数值分析课后部分习题答案.doc

习题1（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解 有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为 ；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为 ；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为 .2下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字. 解 ，即由有效数字与绝对误差的关系得 ，即 ，所以，；，即由有效数字与绝对误差的关系得 ，即 ，所以，；，即由有效数字与绝对误差的关系得 ，即 ，所以，.4.设有近似数且都有3位有效数字，试计算，问有几位有效数字.解 方法一因都有3位有效数字，即，则，又 ，此时，从而得.方法二因都有3位有效数字，即，则，由有效数字与绝对误差的关系得.5.序列有递推公式若（三位有效数字），问计算的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解 用表示的误差，由，得，由递推公式 ，知计算的误差为，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 ，对所有的其中为Lagrange插值基函数. 证明 令，则，从而 ，又 ，可得 ，从而 .4. 求出在和3处函数的插值多项式.解 方法一 因为给出的节点个数为4，而从而余项，于是 （n次插值多项式对次数小于或等于n的多项式精确成立）.方法二 因为而 ，从而 .5. 设且，求证.证明 因，则，从而 ，由极值知识得 6. 证明 .证明 由差分的定义 或着 7. 证明 n阶差商有下列性质(a) 如果，则.(b) 如果，则.证明 归纳法：由差商的定义 (a) 如果，则.(b) 如果，则 8. 设，求，.解 由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商 (的最高次方项的系数)，8阶差商 (8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式，使它满足：，.解 方法一 先求满足插值条件，的二次插值多项式 (L-插值基函数或待定系数法)，设从而，再由插值条件，得所以 ，即 .方法二 设，则 由插值条件，得解得 ，从而 .方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造.10. 下述函数在上是3次样条函数吗？解 因为 ，而 ，又是三次函数，所以函数在上是3次样条函数.补 设f(x)=x4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解 因为 ，从而 习题3 ( P.159) 1设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的多项式，则于线性无关.解 方法一 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，采用反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零使 上式两边与作内积得到 由于不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾.方法二 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，由( P.95)定理2得于线性无关. 2选择，使下述积分取得最小值 解 ，令 ，得.令 ，得.3设试用求一次最佳平方逼近多项式.解 取权函数为(为了计算简便)，则, ，得法方程 ，解得，所以的一次最佳平方逼近多项式. 8什么常数C能使得以下表达式最小？ 解 ，令 ，得.14用最小二乘法求解矛盾方程组.解 方法一 方程组可变形为 ，其中,求解法方程 ,得到矛盾方程组的解为.方法二 令，令 ， 得 ，解之得矛盾方程组的解为.习题4 (P. 207)7. 对列表函数 求解 一阶微商用两点公式(中点公式),得二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求 ,由得一次插值函数从而 ,于是, 8. 导出数值微分公式并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得,从而 将分别在处展开,得 (1)(2)3 +(3)3(4), 得,即余项主部为习 题 5 (P. 299)3. 设为对称矩阵，且，经高斯消去法一步后，A约化为，试证明亦是对称矩阵.证明 设，其中，则经高斯消去法一步后，A约化为，因而，若为对称矩阵，则为对称矩阵，且，易知为对称矩阵.13. 设 (1) 计算；(2) 计算，及.解 (1) 计算,，其特征值为，又为对称矩阵，则的特征值为，因此；(2) ，所以，为对称矩阵，其特征值为，则的特征值为，因此 所以 15. 设，求证（1）；(2) .证明 (2) 由（1），得， 则 ，从而 ，由算子范数的定义 ，得 .17. 设为非奇异阵，又设为上一向量范数，定义，求证：是上向量的一种范数（称为向量的W一范数）.证明 正定性，因为一向量，下证 ，若即，由向量范数的正定性得，为非奇异阵，所以； 若，则，由向量范数的正定性得即. 齐次性，任意实数有，由向量范数的齐次性，得； 三角不等式，任意实数，有，再由向量范数的三角不等式，得.习 题 6 (P.347)1. 设有方程组(b) ，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程组的收敛性.解 系数矩阵分裂如下, Jacobi迭代矩阵为，J的特征方程为 ，展开得 ，即，所以用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的.G-S迭代矩阵为，G的特征方程为 ，展开得 ，即或，由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组，其中为对称正定阵，且有迭代公式 ()，试证明当时，上述迭代法收敛(其中的特征值满足).证明 为对称正定阵， 的特征值满足，且，则又迭代公式可变形为 ()，从而迭代矩阵 ，迭代矩阵的特征值为，且满足，即