高考数学第一轮总复习 3.3 三角函数的图象与性质课件 文 新人教A版.ppt

第三节三角函数的图象与性质 知识梳理 1 周期函数和最小正周期 非零常数 f x t f x 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 r r 1 1 1 1 r x x r且x k k z k z k z 2k 2k k z 2k 2k k z k z 2k k z 2k k z k 0 k z x k k z 考点自测 1 思考 给出下列命题 y sinx在第一 第四象限是增函数 所有的周期函数都有最小正周期 正切函数y tanx在定义域内是增函数 y ksinx 1 x r 则y的最大值为k 1 y sin x 是偶函数 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 由y sinx的递增区间是 k z 可知 不正确 错误 不是所有的周期函数都有最小正周期 如函数f x c c为常数 的周期为任意非零实数 但没有最小正周期 错误 正切函数y tanx在每一个区间 k z 上都是增函数 但在定义域内不是单调函数 故不是增函数 错误 当k 0时y的最大值为k 1 而当k 0时 y的最大值为 k 1 正确 由sin x sin x 可知 正确 2 函数y tan x 的定义域是 a x x x r b x x x r c x x k k z x r d x x k k z x r 解析 选d 因为x k k z 所以x k k z 3 2014 武汉模拟 函数f x 2sin x 若对任意x r都有f x1 f x f x2 x1 x2 r 成立 则 x1 x2 的最小值为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 由题意知f x1 f x2 分别是函数的最小值与最大值 故 x1 x2 min 4 函数y 4sinx x 的单调性是 a 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数b 在 上是增函数 在 和 上都是减函数c 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数d 在 和 上是增函数 在 上是减函数 解析 选b 函数y 4sinx x 在 上是增函数 在 和 上是减函数 5 2014 衡阳模拟 已知函数f x sin x 0 的最小正周期为 则该函数的图象 a 关于直线x 对称b 关于点 0 对称c 关于直线x 对称d 关于点 0 对称 解析 选b 由题意知t 则 2 所以f x sin 2x 又f sin sin 0 故图象关于点 0 对称 6 y 2 3cos x 的最大值为 此时x 解析 当cos x 1时 函数y 2 3cos x 取得最大值5 此时x 2k k z 从而x 2k k z 答案 5 2k k z 考点1三角函数的定义域与值域 典例1 1 函数y 2sin 0 x 9 的最大值与最小值之和为 a 2 b 0c 1d 1 2 函数f x 1 2sin2x 2cosx的最小值和最大值分别为 a 1 1b 1c 3d 2 3 函数的定义域是 解题视点 1 先由x的范围求出的范围 再结合三角函数的性质求出函数的最值 2 利用平方关系将sinx用cosx表示 再利用二次函数求解 3 由三角函数的正弦线 余弦线及单位圆进行作图求解 规范解答 1 选a 利用三角函数的性质先求出函数的最值 因为0 x 9 所以所以所以y 2 所以ymax ymin 2 选c 因为f x 1 2sin2x 2cosx 1 2 1 cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 又因为x r 所以cosx 1 1 所以当cosx 时 f x 有最小值 且f x min 当cosx 1时 f x 有最大值 且f x max 3 3 由题意 得即首先作出sinx 与cosx 表示的角的终边 如图所示 由图可知劣弧和优弧的公共部分对应角的范围是所以函数的定义域为答案 规律方法 1 三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的三种求法 1 直接法 利用sinx cosx的值域 2 化一法 化为y asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出函数的值域 3 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 可化为求函数在给定区间上的值域 最值 问题 变式训练 2014 长沙模拟 对于函数f x sinx cosx cosx sinx 下列说法正确的是 a 该函数的值域是 1 1 b 当且仅当2k x 2k k z 时 f x 0c 当且仅当x 2k k z 时 该函数取最大值1d 该函数是以 为最小正周期的周期函数 解析 选b f x sinx cosx cosx sinx 画出其函数图象分析可知答案选b 加固训练 1 函数的定义域为 解析 要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以定义域为 x 2k x 2k k z 答案 x 2k x 2k k z 2 函数的值域为 解析 由 得因为 1 cosx 1 所以 1 1 解得 y 6 因此 原函数的值域为 6 答案 6 考点2三角函数的单调性 典例2 1 函数y sin 2x 的减区间是 2 2014 洛阳模拟 若f x 2sin x 1 0 在区间 上是增函数 则 的取值范围是 解题视点 1 将x的系数化为正数后再求解 2 根据 是相应增区间的子集构造不等式求解或转化为周期关系求解 规范解答 1 y sin 2x 可化为y sin 2x 令2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以x r时 y sin 2x 的减区间为k z 答案 k z 2 方法一 由2k x 2k k z 得f x 的增区间是 k z 因为f x 在 上是增函数 所以 所以且 所以 0 方法二 因为x 0 所以 x 又f x 在区间 上是增函数 所以 则又 0 得0 方法三 因为f x 在区间 上是增函数 故原点到的距离不超过 即得t 即 又 0 得0 答案 0 互动探究 在本例 1 中函数不变 求函数在 0 上的单调递减区间 解析 方法一 x r时 y sin 2x 的减区间为 k k k z 令k 0得 令k 1得 故x 0 时 y sin 2x 的减区间为 0 方法二 因为 x 0 所以结合正弦曲线 由解得由解得所以单调减区间为 0 规律方法 求三角函数单调区间的两种方法 1 代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 2 图象法 函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 画出三角函数的图象 结合图象易求它的单调区间 提醒 求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正 同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 变式训练 函数的递减区间是 解析 y的递减区间为cos2x的递增区间 同时注意cos2x 0 所以有2k 2x 2k k z k x k k z 其递减区间为 k k k z 答案 k k k z 加固训练 1 下列区间是函数y 2 cosx 的单调递减区间的是 解析 选d 作出函数y 2 cosx 的图象 结合图象可判断选d 2 比较下列各组数的大小 1 cos 与 2 cos1 sin1 解析 1 cos cos cos cos 而因为所以所以所以 2 因为cos1 sin 1 而0 1 1 且y sinx在 0 上单调递增 所以sin 1 sin1 即cos1 sin1 考点3三角函数的奇偶性 周期性及对称性 考情 三角函数的奇偶性与周期性 对称性在高考中以选择题 填空题或解答题的某一问的形式出现 考查对称中心与对称轴 奇偶性的判断等问题 高频考点通关 典例3 1 2014 泉州模拟 函数y 2sin 3x 的一条对称轴为x 则 2 2014 吉首模拟 设偶函数f x asin x a 0 0 0 的部分图象如图所示 klm为等腰直角三角形 其中k l为图象与x轴的交点 m为极小值点 kml 90 kl 则f 的值为 解题视点 1 根据对称轴方程求 或利用对称轴处函数取最值求解 2 由等腰直角三角形的高 可得振幅a 由kl的长可得周期 从而得 由f x 是偶函数可求 从而可求f 规范解答 1 方法一 由y sinx的对称轴为x k k z 即3 k k z 得 k k z 又 所以k 0 故 方法二 因为x 是函数y 2sin 3x 的一条对称轴 故当x 时 函数y 2sin 3x 取得最值 即f 2 故2sin 2 得得 k k z 又 所以k 0 故 答案 2 由 kml为等腰直角三角形 且 kml 90 kl 得高为即a 又kl为半个周期 故t 1 得 2 又f x 是偶函数 所以 k k z 又0 得 故f x sin 2 x cos2 x 因此f cos 答案 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2012 荆州模拟 函数f x sin x 的图象的一条对称轴是 a x b x c x d x 解析 选c 方法一 图象特征 因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点 故令x k k z 所以x k k z 取k 1 则x 方法二 验证法 x 时 sin 0 不合题意 排除a x 时 sin 不合题意 排除b x 时 sin 1 符合题意 c项正确 而x 时 sin 不合题意 故d项也不正确 2 2014 怀化模拟 已知 0 0 直线x 和x 是函数f x sin x 图象的两条相邻的对称轴 则 解析 选a 由于直线x 和x 是函数f x sin x 图象的两条相邻的对称轴 所以函数f x 的最小正周期t 2 所以 1 所以 k k z 又0 所以 3 2014 长沙模拟 某学生对函数f x 2x cosx的性质进行研究 得出如下的结论 函数f x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 点是函数y f x 图象的一个对称中心 函数y f x 图象关于直线x 对称 存在常数m 0 使 f x m x 对一切实数x均成立 其中正确的结论是 填写所有你认为正确结论的序号 解析 由f x 2 x cos x 2xcosx f x 知 函数f x 为奇函数 根据奇函数在对称区间上的单调性相同可知 是错误的 显然不关于点对称 可知 是错误的 f 0 0 f 2 4 显然不关于直线x 对称 可知 是错误的 f x m x m 2 cosx 可知 是正确的 答案 加固训练 1 2014 哈师大附中模拟 若函数f x asin2 x a 0 0 在x 1处取得最大值 则f x 1 的奇偶性为 a 偶函数b 奇函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 解析 选a 因为f x asin2 x在x 1处取得最大值 故f 1 a 得2 2k k z 因此 f x 1 asin 2 x 2 asin acos2 x 故f x 1 是偶函数 2 2012 上海高考 若sn n n 则在s1 s2 s100中 正数的个数是 a 16b 72c 86d 100 解析 选c 因为函数f x sin的最小正周期为又所以在s1 s2 s3 s13 s14中 只有s13 s14 0 其余均大于0 由周期性可知 在s1 s2 s100中共有14个0 其余都大于0 即共有86个正数 3 2014 武汉模拟 已知函数 1 判断f x 的奇偶性 2 求f x 的最小正周期 解析 1 由cos2x 0得2x k k z 解得 k z 所以f x 的定义域为 x x k z 当x k z时 f x 又f x 的定义域关于原点对称 所以f x 是偶函数 2 因为f x 3cos2x 1 所以函数的最小正周期为t 巧思妙解4 巧用对称性解决奇偶性问题 典例 2014 宜昌模拟 若函数f x 2sin 2x 0 是偶函数 则 常规解法 因为f x 为偶函数 所以对x r f x f x 恒成立 因此即整理得因为x r 所以又因为0 故所以答案 解法分析 1 直接利用偶函数的定义 构造等式 然后利用恒成立求 是已知奇偶性求参数的常规思路 2 解法体现了定义的双向性 但计算量大 运算过程极易出错 巧妙解法 因为f x 为偶函数 所以函数y f x 的图象关于x 0对称 故当x 0