高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语课件 湘教版.ppt

第一章集合与常用逻辑用语 1 1集合的概念与运算 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 1 3简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 1 1集合的概念与运算 1 集合与元素 1 集合中元素的三个特性 无序性 2 集合中元素与集合的关系元素与集合的关系 对于元素a与集合a 或者 或者 二者必居其一 确定性 互异性 a a aa 3 常见集合的符号表示 4 集合的表示法 列举法 描述法 venn图法 思考探究 集合 是空集吗 它与 0 有什么区别 提示 集合 不是空集 空集是不含任何元素的集合 而集合 中有一个元素 若把看做一个元素则有 而 0 表示集合中的元素为0 3 集合的基本运算 1 2014 惠州高三调研 已知集合a 若ab 则实数a的所有可能取值的集合为 解析 由题意知当集合b不能为空集时 它的元素为1或 1 当b为空集时 a 0 故a 0或1或 1 故选d 答案 d 2 设全集u r 则如图中阴影部分表示的集合为 解析 答案 b 3 已知集合a m 2 2m2 m 若3 a 则m的值为 解析 因为3 a 所以m 2 3或2m2 m 3 当m 2 3时 即m 1时 2m2 m 3 此时集合a中有重复元素3 所以m 1不符合题意 舍去 当2m2 m 3时 解得m 或m 1 舍去 此时当m 时 m 2 3符合题意 所以m 答案 5 已知集合s 3 a t x x2 3x 0 x z 且s t 1 设p s t 则集合p的真子集的个数是 解析 由已知可得t 1 2 a 1 p s t 1 2 3 故p的真子集的个数是23 1 7 答案 7 集合的基本概念 1 掌握集合的概念 关键是把握集合中元素的特性 要特别注意集合中元素的互异性 一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点 另一方面 在解答完毕之时 注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确 2 用描述法表示集合时 首先应清楚集合的类型和元素的性质 如集合 y y 2x x y 2x x y y 2x 表示不同的集合 1 已知集合a 1 2 3 4 5 b x y x a y a x y a 则b中所含元素的个数为 2 设a b r 集合 1 a b a 0 b 则b a 解析 1 由x y a 及a 1 2 3 4 5 得x y 当y 1时 x可取2 3 4 5 有4个 当y 2时 x可取3 4 5 有3个 当y 3时 x可取4 5 有2个 当y 4时 x可取5 有1个 故共有1 2 3 4 10 个 2 因为 1 a b a 0 b a 0 所以a b 0 得 1 所以a 1 b 1 所以b a 2 答案 1 10 个 2 2 变式训练 1 1 已知集合m x x2 1 x a 0 p x a2 x 0 若m p的子集的个数为2 则实数a的值是 a 0b 1c 1d 1或0 2 对任意两个集合m n 定义 m n x x m且xn 设m y y x2 x r n y y 3sinx x r 则集合m n m n n m 解析 1 a r x r m x x a 又p x x a2 且m p的子集的个数为2 则m p中有且仅有一个元素 即m p x a2 x a 中有且仅有一个元素 a2 a 解得a 0或a 1 故正确选项为d 2 由已知m y y 0 n y 3 y 3 m n y y 3 n m y 3 y3 答案 1 d 2 y 3 y3 判断集合与集合的关系 基本方法是归纳为判断元素与集合的关系 对于用描述法表示的集合 要紧紧抓住代表元素及它的属性 可将元素列举出来直观发现或通过元素特征 求同存异 定性分析 注意 要特别注意是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集在解题中的应用 集合间的基本关系 1 若集合p x x2 x 6 0 s x ax 1 0 且sp 求由a的可取值组成的集合 2 若集合a x 2 x 5 b x m 1 x 2m 1 且ba 求由m的可取值组成的集合 解析 1 p 3 2 当a 0时 s 满足sp 当a 0时 方程ax 1 0的解为x 为满足sp可使 3或 2 即a 或a 故所求集合为0 2 当m 1 2m 1 即m 2时 b 满足ba 若b 且满足ba 如图所示 则m 1 2m 1 m 2 m 1 2 即m 3 2m 1 5 m 3 2 m 3 故m 2或2 m 3 即所求集合为 m m 3 4 10 2020 变式训练 2 已知集合a x x2 4x 0 x r b x x2 2 a 1 x a2 1 0 a r x r 若ba 求实数a的值 解析 ba可分为ba和b a两种情况 易知a 0 4 1 当a b 0 4 时 0 4是方程x2 2 a 1 x a2 1 0的两根 16 8 a 1 a2 1 0 a2 1 0 a 1 2 当ba时 有b 或b 当b 时 b 0 或b 4 方程x2 2 a 1 x a2 1 0有相等的实数根0或 4 4 a 1 2 4 a2 1 0 a 1 b 0 满足条件 当b 时 0 a 1 综上知所求实数a的取值范围为a 1或a 1 集合的基本运算 在进行集合的运算时 先看清集合的元素和所满足的条件 再把所给集合化为最简形式 并合理转化求解 必要时充分利用数轴 韦恩图 图象等工具使问题直观化 并会运用分类讨论 数形结合等思想方法 使运算更加直观 简洁 r 已知全集为r 集合a t t使得 x x2 2tx 4t 3 0 r 集合b t t使得 x x2 2tx 2t 0 其中x t均为实数 1 求a b和 a b 2 设m为整数 g m m2 3 求m m g m g m a b 1 解题时要注意集合中元素的三个性质的应用 特别是无序性和互异性 要进行解题后的检测 注意符号语言与文字语言之间的相互转化 2 解题时要注意空集的特殊地位 讨论时要防止遗漏 3 元素与集合之间是属于关系 集合与集合之间是包含关系 4 可以用图示显示集合与集合之间的关系 用数轴上的点表示数集 注意数形结合思想方法的运用 5 子集 全集 补集等概念实质上即是生活中的 部分 全体 剩余 等概念在数学中的抽象与反映 当au时 的含义是 从集合u中去掉集合a的元素后 由所有剩余的元素组成的新集合 集合a的元素补上的元素后可合成集合u 6 补集与集合a的区别 两者没有相同的元素 两者的所有元素合在一起就是全集 集合是高中数学的基础内容 也是高考数学的必考内容 难度不大 一般是一道选择题或填空题 通过对近两年高考试题的统计分析可以看出 对集合内容的考查一般以两种方式出现 一是考查集合的概念 集合间的关系及集合的运算 集合的概念以考查集合中元素的特性为重点 集合间的关系以子集 真子集 空集的定义为重点 二是与其他知识相联系 以集合语言和集合思想为载体 考查函数的定义域 值域 函数 方程与不等式的关系 直线与曲线的位置关系等问题 2013 福建卷 设s t是r的两个非空子集 如果存在一个从s到t的函数y f x 满足 i t f x x s ii 对任意x1 x2 s 当x1 x2时 恒有f x1 f x2 那么称这两个集合 保序同构 现给出以下3对集合 a n b n a x 1 x 3 b x 8 x 10 a x 0 x 1 b r 其中 保序同构 的集合对的序号是 写出所有 保序同构 的集合对的序号 规范解答 对 取f x x 1 x n 所以b n a n是 保序同构 对 取f x x 1 x 3 所以a x 1 x 3 b x 8 x 10 是 保序同构 对 取f x tan x 0 x 1 所以a x 0 x 1 b r是 保序同构 故应填 答案 4 10 2020 阅后报告 求解此类新定义的存在性问题的关键是 首先 读懂新定义的含义 其次 会利用特值法来快速智取 如本题 通过取特殊函数 注意此特殊函数应满足题设中的两个条件 就可轻松解决此难题 4 10 2020 1 2013 福建卷 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 a 14b 13c 12d 10 b 解析 方程ax2 2x b 0有实数解 分析讨论 当a 0时 很显然为垂直于x轴的直线方程 有解 此时b可以取4个值 故有4种有序数对 当a 0时 需要 4 4ab 0 即ab 1 显然有3个实数对不满足题意 分别为 1 2 2 1 2 2 a b 共有4 4 16种实数对 故答案应为16 3 13 答案 b 2 2013 广东卷 设整数n 4 集合x 1 2 3 n 令集合s x y z x y z x 且三条件x y z y z x z x y恰有一个成立 若 x y z 和 z w x 都在s中 则下列选项正确的是 a y z w s x y w sb y z w s x y w sc y z w s x y w sd y z w s x y w s b 解析 特殊值法 不妨令x 2 y 3 z 4 w 1 则 y z w 3 4 1 s x y w 2 3 1 s 故选b 直接法 因为 x y z s z w x s 所以x y z y z x z x y 三个式子中恰有一个成立 z w x w x z x z w 三个式子中恰有一个成立 配对后只有四种情况 第一种 成立 此时w x y z 于是 y z w s x y w s 第二种 成立 此时x y z w 于是 y z w s x y w s 第三种 成立 此时y z w x 于是 y z w s x y w s 第四种 成立 此时z w x y 于是 y z w s x y w s 综合上述四种情况 可得 y z w s x y w s 答案 b 3 2013 山东卷 已知集合a 0 1 2 则集合b x y x a y a 中元素的个数是 a 1b 3c 5d 9 解析 当x 0时 y 0 1 2 此时x y的值分别为0 1 2 当x 1时 y 0 1 2 此时x y的值分别为1 0 1 当x 2时 y 0 1 2 此时x y的值分别为2 1 0 综上可知 x y的值可能为 2 1 0 1 2 共5个 故选c 答案 c 4 10 2020 4 2014 福建卷 已知集合 a b c 0 1 2 且下列三个关系 a 2 b 2 c 0有且只有一个正确 则100a 10b c等于 解析 i 若 正确 则 不正确 由 不正确得c 0 由 正确得a 1 所以b 2 与 不正确矛盾 故 不正确 ii 若 正确 则 不正确 由 不正确得a 2 与 正确矛盾 故 不正确 iii 若 正确 则 不正确 由 不正确得a 2 由 不正确及 正确得b 0 c 1 符合题意 故 正确 则100a 10b c 100 2 10 0 1 201 答案 201 课时作业1 1 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 1 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 可以的陈述句叫做命题 其中的语句叫真命题 的语句叫假命题 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其关系 1 四种命题间的逆否关系 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 思考探究 一个命题的 否命题 与 否定 是同一个命题吗 相同 没有关系 提示 不是 命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论 而命题的否定仅是否定命题的结论 3 充分条件与必要条件 1 如果pq 则p是q的 q是p的 2 如果pq qp 则p是q的 充分条件 必要条件 充要条件 1 下列命题是真命题的为 a 若 则x yb 若x2 1 则x 1c 若x y 则 d 若x y 则x2 y2 解析 由 得x y a正确 b c d错误 答案 a 2 2013 北京西城模拟 命题 若a b 则a 1 b 的逆否命题是 a 如果a 1 b 则a bb 如果a 1 b 则a bc 如果a 1 b 则a bd 如果a 1 b 则a b 解析 逆否命题为 若a 1 b 则a b 答案 c 3 a 0且 1 b 0 是 a ab 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 a 命题及其关系与命题的真假判定 在判断四种命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一个命题定为原命题 也就相应地有了它的 逆命题 否命题 和 逆否命题 能判断真假的陈述句称之为命题 因此命题有真有假 判断数学命题的真假需要相关的数学知识和推理方法 同时四种命题间有着下列相应的真假结论 即原命题为真 它的逆命题不一定为真 它的否命题也不一定为真 但它的逆否命题一定为真 分别写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 1 实数的平方是非负数 2 等底等高的两个三角形是全等三角形 3 弦的垂直平分线经过圆心 并平分弦所对的弧 解析 1 逆命题 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 真命题 否命题 若一个数不是实数 则它的平方不是非负数 真命题 逆否命题 若一个数的平方不是非负数 则这个数不是实数 真命题 2 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 真命题 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 真命题 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 假命题 3 逆命题 若一条直线经过圆心 且平分弦所对的弧 则这条直线是这条弦的垂直平分线 真命题 否命题 若一条直线不是弦的垂直平分线 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧 真命题 逆否命题 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧 则这条直线不是这条弦的垂直平分线 真命题 变式训练 1 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若x2 y2 0 则实数x y全为零 3 若3 2x x2 0 则x 1或x 3 解析 1 原命题是假命题 逆命题 两个全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 2 原命题是真命题 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 3 由3 2x x2 0得x2 2x 3 0 3 x 1 原命题是假命题 逆命题 若x 1 或x 3 则3 2x x2 0 假命题 否命题 3 2x x2 0 则 1 x 3 假命题 逆否命题 若 1 x 3 则3 2x x2 0 假命题 充分条件与必要条件的判定 充分条件 必要条件 充要条件的判定 1 定义法 分清条件和结论 分清哪个是条件 哪个是结论 找推式 判断 pq 及 qp 的真假 下结论 根据推式及定义下结论 2 等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题 常转化为其逆否命题来判断 指出下列各小题中 p是q的什么条件 1 p x 2 x 3 0 q x 2 0 2 p 四边形的对角线相等 q 四边形是平行四边形 3 p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 4 在 abc中 p a b q bc ac 解析 1 x 2 x 3 0 x 2 0 可能x 3 0 但x 2 0 x 2 x 3 0 p是q的必要不充分条件 2 四边形的对角线相等四边形是平行四边形 四边形是平行四边形四边形的对角线相等 p是q的既不充分也不必要条件 3 x 1 2 y 2 2 0 x 1且y 2 x 1 y 2 0 而 x 1 y 2 0 x 1 2 y 2 2 0 p是q的充分不必要条件 4 在 abc中 大边对大角 大角对大边 a bbc ac 同时 bc ac a b p是q的充要条件 变式训练 2 判断下列各题中p是q的什么条件 1 p x 2 q x2 x 2 0 2 p 直线a2x y 6 0与直线4x a 3 y 9 0互相垂直 q a 1 3 p cosa cosb q a0 解析 1 p x 2或x 2 q x 1或x 2 pq 但qp 故p是q的充分不必要条件 2 当且仅当4a2 a 3 0 即a 1或a 时 两条直线互相垂直 即pq 而qp 故p是q的必要不充分条件 3 由于pq 且qp 故p是q的既不充分也不必要条件 4 p 0 p是q的充要条件 充分条件与必要条件的应用 解决此类问题一般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 1 对命题正误的判断 正确的命题要加以论证 不一定正确的命题要举出反例 这是最基本的数学思维方式 在判断命题正误的过程中 要注意简单命题与复合命题之间的真假关系 要注意命题四种形式之间的真假关系 2 在充分条件 必要条件和充要条件的判断过程中 可利用图示这种数形结合的思想方法 在证明充要条件时 首先要弄清充分性和必要性 3 特殊情况下如果命题以p x a q x b的形式出现 则有 1 若ab 则p是q的充分条件 2 若ba 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 从近两年的高考试题看 充要条件的判定 判断命题的真假等是高考的热点 题型以选择题 填空题为主 分值为5分 属中低档题目 本节知识常和函数 不等式及立体几何中直线 平面的位置关系等有关知识相结合 考查学生对函数的有关性质 不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度 2013 安徽卷 a 0 是 函数f x ax 1 x 在区间 0 内单调递增 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 c 规范解答 当a 0时 f x x y f x 在 0 上单调递增 当a0时 f x ax 1 x y f x 在 0 上单调递增 a 0是y f x 在 0 上单调递增的充分条件 相反 当y f x 在 0 上单调递增a 0 a 0是y f x 在 0 上单调递增的必要条件 故前者是后者的充分必要条件 所以选c 答案 c 阅后报告 高考对命题的考查 充要条件的判断是重点 常以方程 不等式 函数等代数知识及几何知识为载体考查 从能力上主要考查推理判断能力和论证能力 涉及参数问题 直接解决较为困难 先用等价转化思想 将复杂 生疏的问题化归为简单 熟悉的问题来解决 1 2014 福建卷 直线l y kx 1与圆o x2 y2 1相交于a b两点 则 k 1 是 oab的面积为 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分又不必要条件 a 解析 由直线l与圆o相交 得圆心o到直线l的距离d 解得k 0 当k 1时 d ab 则 oab的面积为 当k 1时 同理可得 oab的面积为 则 k 1 是 oab的面积为 的充分不必要条件 答案 a 2 2014 广东卷 在 abc中 角a b c所对应的边分别为a b c 则 a b 是 sina sinb 的 a 充分必要条件b 充分非必要条件c 必要非充分条件d 非充分非必要条件 解析 设r是三角形外切圆的半径 r 0 由正弦定理 得a 2rsina b 2rsinb 则a bsina sinb 故选a 答案 a 3 2013 上海卷 钱大姐常说 便宜没好货 她这句话的意思是 不便宜 是 好货 的 a 充分条件b 必要条件c 充分必要条件d 既非充分又非必要条件 解析 便宜没好货 不代表不便宜就有好货 但认为好货一定不便宜 所以是必要条件 答案 b 1 3简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 1 简单的逻辑联结词 1 用联结词 且 联结命题p和命题q 记做 读做 2 用联结词 或 联结命题p和命题q 记做 读做 3 对一个命题p全盘否定记做 读做 非p 或 p的否定 4 命题p q p q p的真假判断 p且q 有假则 p或q 有真则 p 真假对 p q p且q p q p或q p 假 真 相反 2 全称量词与存在量词 1 短语在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做 可用符号简记为它的否定 2 短语在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表示 含有存在量词的命题 叫做 可用符号简记为 它的否定 所有的 任意一个 全称命题 x m p x x m p x 存在一个 至少有一个 特称命题 x m p x x m p x 2 2014 皖南八校联考 下列命题中 真命题是 a 存在x0 r b 任意x 0 sinx cosxc 任意x 0 x2 1 xd 存在x0 r x02 x0 1 解析 对于a选项 x r 故a为假命题 对于b选项 存在x sinx cosx sinx0恒成立 c为真命题 对于d选项 x2 x 1 x 2 0恒成立 不存在x0 r 使x02 x0 1成立 故d为假命题 答案 c 3 若 p且q 与 p或q 均为假命题 则 a p真q假b p假q真c p与q均真d p与q均假 解析 p且q为假 则p与q不可能全真 而 p或q为假 则 p与q均为假 从而p为真 q为假 答案 a 4 命题 存在x r 使得x2 2x 5 0 的否定是 解析 命题的否定是仅否定结论的命题 即有原命题的否定为 不存在x r 使得x2 2x 5 0 也即对任何x r 都有x2 2x 5 0 答案 对任何x r 都有x2 2x 5 0 5 命题 ex r 2x2 3ax 9 0 为假命题 则实数a的取值范围是 解析 x r 2x2 3ax 9 0 为假命题 则 x r 2x2 3ax 9 0 为真命题 因此 9a2 4 2 9 0 故 a 答案 含有逻辑联结词的命题的构成与分解及命题的真假判断 1 含有逻辑联结词的命题的构成与分解一个命题可以是不含任何逻辑联结词的简单形式 也可以是含有逻辑联结词的较复杂形式 判断有关命题的真假时 往往需要弄清命题的构成形式 这时不但要看一个命题中是否含有逻辑联结词 更重要的是要看命题的内容结构中是否含有逻辑联结真正含义 2 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1 确定命题的构成形式 2 判断其中命题p q的真假 3 确定 p q p q p 形式命题的真假 1 分别写出由下列各组命题构成的 p q p q p 形式的新命题 并判断它们的真假 p 5是奇数 q 5是12的约数 p 相等向量的模相等 q 相等向量的方向相同 2 指出下列命题的构成形式 判断它们的真假 并对各命题进行分解 正方体的各条棱长相等 对角线互相平分 负数的平方不大于0 解析 1 p q 5是奇数且是12的约数 假命题 p q 5是奇数或是12的约数 真命题 p 5不是奇数 假命题 p q 相等向量的模相等且方向相同 真命题 p q 相等向量的模相等或方向相同 真命题 p 相等向量的模不相等 假命题 2 是p q形式的命题 真命题 其中p 正方体的各条棱长相等 q 正方体的对角线互相平分 是p q形式的命题 假命题 其中p 负数的平方小于0 q 负数的平方等于0 变式训练 1 1 已知命题p x r 使tanx 1 命题q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 下列结论 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 其中正确的是 a b c d 2 下列结论错误的是 a 命题 若p则q 与命题 若q则p 同真同假b 命题p x 0 1 ex 1 命题q x r x2 x 1 0 则p q为真c 若am2 bm2 则a b 的逆命题为真命题d 若p q为假命题 则p q均为假命题 解析 1 命题p x r 使tanx 1正确 命题q x2 3x 2 0的解集是 x 1 x 2 也正确 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 命题 p q 是真命题 命题 p q 是假命题 故应选d 2 a中两个命题互为逆否命题 它们同真同假 a正确 b中的命题p是真命题 而q是假命题 p q也为真命题 b正确 c中原命题是真命题 但它的逆命题 若a b 则am2 bm2 是假命题 即c错误 d中命题是真命题 故选c 全 特 称命题的真假判断与否定 1 全 特 称命题的真假判断 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x验证p x 成立 但要判断全称命题为假命题 只要能举出集合m中的一个x x0 使得p x0 不成立即可 2 要判断一个特称命题为真命题 只要在限定集合m中 至少能找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 2 全 特 称命题的否定对一个命题的否定是全部否定 而不是部分否定 1 全 特 称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别 全 特 称命题的否定是将其全称量词改为存在量词 或存在量词改为全称量词 并把结论否定 而命题的否定 则直接否定结论即可 2 要判断 p 的真假 可以直接判断 也可以判断p的真假 利用p与 p 的真假相反判断 已知下列命题 写出它们的否定 并判断原命题与命题的否定的真假 1 x r 2 x 0 3 所有末位数是0的整数都能被5整除 4 存在一个三角形 它的内角和大于180 5 有些梯形的对角线互相平分 sinx 解析 1 对于任意x r 均有 原命题是假命题 它的否定是 x r 命题的否定是真命题 2 cos2x 1 2 对x 0 sinx 即原命题是真命题 它的否定是 x 0 sinx 这是一个假命题 3 原命题是真命题 它的否定是 存在一个末位数是0的整数不能被5整除 这是一个假命题 4 原命题是假命题 它的否定是 所有的三角形的内角和都小于或等于180 这是一个真命题 5 原命题是假命题 它的否定是 任意一个梯形的对角线都不互相平分 这是一个真命题 变式训练 2 指出下列命题是全称命题还是特称命题 写出它们的否定形式 并判断真假 1 每个指数函数都是单调函数 2 任意实数都有算术平方根 3 能够被3整除的整数 能够被6整除 4 存在实数 使f x sin 2x 是偶函数 5 存在实数x 0 1 解析 1 全称命题 指数函数或是减函数 或是增函数 是真命题 它的否定形式是 存在指数函数不是单调函数 这是一个假命题 2 全称命题 负数显然没有算术平方根 是假命题 它的否定形式是 存在实数没有算术平方根 这是一个真命题 3 全称命题 由于3能被3整除 但不能被6整除 是假命题 它的否定形式是 存在能被3整除的整数不能被6整除 是真命题 4 特称命题 如 2k k z 时 函数f x sin 2x 是偶函数 是真命题 它的否定形式是 对任意实数 函数f x sin 2x 都不是偶函数 是假命题 5 特称命题 当x 时 1 而 1 是真命题 它的否定形式是 任意x 0 1 是假命题 含逻辑联结词命题真假性的应用 存在一类与含逻辑联结词的命题的真假判断相关的命题 它们常与不等式相结合 与所含参数的取值范围相联系 求解这类综合性问题时 常需要分解复合命题 利用下列真值表帮助找到简单命题与复合命题间的真假关系 已知a 1 设命题p a是使a x 2 1 0成立的所有的x构成的集合 命题q b是使 x 1 2 a x 2 1成立的所有的x构成的集合 若 p q为假命题 试求由x构成的集合 变式训练 3 已知命题p 函数y a 1 x在r上单调递增 命题q 不等式x x 3a 1的解集为r 若p q为真 p q为假 求实数a的取值范围 解析 若p真 则a 1 1a 2 q真x x 3a 1恒成立 设h x x x 3a 则h x min 1 h x 2x 3a x 3a 3a x1 即a p q为真 p q为假 p q一真一假 1 若p真q假 则a 2且a 矛盾 2 若p假q真 则a 2且a a 2 综上可知 a的取值范围是