高考数学大一轮复习 第十章 解析几何初步 57 直线与圆的位置关系课件 文.ppt

第十章解析几何初步 第57课直线与圆的位置关系 课前热身 1 必修2p113例2改编 圆 x 1 2 y 2 2 6与直线2x y 5 0的位置关系是 2 必修2p113例1改编 已知圆o x2 y2 4 那么过点p 2 4 与圆o相切的切线方程为 激活思维 相交 3x 4y 10 0或x 2 4 必修2p103例3改编 直线6x 8y 10 0被圆x2 y2 4截得的弦所对应的劣弧所对的圆心角为 1 直线与圆有三种位置关系 2 直线与圆的位置关系的判定有两种方法 代数法和几何法 1 代数法 联立直线与圆的方程 根据方程组的解的个数 判定它们的位置关系 将直线方程代入圆的方程 得到关于x或者y的一元二次方程 若 0 则它们相交 若 0 则它们相切 若 0 则直线与圆相离 2 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断 当时 直线与圆相交 当时 直线与圆相切 当时 直线与圆相离 知识梳理 相离 相交 相切 d r d r d r 3 圆的切线 1 若点p x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则经过点p x0 y0 的圆的切线方程为 若点p x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 则经过点p x0 y0 的圆的切线方程为 2 当点p x0 y0 在圆外时 切线有条 求圆的切线方程时 常设出切线的点斜式方程 然后运用点到直线的距离求出斜率 如果只能解出斜率的一个值 要注意斜率不存在的情形 x0 x y0y r2 x0 a x a y0 b y b r2 两 4 圆的弦 直线与圆相交时 1 当直线与圆相交时 设圆心到直线的距离为d 圆的半径为r 则直线被圆截得的弦长为 2 若直线y kx b与曲线c相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则ab 课堂导学 1 过点p 3 4 作直线l 当斜率为何值时 直线l与圆c x 1 2 y 2 2 4有公共点 思维引导 1 先设出直线方程 然后再用代数方法或几何方法判断 2 若直线和圆相交 则圆心到直线的距离小于半径 若直线过圆内一点 则直线和圆相交 解答 方法一 设直线l的方程为y 4 k x 3 即kx y 3k 4 0 直线与圆位置关系的判断 例1 方法二 设直线l的方程为y 4 k x 3 即y kx 3k 4 2 已知圆c x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m r 求证 无论m取什么实数 直线l与圆恒交于两点 解答 由题意 直线方程可变形为 2x y 7 m x y 4 0 所以直线l必过定点a 3 1 又因为 3 1 2 1 2 2 5 25 所以点 3 1 在圆c内 故l必与圆c相交 精要点评 1 圆与直线的位置关系的判定方法主要有两种 利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系 利用一元二次方程根的判别式的符号 2 若动态直线过定点 且定点在圆内或圆上 则直线必与圆相交或相切 1 2016 苏州 无锡 常州 镇江三模 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0始终有公共点 则实数m的取值范围是 变式 0 10 2 2016 苏州期末改编 已知直线l1 y x a和直线l2 y x b将圆 x 1 2 y 2 2 8分成长度相等的四段弧 求a2 b2的值 切线问题 例2 思维引导 1 显然点p在圆c上 直接用代数法可得答案 2 将点 1 7 代入圆的方程得12 7 2 50 25 故点 1 7 在圆外 过圆外一点与圆相切的切线方程的求法有三种 2 求经过点 1 7 与圆x2 y2 25相切的直线方程 解答 方法一 设切线的斜率为k 由点斜式知y 7 k x 1 即y k x 1 7 将 代入圆的方程x2 y2 25 得x2 k x 1 7 2 25 化简整理 得 k2 1 x2 2k2 14k x k2 14k 24 0 方法二 设所求切线的斜率为k 则所求直线方程为y 7 k x 1 整理成一般式得kx y k 7 0 化简得12k2 7k 12 0 故所求切线方程为4x 3y 25 0或3x 4y 25 0 精要点评 求切线一般有三种方法 设切点用切线公式法 设切线斜率用判别式法 设切线斜率 用圆心到切线距离等于圆半径法 一般地 过圆外一点可向圆作两条切线 在后两种方法中 应注意斜率不存在时的情况 三种方法中 最简捷最常用 变式 4 已知直线l y x和圆c x 2 2 y 4 2 10 1 求直线l与圆c的交点的坐标 圆的弦长问题 例3 2 求直线l被圆c所截得的弦长 精要点评 求直线与圆的交点就是构造方程组 然后求解 求圆的弦长可以先求出交点a b的坐标 再求线段ab的长度 也可以通过由半弦 半径和圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理 1 2016 苏北四市摸底 若直线ax y 1 0被圆x2 y2 2ax a 0截得的弦长为2 则实数a的值是 变式 2 已知圆c x 1 2 y 2 2 2及点p 2 1 过点p作圆c的切线 切点分别为a b 1 求pa pb所在直线的方程 解答 由题意知圆的切线的斜率存在 设其为k 则切线的方程为y 1 k x 2 所以k 1或7 所以所求切线的方程为pa x y 1 0 pb 7x y 15 0 备用例题 2 求过点p的切线的长度 精要点评 求圆的切线方程时应先考虑所过点与圆的位置关系 这一点很重要 因为该位置确定了圆的切线条数与具体的求解方法 需要注意的是过圆外一点的切线有两条 如果只解出一条 就要检查是否有斜率不存在的情况 另外 在求切线长时 要尽量利用圆的性质 用几何方法求解 以减少运算量 课堂评价 4 2 2015 苏州调查 已知圆c x a 2 y a 2 1 a 0 与直线y 3x相交于p q两点 那么当 cpq的面积最大时 实数a的值为 3 2015 江苏卷改编 在平面直角坐标系xoy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1