八年级数学上册 第13章 全等三角形小结与复习课件 （新版）华东师大版.ppt

小结与复习 第13章全等三角形 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 1 命题判断某一件事情的语句叫做 注意两点 判断 和 语句 所谓判断就是要作出肯定或否定的回答 一般形式 如果 那么 若 则 是 等 但是 如 连结a b两点 就不是命题 所谓语句 要求完整 且是陈述句 不是疑问句 祈使句等 如 如果两直线平行 叙述不完整 也不是命题 2 命题的组成每个命题都是由和两部分组成的 条件是已知事项 结论是由已知事项推断出的事项 命题一般写成 如果 那么 的形式 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分是结论 条件 结论 要点梳理 命题 3 命题的真假命题有真有假 其中正确的命题叫做 错误的命题叫做 事实上 要说明一个命题是假命题 通常可以举出一个例子 使之具有命题的条件 而不具有命题的结论 这种例子称为反例 要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明 4 基本事实与定理经过长期的实践总结出来 并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据 这样的真命题叫做 从基本事实或其他真命题出发 用逻辑推理的方法判断它们是正确的 并可以作为进一步判断其他命题真假的依据 这样的真命题叫做 真命题 假命题 基本事实 定理 5 判定三角形全等主要有五种方法 1 全等三角形的定义 三边对应相等 三角对应相等的两个三角形 2 三边对应相等的两个三角形 简记为 s s s 3 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 简记为 a s a 4 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简记为 a a s 5 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简记为 s a s 若是直角三角形 则除了上述五种方法外 还有一种方法 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简记为 h l 全等 全等 全等 6 证全等三角形的思路 7 全等三角形的性质 1 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的面积相等 周长相等 3 全等三角形的对应线段 高线 中线 角平分线 相等 8 等腰三角形的性质和判定 1 性质 等腰三角形的两底角相等 简写成 等边对等角 2 判定 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简称 等角对等边 它的逆定理应该是 等边对等角 9 等边三角形 1 等边三角形的各个角都相等 并且每一个角都等于60 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 10 尺规作图把只能使用这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图 没有刻度的直尺和圆规 11 常见的基本作图 1 作等于已知线段 2 作一个角等于角 3 作已知角的平分线 4 过已知点作已知直线的 5 作已知线段的垂直线 12 互逆命题在两个命题中 如果第一个命题的条件是第二个命题的 而第一个命题的结论是第二个命题的 那么这两个命题叫做互逆命题 13 逆命题每一个命题都有逆命题 只要将原命题的条件改成 并将结论改成 便可以得到原命题的逆命题 一条线段 已知 垂线 平分 结论 条件 结论 条件 注意 每一个命题都有逆命题 只要将原命题的题设改成结论 并将结论改成题设 便可以得到原命题的逆命题 但原命题正确 它的逆命题未必正确 如对于真命题 如果两个角都是直角 那么这两个角相等 的逆命题 如果两个角相等 那么这两个角是直角 此命题就是一个假命题 14 逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么 它也是一个定理 这两个定理叫做互逆定理 其中一个叫做另一个的定理 注意 每个命题都有逆命题 但一个定理不一定有逆定理 如 对顶角相等 就没有逆定理 逆 15 垂直平分线到线段两端点的距离相等的点在这条线段的 它的逆定理是 线段垂直平分线上的点到 注意 前面是线段垂直平分线的判定 后面是线段垂直平分线的性质 16 角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等 它的逆定理是 到角的两边距离相等的点在 注意 前面是角平分线的性质 后面是角平分线的判定 垂直平分线上 线段两端点的距离相等 角的平分线上 例1下列命题中是假命题的是 a 三角形的内角和是180 b 多边形的外角和都等于360 c 五边形的内角和是900 d 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 考点讲练 解析 要说明一个命题是真命题 需要经过证明它是正确的 对于a b d来说 都是经过证明 被认为是正确的 而五边形的内角和是540 所以c不正确 故选c c 命题这部分内容的概念多 理论性强 看似杂乱无章 其实只要抓住三点 一切问题也就迎刃而解 主要是识别命题 找出命题的条件和结论 会判断命题的真假 1 下列命题 两点确定一条直线 两点之间 线段最短 对顶角相等 内错角相等 其中真命题的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 c df de ef d e f 例2如图 已知 abc def 请指出图中对应边和对应角 解析 根据 全等三角形的对应边相等 对应角相等 解题 两个全等三角形的长边与长边 短边与短边分别是对应边 大角与大角 小角与小角分别是对应角 有对顶角的 两个对顶角一定为一对对应角 有公共边的 公共边一定是对应边 有公共角的 公共角一定是对应角 2 如图 已知 abc aed若ab 6 ac 2 b 25 你还能说出 ade中其他角的大小和边的长度吗 解 abc aed e b 25 全等三角形对应角相等 ac ad 2 ab ae 6 全等三角形对应边相等 例3已知 abc dcb acb dbc 求证 abc dcb abc dcb 已知 bc cb 公共边 acb dbc 已知 证明 在 abc和 dcb中 abc dcb a s a 解析 运用 两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等 进行判定 3 已知 abc和 def 下列条件中 不能保证 abc和 def全等的是 a ab de ac df bc efb a d b e ac dfc ab de ac df a dd ab de bc ef c f d 4 如图所示 ab与cd相交于点o a b oa ob添加条件 所以 aoc bod理由是 c d 或 aoc bod a a s 或a s a 例4如图 在 abc中 ad平分 bac ce ad于点g 交ab于点e ef bc交ac于点f 求证 dec fec 解析 欲证 dec fec 由平行线的性质转化为证明 dec dce 只需要证明 deg dcg 证明 ce ad age agc 90 在 age和 agc中 age agc a s a ge gc 在 dge和 dgc中 dge dgc s a s deg dcg ef bc fec ecd deg fec 利用全等三角形证明角相等 首先要找到两个角所在的两个三角形 看它们全等的条件够不够 有时会用到等角转换 等角转换的途径很式 如 余角 补角的性质 平行线的性质等 必要时要想到添加辅助线 5 如图 ob ab oc ac 垂足为b c ob oc bao cao吗 为什么 解 ao平分 bac 理由如下 ob ab oc ac b c 90 在rt abo和rt aco中 ob oc ao ao rt abo rt aco h l bao cao 例5如图 两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上 旗杆与地面垂直 另一端分别固定在地面上的木桩上 两根木桩离旗杆底部的距离相等吗 解析 将本题中实际问题转化为数学问题就是证明bd cd 由已知条件可知ab ac ad bc 解 相等 理由如下 ad bc adb adc 90 在rt adb和rt adc中 rt adb rt adc h l bd cd 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离 长度 还可对某些因素作出判断 一般采用以下步骤 1 先明确实际问题 2 根据实际抽象出几何图形 3 经过分析 找出证明途径 4 书写证明过程 6 小明想设计一种方案 测一下沼泽地的宽度ab的长度 如图所示 他在ab的垂线bm上分别取出c d两点 使cd bc 再过d点作出bm的垂线dn 并在dn上找一点e 使a c e三点共线 这时所测得de的长就是这块沼泽地的宽ab的长度 你能说明理由吗 解 在 abc和 edc中 abc edc 90 acb ecd bc dc 根据 a s a 的判定定理可以判定 abc edc 再由全等三角形的对应边相等 可得ab de 例6如图 在 abc中 ab ac bd ac于d 求证 bac 2 dbc 解析 根据等腰三角形 三线合一 的性质 可作顶角 bac的平分线 来获取角的数量关系 证明 作 bac的平分线ae 交bc于点e 如图 则 ab ac ae bc 2 acb 90 bd ac dbc acb 90 2 dbc bac 2 dbc 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一 它们是证明线段相等和角相等的重要依据 等腰三角形的特殊情形 等边三角形的性质与判定应用也很广泛 有一个角是30 的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段 7 如图 在 abc中 ac bc acb 90 点d是ac上的一点 ae垂直bd的延长线于点e 且ae bd 求证 bd平分 abc c c f 证明 延长ae交bc的延长线于点f 如图所示 acb 90 acf acb 90 f fac 90 f ebf 90 fac ebf 在 acf和 bcd中 acf bcd asa af bd 在 aeb和 feb中 aeb feb s a s c ae bd abe fbe 即bd平分 abc ae ef 例7如图 等边 abc中 点d e f分别同时从点a b c出发 以相同的速度在ab bc ca上运动 连结de ef df 求证 def是等边三角形 解析 根据等边三角形的性质得出 a b c 60 ab bc ca ad be cf 进一步证得bd ec af 即可证得 adf bed cfe 根据全等三角形的性质得出de ef fd 即可证得 def是等边三角形 证明 abc是等边三角形 a b c 60 ab bc ca ad be cf bd ec af 在 adf bed和 cfe中 adf bed cfe de ef fd def是等边三角形 8 如图 abc是等边三角形 d是ab边上一点 以cd为边作等边三角形cde 使点e a在直线dc的同侧 连结ae 求证 dbc eac 证明 abc和 edc是等边三角形 bca dce 60 bca acd dce acd 即 bcd ace 在 dbc和 eac中 bc ac bcd ace dc ec dbc eac 9 如图 abc为等边三角形 又de bc ef ac fd ab 垂足分别为e f d 则 def是等边三角形吗 说明你的理由 解 是等边三角形 理由如下 ef ac fd ab abc为等边三角形 a 60 adf cfe 90 afd 30 dfe 60 同理可证 fde def 60 def是等边三角形 例8用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示 则能说明 aoc boc的依据是 a s s s b a s a c a a s d 角平分线上的点到角两边的距离相等 a 解析 由作法可得om on mc nc oc oc onc omc s s s 故选a 作角的平分线 实际上就是平分已知角 作已知角的平分线的理论依据是判定三角形全等的 s s s 10 如图 是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图 则说明 a o b aob的依据是 a s a s b s s s c a a s d a s a b 11 如图 已知在 abc中 ab ac 1 试用直尺和圆规在ac上找一点d 使ad bd 不写作法 但需保留作图痕迹 2 在 1 中 连接bd 若bd bc 求 a的度数 解 1 如图所示 2 设 a x ad bd dba a x 在 abd中 bdc a dba 2x 又 bd bc c bdc 2x 又 ab ac abc c 2x 在 abc中 a abc c 180 x 2x 2x 180 x 36 例9判断下列命题的真假 写出这些命题的逆命题并判断它们的真假 1 如果a 0 那么ab 0 2 如果点p到线段ab两端点的距离相等 那么p在线段ab的垂直平分线上 解 1 原命题是真命题 原命题的逆命题是 如果ab 0 那么a 0 逆命题为假 2 原命题是真命题 原命题的逆命题是 如果p在线段ab的垂直平分线上 那么点p到线段ab两端点的距离相等 其逆命题也是真命题 解析 写一个命题的逆命题 将命题的条件和结论交换位置 有时要添加适当的词语 使语句通畅 1 写出一个命题的逆命题关键是分清它的条件和结论 然后将条件和结论互换 将命题的条件和结论交换位置 有时要添加适当的词语 使语句通畅 2 原命题是真命题 其逆命题不一定是真命题 原命题是假命题 其逆命题不一定是假命题 要判断一个命题是假命题 只要举出一个反例即可 而要判断一个命题是真命题 则需通过推理论证得出 12 写出下列命题的逆命题 并判断其真假 1 若x 1 则x2 1 2 若 a b 则a b 解 1 逆命题 若x2 1 则x 1 是假命题 2 逆命题 若a b 则 a b 是真命题 例10如图 abc中 ab ac 6 bc 4 5 分别以a b为圆心 4为半径画弧交于两点 过这两点的直线交ac于点d 连结bd 则 bcd的周长是 10 5 解析 由题意可知过这两点的直线其实是ab边的垂直平分线 根据垂直平分线的性质 可以得bd ad ac 6 bc 4 5 bcd的周长 bd cd bc ad cd bc ac bc 6 4 5 10 5 本题集垂直平分线的画法 垂直平分线的性质 整体的思想 转化的思想于一题求线段的长 是中考的一个新的题型 希望引起读者注意 13 如图 已知 abc 直线pm是线段ac的垂直平分线 射线ap是 bac的平分线 p是两线的交点 且cp 3cm pm 2cm 求点p到直线ab的距离及到a点的距离 解 点p在线段ac的垂直平分线上 pa pc cp 3cm pa 3cm ap是 bac的平分线 点p到ab的距离等于pm的长 点p到ab的距离等于2cm 到a点的距离为3cm 例11如图 1 2 点p为bn上的一点 pcb bap 180 求证 pa pc 解析 由角平分线的性质易想到过点p向 abc的两边作垂线段pe pf 构造角平分线的基本图形 证明 过点p作pe ba pf bc 垂足分别为e f 1 2 pe ba pf bc 垂足分别为e f pe pf pea pfc 90 pcb bap 180 又知 bap eap 180 eap pcb 在 ape和 cpf中 ape cpf aas ap cp 证法2思路分析 由角是轴对称图形 其对称轴是角平分线所在的直线 所以可想到构造轴对称图形 方法是在bc上截取bd ab 连接pd 如图 则有 pab pdb 再证 pdc是等腰三角形即可获证 b 证明过程请同学们自行完成 d 角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法 应用时要依托全等三角形发挥作用 作辅助线有两种思路 一种作垂线段构造角平分线性质基本图 另一种是构造轴对称图形 14 如图 1 2 点p为bn上的一点 pa pc 求证 pcb bap 180 证明 过点p作pe ba pf bc 垂足分别为e f 1 2 pe ba pf bc 垂足分别为e f pe pf pea pf