则在上， 的最大值是 4、已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式； （II）求的单调区间； （III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值1、 2、大、小3、（1）增、减 （2）减、增4、（1）连续 最大值 最小值 端点 极值点 （2）极大值、极值点、端点巩固练习答案：1、B 2、A 3、574、解(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：10单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为知识点梳理：1、解应用题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系； 注意的范围。（2）利用导数求函数的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。（3）把数学问题的解答转化为实际问题的答案。2、能运用函数并结合导数知识解决简单的实际问题。（1）生活和生产实践中优化问题的常见类型：费用、用料最省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题等。（2）在运用函数解决实际问题的过程中，要注意恰当地选择自变量，从而简化函数的解析式，简化问题解决的过程；（3）在解决实际问题时，不仅要在准确理解变量关系的基础上正确建立函数关系，而且要根据实际意义正确确定函数的定义域；（4）在实际问题中，有时会遇到在定义域内只有一点满足的情形，这时我们仍要确定它是极大值还是极小值，不应认为它就一定是解。五、典型例题1、一个物体的运动方程为 其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A、 7米/秒 B、6米/秒 C、 5米/秒 D、 8米/秒2、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A6cm B8cm C10cm D12cmDCxOABy3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ）222224A长102米，宽米 B长150米，宽66米 C长宽均为100米 D长100米，宽米4、过抛物线y=x2-3x上一点P的切线的倾斜角为45，它与两坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积是 5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为_时,其容积最大6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团) 7、某机车拖运货物时对货物所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：。(1) 求t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2) 求在t=1s 和t=3s时,该机车每秒做的功。8、用长为90cm ，宽为48cm的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？9、某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比(1)将此枕木翻转90(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？11、用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？六、课堂练习1、一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是 （ ） A 4s末 B 8s末 C 0s与8s末 D 0s,4s,8s末2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（ ） A B C D 3、做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积价格为b元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（ ） Aa/b Ba2/b Cb/a Db2/a4、某天中午12时整甲船自A处以每小时16公里的速度向正东行驶，乙船自A的正北18公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船间的距离对时间的变化率是 。5、函数在上取最大值时，的值为_ _.6、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。7、如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入成本)9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？10、已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1时取得极值，且f(1)=1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米每小时）的函数解析式为：，已知甲乙两地相距100千米。（1）当汽车以每小时40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？七、家庭作业1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是RR(x)，则总利润最大时，每年生产的产品是_2、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.3、如果物体做直线运动的方程为s(t)2(1t)2，则其在t4 s时的瞬时速度为() A12 B12 C4 D44、从时间t0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q2t23t表示，则第5 s时的电流强度为()A27 C/s B20 C/s C25 C/s D23 C/s 5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为_6、如果一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ys(t)t33.求：(1)t4时，物体的位移s(4)；(2)t4时，物体的速度v(4)；(3)t4时，物体的加速度a(4)7、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等设细绳的总长为y m.(1)设CA1O=(rad)，将y表示成的函数关系式；(2)请你设计，当角正弦值是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长8、已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba.9、设关于x的方程2x2ax2=0的两根为、(),函数f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)证明f(x)是，上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？10、某地建一座桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m米，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算：一个桥墩的工程费用是256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下的工程费用是y万元，（1）试写出y关于x的函数关系式。（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？附答案：典型例题答案：1、 C2、 A3、 D4、 8 5、设被切去的全等四边形的一边长为x, 则正六棱柱的体积V=6(1-2x)2x (0x),利用导数知识可求得:当x=时,V有最大值,此时正六棱柱的底面边长为.6、解：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y 则依题意有 =1000x-5（x-100）x （100x180） 令得x=150又， ，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。7、解：（1）t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率为：，其实际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。（2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为和，所以：，。8、解：设截去的小正方形的边长为，则此容器的长、宽、高分别为：（单位：）。容积为：即： 令得：（舍）或又当时，；当时，时，故：该容器的高为时，容积最大，最大容积为9、解：设轮船航行速度为v公里/小时，则0v25.又设总费用为y元，则y480av3.(其中a为比例系数)由条件30a103，所以a.代入上式有y30v2，v(0,25，所以y60v令y0，解得v20.当v20时，y20时，y0，又v20是(0,25内唯一极值点且是极小值点，于是，当v20时，y有最小值36 000元所以平均每个乘客的费用为90(元)因此，该公司可定票价为100元10、解：(1)由题可设，安全负荷y1=k ( k为正常数)，翻转90后，安全负荷y2=k.，当0da时，y1y2，安全负荷变大；当0ad时，y2y1，安全负荷变小；当d=a时，y1=y2，安全负荷不变故将此枕木翻转90后，安全负荷不一定变大(2)设截取的宽为a，高为d，则，即a2+4d2=4R2.枕木的长度不变u=ad2最大时，安全负荷最大由题意可设u(a)=ad2=a(R2-a2)，u(a)=R2a2，令u(a)=0，可得a=R.当0a0，函数u(a)单调递增；当Ra2R时，u(a)0，函数u(a)单调递减所以当a=R，d=R时，u(a)取得最大，即安全负荷最大11、解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则 由，所以 ，令得 易知：是函数的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 当时，容积最大。 把代入，得 由，得 即圆心角时，容器的容积最大。 课堂作业答案：1、 D2、 A3、 C4、 1.6 【解析】某时刻距离对时间的变化率是距离对时间的导数在该时刻的导数值5、，令，得而所以最大值最小值。答案：6、解：设一无盖水箱的底面边长为分米，高为分米，则，全面积，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省7、解：设小正方形的边长为xcm，盒子容积为y=f(x)；则y=f(x)=(82x)(52x)x=4x326x2+40x ()；当得；，又f(1)=18，f(0)= f()=0，小正方形边长为1时，盒子的容积最大，为183。8、解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)内只有一个点x1=200使f(x)=0,它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.9、解：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50x,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.10、解：(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函数f(x)的极值点，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)当x1或x1时，f(x)0当1x1时，f(x)0函数f(x)在(,1)和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数.当x=1时，函数取得极大值f(1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=1.11、解：（1）当x=40时，代入得每小时的耗油量是：=7（升），故此时耗油量是（升）（2）当速度是x（千米每小时），从甲地到乙地行驶时间是（小时）。耗油量为h（x）（升）令当，此时上是增函数。故当x=80时，h（x）取得最小值。此时升即当汽车以每小时80千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油最少，最少为11.25升。家庭作业：1、300 2、3、A4、D5、