三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 曲线与方程课件.ppt

8 7曲线与方程 1 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线c上的点 那么这个方程叫做 这条曲线叫做 曲线既可以看作符合某种条件的点的集合 又可以看作满足某种条件的动点运动的轨迹 因此 此类问题有时也叫做轨迹问题 曲线的方程 方程的曲线 2 直接法求动点的轨迹方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 3 列式 列出动点p所满足的关系式 4 代换 依关系式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程 并化简 5 证明 证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程 3 求动点轨迹方程的常用方法有 直译法 定义法 几何法 相关点法 参数法 4 注意事项要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件 也就是曲线上点的坐标的取值范围 由曲线的方程的概念可知 在求曲线方程时一定要注意它的完备性和纯粹性 即轨迹若是曲线的一部分 应对方程注明x的取值范围 或同时注明x y的取值范围 1 方程x2 xy x表示的曲线是 a 一个点b 一条直线c 两条直线d 一个点和一条直线答案c方程变为x x y 1 0 则x 0或x y 1 0 故方程表示直线x 0和直线x y 1 0 c 2 若点p到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线答案d由题意知 点p到点 2 0 的距离与点p到直线x 2的距离相等 由抛物线定义得点p的轨迹是以 2 0 为焦点 以直线x 2为准线的抛物线 故选d c 3 设动点p在直线x 1 0上 o为坐标原点 以op为直角边 以o为直角顶点作等腰直角三角形opq 则动点q的轨迹是 a 椭圆b 两条平行直线c 抛物线d 双曲线答案b设q x y y 0 p 1 a a r 0 且 消去a 得x2 y2 1 x2 y2 0 y 1 即动点q的轨迹为两条平行直线y 1 c 4 已知动点p在曲线2x2 y 0上移动 则点a 0 1 与点p连线的中点的轨迹方程是 a y 2x2b y 8x2c 2y 8x2 1d 2y 8x2 1答案c设ap的中点为m x y p x0 y0 则有x0 2x y0 2y 1 代入2 y0 0得2y 8x2 1 故选c c 5 圆o的半径为定长r a是圆o所在平面内一定点 p是圆上任意一点 线段ap的垂直平分线l和直线op相交于点q 当点p在圆上运动时 点q的轨迹可能是 请将所有正确的序号填在横线上 点 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 答案 解析 1 当a在圆上 异于p 时 线段ap的垂直平分线过o点 则点q的轨迹是点o 2 当a在圆内 异于o 时 qa qp qo qa qo qp op r 定值 又 oa r 故点q的轨迹是以o a为焦点的椭圆 3 当a与o重合时 线段ap的垂直平分线与op的交点q是op的中点 故点 c q的轨迹是以o为圆心 为半径的圆 4 当a在圆外时 qa qp 则 qo qa qo qp op r 定值 又 oa r 故点q的轨迹是以o a为焦点的双曲线 因此点q的轨迹可能是 直译法求轨迹方程典例1 2015浙江深化课程改革协作校期末 已知两点m 2 0 n 2 0 点p为坐标平面内的动点 满足 0 则动点p x y 的轨迹方程是 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x答案b解析根据 0得4 4 x 2 0 即 x 2 2 y2 x 2 2 即y2 8x c 直译法求轨迹方程如果动点满足的条件是一些与定点 定直线有关的等量关系 该等量关系又易于表示成含x y的等式 从而可直接得到轨迹方程 这种求轨迹方程的方法称为直译法 1 1 2013四川 20 13分 已知椭圆c 1 a b 0 的两个焦点分别为f1 1 0 f2 1 0 且椭圆c经过点p 1 求椭圆c的离心率 2 设过点a 0 2 的直线l与椭圆c交于m n两点 点q是线段mn上的点 且 求点q的轨迹方程 解析 1 由椭圆定义知 2a pf1 pf2 2 所以a c 又由已知得c 1 所以椭圆c的离心率e 4分 2 由 1 知 椭圆c的方程为 y2 1 设点q的坐标为 x y i 当直线l与x轴垂直时 直线l与椭圆c交于 0 1 0 1 两点 此时点q的坐标为 ii 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y kx 2 因为m n在直线l上 可设点m n的坐标分别为 x1 kx1 2 x2 kx2 2 则 am 2 1 k2 an 2 1 k2 又 aq 2 x2 y 2 2 1 k2 x2 由 得 即 将y kx 2代入 y2 1中 得 2k2 1 x2 8kx 6 0 由 8k 2 4 2k2 1 6 0 得k2 由 可知 x1 x2 x1x2 代入 中并化简 得x2 因为点q在直线y kx 2上 所以k 代入 中并化简 得10 y 2 2 3x2 18 由 及k2 可知0 x2 即x 又满足10 y 2 2 3x2 18 故x 由题意知 q x y 在椭圆c内 所以 1 y 1 又由10 y 2 2 18 3x2有 y 2 2 且 1 y 1 则y 所以点q的轨迹方程为10 y 2 2 3x2 18 其中x y 13分 定义法求轨迹方程典例2 2015浙江镇海中学测试卷三 5 一动圆与圆o x2 y2 1外切 与圆c x2 y2 6x 8 0内切 那么动圆的圆心的轨迹是 a 双曲线的一支b 椭圆c 抛物线d 圆答案a解析设动圆的圆心为p x y 动圆的半径为r 则有 po r 1 且 pc r 1 从而有 po pc 2 又2 oc 3 故轨迹为双曲线的一支 故选a c 定义法求轨迹方程及其注意点 1 在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时 若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义 则根据圆锥曲线的定义 写出所求的轨迹方程 2 利用定义法求轨迹方程时 还要看轨迹是否是完整的圆 椭圆 双曲 线 抛物线 如果不是完整的曲线 则应对其中的变量x或y进行限定 2 1 2015浙江杭州四中期中 设圆 x 1 2 y2 25的圆心为c a 1 0 是圆内一定点 q为圆周上任一点 线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m 则m点的轨迹方程为 a 1b 1c 1d 1答案d解析 点m为线段aq的垂直平分线上的一点 则 am mq mc ma mc mq cq 5 又c 1 0 a 1 0 为两个定点 且 ca 5 故m点的 轨迹为椭圆 a c 1 则b2 a2 c2 m点的轨迹方程为 1 c 2 2 2015浙江苍南巨人中学模拟 已知点m 3 0 n 3 0 b 1 0 动圆c与直线mn切于点b 过m n与圆c相切的两直线相交于点p 则p点的轨迹方程为 a x2 1 x 1 b x2 1 x0 d x2 1 x 1 答案a解析设另两个切点分别为e f 如图所示 c 由题意可知 pe pf me mb nf nb 从而 pm pn me nf mb nb 4 2 21 相关点法求轨迹方程典例3 2013辽宁 20 12分 如图 抛物线c1 x2 4y c2 x2 2py p 0 点m x0 y0 在抛物线c2上 过m作c1的切线 切点为a b m为原点o时 a b重合于o 当x0 1 时 切线ma的斜率为 1 求p的值 2 当m在c2上运动时 求线段ab中点n的轨迹方程 a b重合于o时 中点为o y0 由 得p 2 2 设n x y a b x1 x2 由n为线段ab中点知x y 解析 1 因为抛物线c1 x2 4y上任意一点 x y 的切线斜率为y 且切线ma的斜率为 所以a点坐标为 故切线ma的方程为y x 1 因为点m 1 y0 在切线ma及抛物线c2上 于是y0 2 切线ma mb的方程为y x x1 y x x2 由 得ma mb的交点m x0 y0 的坐标为x0 y0 因为点m x0 y0 在c2上 即 4y0 所以x1x2 由 得x2 y x 0 当x1 x2时 a b重合于原点o ab中点n为o 坐标满足x2 y 因此ab中点n的轨迹方程为x2 y 用相关点法求轨迹方程相关点法也叫坐标转移法 是求轨迹方程常用的方法 其题目特征是点p的运动与点q的运动相关 且点q的运动有规律 有方程 只需将p的坐标转移到q的方程中 整理即可得p的轨迹方程 3 1 2015温州一模 12 6分 抛物线y ax2的焦点为f 0 1 p为该抛物线上的动点 则a 线段fp中点m的轨迹方程为 答案 x2 2y 1 0解析依题意得x2 y的焦点坐标是 于是有 1 a 设点p x0 y0 m x y 则有消去x0 y0得x2 2y 1 0 3 2 2015浙江镇海中学测