一元一次方程应用题归类汇集讲义(补课用)

一元一次方程应用题归类汇集一元一次方程应用题归类汇集 一元一次方程应用题归类汇集一元一次方程应用题归类汇集 行程问题行程问题 工程问题工程问题 和差倍分和差倍分 问题 生产 做工等各类问题 问题 生产 做工等各类问题 调配问题调配问题 分配问题分配问题 配套问题配套问题 增长率问题增长率问题 数字问题数字问题 方案设计与成本分析方案设计与成本分析 古典数学古典数学 浓浓 度度等等问题问题 一 一 行程问题行程问题 1 1 行程问题中的三个基本量及其关系 行程问题中的三个基本量及其关系 路程路程 速度速度 时间 时间 2 2 基本类型有 基本类型有 相遇问题 相遇问题 追及问题 常见的还有 相背而追及问题 常见的还有 相背而 行 行船问题 环形跑道问题 行 行船问题 环形跑道问题 3 3 解此类题的关键是抓住甲 乙两物体的时间关系或所走的路程关 解此类题的关键是抓住甲 乙两物体的时间关系或所走的路程关 类型 等 量 关 系 列 一 元 一 次 方 程 解 行 程 问 题 直线 相遇 追及 相遇 追及 顺逆流问题 错车问题 两者的路程之和 两地的距离 两者的路程之差 两地的距离 两者的路程之和 环形跑道一圈的长度 两者的路程之差 环形跑道一圈的长度 路程或静水中的速度相等 两者路程和或差 两个车身的长度和 系 一般情况下问题就能迎刃而解 并且还常常借助画草图来分析 系 一般情况下问题就能迎刃而解 并且还常常借助画草图来分析 理解行程问题 理解行程问题 例例 1 1 甲 乙两站相距甲 乙两站相距 480480 公里 一列慢车从甲站开出 每小时行公里 一列慢车从甲站开出 每小时行 9090 公里 一列快车从乙站开出 每小时行公里 一列快车从乙站开出 每小时行 140140 公里 公里 1 1 慢车先开出 慢车先开出 1 1 小时 快车再开 两车相向而行 问快车开出多小时 快车再开 两车相向而行 问快车开出多 少小时后两车相遇 少小时后两车相遇 2 2 两车同时开出 相背而行多少小时后两车相距 两车同时开出 相背而行多少小时后两车相距 600600 公里 公里 3 3 两车同时开出 慢车在快车后面同向而行 多少小时后快车与 两车同时开出 慢车在快车后面同向而行 多少小时后快车与 慢车相距慢车相距 600600 公里 公里 4 4 两车同时开出同向而行 快车在慢车的后面 多少小时后快车 两车同时开出同向而行 快车在慢车的后面 多少小时后快车 追上慢车 追上慢车 5 5 慢车开出 慢车开出 1 1 小时后两车同向而行 快车在慢车后面 快车开出小时后两车同向而行 快车在慢车后面 快车开出 后多少小时追上慢车 后多少小时追上慢车 此题关键是要理解清楚相向 相背 同向等的含义 弄清行驶过此题关键是要理解清楚相向 相背 同向等的含义 弄清行驶过 程 故可结合图形分析 程 故可结合图形分析 一 相遇 一 相遇 1 1 甲 乙两人在相距甲 乙两人在相距 1818 千米的两地同时出发 相向而行 千米的两地同时出发 相向而行 1 1 小时小时 4848 分分 相遇 如果甲比乙早出发相遇 如果甲比乙早出发 4040 分钟 那么在乙出发分钟 那么在乙出发 1 1 小时小时 3030 分时两人分时两人 相遇 求甲 乙两人的速度 相遇 求甲 乙两人的速度 2 2 A A B B 两地相距两地相距 1515 千米千米 甲每小时走甲每小时走 5 5 千米 乙每小时走千米 乙每小时走 4 4 千米千米 甲 乙两人分别从甲 乙两人分别从 A A B B 两地同时出发 相向而行 几小时后两人相遇 两地同时出发 相向而行 几小时后两人相遇 3 3 A A B B 两地相距两地相距 1515 千米千米 甲每小时走甲每小时走 5 5 千米 乙每小时走千米 乙每小时走 4 4 千米千米 甲 甲 乙两人分别从乙两人分别从 A A B B 两地相向而行 甲先出发两地相向而行 甲先出发 1 1 小时后乙再出发 几小小时后乙再出发 几小 时后两人相遇 时后两人相遇 4 4 A A B B 两地相距两地相距 1515 千米千米 甲每小时走甲每小时走 5 5 千米 乙每小时走千米 乙每小时走 4 4 千米千米 甲 乙两人分别从甲 乙两人分别从 A A B B 两地同时出发 背向而行 几小时后两人相距两地同时出发 背向而行 几小时后两人相距 6060 千米 千米 5 5 甲乙两人从相距甲乙两人从相距 3232 千米的两地相向而行千米的两地相向而行 甲步行每小时走甲步行每小时走 4 4 千米千米 先先 行行 1 1 小时后小时后 乙骑自行车出发乙骑自行车出发 2 2 小时后与甲相遇小时后与甲相遇 问乙骑自行车每小时问乙骑自行车每小时 走多少千米走多少千米 6 6 某汽车和电动车从相距某汽车和电动车从相距 298298 千米的两地同时出发相对而行 汽车的千米的两地同时出发相对而行 汽车的 速度比电动车速度的速度比电动车速度的 6 6 倍还多倍还多 1515 千米 半小时后相遇 求两车的速度 千米 半小时后相遇 求两车的速度 7 7 甲 乙两站相距甲 乙两站相距 280280 千米 一列慢车从甲站出发 每小时行驶千米 一列慢车从甲站出发 每小时行驶 6060 千千 米 一列快车从乙站米 一列快车从乙站 出发 每小时行驶出发 每小时行驶 8080 千米 问 千米 问 1 1 两车同时开出 相向而行 出发后多少小时相遇 两车同时开出 相向而行 出发后多少小时相遇 2 2 两车同时开出 同向而行 如果慢车在前 出发后多少小时快车 两车同时开出 同向而行 如果慢车在前 出发后多少小时快车 追上慢车 追上慢车 8 8 一列快车从甲地开往乙地需一列快车从甲地开往乙地需 5 5 小时小时 一列慢车从乙地开往甲地需要的一列慢车从乙地开往甲地需要的 时间比快车多时间比快车多 5 1 小时小时 两列火车同时从两地相对开出两列火车同时从两地相对开出 2 2 小时后小时后 慢车在慢车在 一个车站停了下来一个车站停了下来 快车继续行驶快车继续行驶 9696 千米与慢车相遇千米与慢车相遇 问甲 乙两地相问甲 乙两地相 距多少千米距多少千米 9 9 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶 客车长客车长 200200 米米 货车货车 长长 310310 米米 客货两车的速度比为客货两车的速度比为 4 3 4 3 如果客车从后面追赶货车如果客车从后面追赶货车 从车头从车头 赶上到车尾超过的时间为赶上到车尾超过的时间为 2 2 分钟分钟 求两列火车的速度求两列火车的速度 10 10 一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地 每小时走一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地 每小时走 1515 公里 早到公里 早到 2424 分钟 如果每小时走分钟 如果每小时走 1212 公里 就要迟到公里 就要迟到 1515 分钟 原分钟 原 定时间是多少 他去某地的路程是多远 定时间是多少 他去某地的路程是多远 二 追击 二 追击 1 1 一列客车长一列客车长 200200 m m 一列货车长一列货车长 280280 m m 在平行的轨道上相向行驶在平行的轨道上相向行驶 从从 两车头相遇到两车尾相离经过两车头相遇到两车尾相离经过 1616 秒秒 已知客车与货车的速度之比是已知客车与货车的速度之比是 3 2 3 2 问两车每秒各行驶多少米问两车每秒各行驶多少米 2 2 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进 行人的速度是每小时行人的速度是每小时 3 6Km3 6Km 骑自行车的人的速度是每小时 骑自行车的人的速度是每小时 10 8Km10 8Km 如果一列火车从他们背后开来 它通过行人的时间是如果一列火车从他们背后开来 它通过行人的时间是 2222 秒 通过骑自秒 通过骑自 行车人的时间是行车人的时间是 2626 秒 秒 1 1 行人的速度为每秒多少米 行人的速度为每秒多少米 2 2 求这列火车的身长是多少米 求这列火车的身长是多少米 3 3 休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家 我们走了休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家 我们走了 1 1 小时后 爸小时后 爸 爸发现带给外婆的礼品忘在家里 便立刻带上礼品以每小时爸发现带给外婆的礼品忘在家里 便立刻带上礼品以每小时 6 6 千米的千米的 速度去追 如果我和妈妈每小时行速度去追 如果我和妈妈每小时行 2 2 千米 从家里到外婆家需要千米 从家里到外婆家需要 1 1 小小 时时 4545 分钟 问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗 分钟 问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗 4 4 一次远足活动中 一部分人步行 另一部分乘一辆汽车 两部分人一次远足活动中 一部分人步行 另一部分乘一辆汽车 两部分人 同地出发 汽车速度同地出发 汽车速度 6060 公里公里 小时 我们的速度是小时 我们的速度是 5 5 公里公里 小时 步行小时 步行 者比汽车提前者比汽车提前 1 1 小时出发 这辆汽车到达目的地后 再回头接步行这小时出发 这辆汽车到达目的地后 再回头接步行这 部分人 出发地到目的地的距离是部分人 出发地到目的地的距离是 6060 公里 问 步行者在出发后经多公里 问 步行者在出发后经多 少时间与回头接他们的汽车相遇少时间与回头接他们的汽车相遇 汽车掉头的时间忽略不计 汽车掉头的时间忽略不计 5 5 某中学学生步行去某地参加社会公益活动 每小时行走 某中学学生步行去某地参加社会公益活动 每小时行走 4 4 千米千米 出出 发发 3030 分钟后 学校派一名通信员骑自行车以分钟后 学校派一名通信员骑自行车以 1212 千米 时的速度追赶千米 时的速度追赶 队伍 问通信员用多少时间可以追上学生队伍 队伍 问通信员用多少时间可以追上学生队伍 6 6 某中学学生步行去某地参加社会公益活动 每小时 某中学学生步行去某地参加社会公益活动 每小时 4 4 千米千米 出发出发 3030 分钟后 队长派一名通信员以分钟后 队长派一名通信员以 8 8 千米 时原路的速度返回学校取重要千米 时原路的速度返回学校取重要 信件 然后以信件 然后以 1212 千米 时的速度追赶队伍 问通信讯员拿到信件后用千米 时的速度追赶队伍 问通信讯员拿到信件后用 多少时间可以追上学生队伍 多少时间可以追上学生队伍 7 7 甲乙两人练习短距离赛跑甲乙两人练习短距离赛跑 甲每秒跑甲每秒跑 7 57 5 米米 乙每秒跑乙每秒跑 7 7 米米 如果乙先如果乙先 跑跑 1 1 秒种秒种 甲经过几秒钟可以追上乙甲经过几秒钟可以追上乙 8 8 甲 乙两人练习跑步 从同一地点出发 甲每分钟跑甲 乙两人练习跑步 从同一地点出发 甲每分钟跑 250250 米 乙每米 乙每 分钟跑分钟跑 200200 米 甲因找跑鞋比乙晚出发米 甲因找跑鞋比乙晚出发 3 3 分钟 结果两人同时到达终分钟 结果两人同时到达终 点 求两人所跑的路程 点 求两人所跑的路程 9 9 敌我相距敌我相距 1414 千米千米 得知敌军于得知敌军于 1 1 小时前以每小时小时前以每小时 4 4 千米的速度逃跑千米的速度逃跑 现在我军以每小时现在我军以每小时 7 7 千米的速度追击敌军千米的速度追击敌军 问需几小时可以追上问需几小时可以追上 10 10 甲 乙两站相距甲 乙两站相距 245245 千米千米 一列慢车由甲站开出一列慢车由甲站开出 每小时行驶每小时行驶 5050 千千 米米 同时同时 一列快车由乙站开出一列快车由乙站开出 每小时行驶每小时行驶 7070 千米千米 两车同向而行两车同向而行 快快 车在慢车的后面车在慢车的后面 经过几小时快车可以追上慢车经过几小时快车可以追上慢车 11 11 某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动 以每小时以每小时 4 4 千米的速千米的速 度行进度行进 走完走完 1 1 千米时千米时 一个学生奉命回学校取一件东西一个学生奉命回学校取一件东西 他以每小时他以每小时 5 5 千米的速度跑回学校千米的速度跑回学校 取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍 结果在距农场结果在距农场 1 51 5 千米的地方追上队伍千米的地方追上队伍 求学校到农场的距离求学校到农场的距离 12 12 甲 乙两人由甲 乙两人由 A A 村去村去 B B 城办事城办事 乙临时因事耽误了乙临时因事耽误了 3030 分钟分钟 若乙的若乙的 速度比甲的速度每小时快速度比甲的速度每小时快 5 5 千米千米 那么乙用了那么乙用了 2 2 小时追上甲小时追上甲 求甲 乙求甲 乙 两人的速度及追上时离两人的速度及追上时离 A A 村的距离村的距离 13 13 甲 乙两人从同一地点出发甲 乙两人从同一地点出发 同向而行同向而行 甲骑自行车甲骑自行车 乙步行乙步行 如果乙如果乙 先走先走 1212 千米千米 那么甲用那么甲用 1 1 小时就能追上乙小时就能追上乙 如果乙先走如果乙先走 1 1 小时小时 那么甲那么甲 只用只用 2 1 小时就能追上乙小时就能追上乙 求两人的速度求两人的速度 14 14 甲从甲从 A A 地出发以地出发以 6 6 千米千米 时的速度向时的速度向 B B 地行驶地行驶 40 40 分钟后分钟后 乙从乙从 A A 地地 以以 8 8 千米千米 时的速度按甲所走的路径追甲时的速度按甲所走的路径追甲 结果在甲行至离结果在甲行至离 B B 地还差地还差 5 5 千米处追上了甲千米处追上了甲 求求 A A B B 两地间的距离两地间的距离 三 三 行船问题 行船问题 流水问题是研究船在流水中的行程问题 因此 又叫行船问题 流水问题是研究船在流水中的行程问题 因此 又叫行船问题 流水问题有如下两个基本公式 流水问题有如下两个基本公式 顺水速度顺水速度 船速船速 水速水速 1 1 逆水速度逆水速度 船速船速 水速水速 2 2 水速水速 船速船速 逆水速度逆水速度 3 3 船速船速 逆水速度逆水速度 水速水速 4 4 船速船速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 5 5 水速水速 顺水速度 顺水速度 逆水速度 逆水速度 2 2 6 6 1 1 一艘船在两个码头之间航行 水流速度是一艘船在两个码头之间航行 水流速度是 3 3 千米每小时 顺水航行千米每小时 顺水航行 需要需要 2 2 小时 逆水航行需要小时 逆水航行需要 3 3 小时 求两码头的之间的距离 小时 求两码头的之间的距离 2 2 一轮船航行于两个码头之间 逆水需一轮船航行于两个码头之间 逆水需 1010 小时 顺水需小时 顺水需 6 6 小时 已知小时 已知 该船在静水中每小时航行该船在静水中每小时航行 1212 千米 求水流速度和两码头间的距离 千米 求水流速度和两码头间的距离 3 3 一艘船从一艘船从 A A 港到港到 B B 港顺流行驶 用了港顺流行驶 用了 5 5 小时 从小时 从 B B 港返回港返回 A A 港逆流港逆流 而行 用了而行 用了 7 57 5 小时 已知水流的速度是小时 已知水流的速度是 3 3 千米千米 时 求船在静水中的时 求船在静水中的 速度 速度 4 4 一只轮船航行于甲 乙两地之间一只轮船航行于甲 乙两地之间 顺水用顺水用 3 3 小时小时 逆水比顺水多逆水比顺水多 3030 分分 钟钟 已知轮船在静水中速度是每小时已知轮船在静水中速度是每小时 2626 千米千米 求水流的速度求水流的速度 5 5 一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时 从乙码头返回甲码头一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时 从乙码头返回甲码头 逆流行驶用了逆流行驶用了 2 52 5 小时 已知水流的速度是小时 已知水流的速度是 3 3 千米千米 时 求船在静水中时 求船在静水中 的平均速度 的平均速度 6 6 某人乘船由某人乘船由 A A 地顺流而下到地顺流而下到 B B 地 然后又逆流而上到地 然后又逆流而上到 C C 地 共乘船地 共乘船 3 3 小时 已知船在静水中的速度是每小时小时 已知船在静水中的速度是每小时 8 8 千米 水流速度是每小时千米 水流速度是每小时 2 2 千米 若千米 若 A A C C 两地距离为两地距离为 2 2 千米 求千米 求 A A B B 两地之间的距离 两地之间的距离 7 7 一只轮船航行于甲 乙两地之间 顺水用一只轮船航行于甲 乙两地之间 顺水用 3 3 小时 逆水用的时间比小时 逆水用的时间比 顺水多用顺水多用 3030 分钟 已知船在静水中的速度是每小时分钟 已知船在静水中的速度是每小时 2626 千米 求水流千米 求水流 的速度和甲 乙两地的距离 的速度和甲 乙两地的距离 8 8 一架飞机飞行在两个城市之间 风速为每小时一架飞机飞行在两个城市之间 风速为每小时 2424 千米 顺风飞行需千米 顺风飞行需 要要 2 2 小时小时 5050 分钟 逆风飞行需要分钟 逆风飞行需要 3 3 小时 求两城市间距离 小时 求两城市间距离 9 9 一架飞机在两城之间飞行 风速为一架飞机在两城之间飞行 风速为 24 千米千米 小时 顺风飞行需要小时 顺风飞行需要 2 小小 时时 50 分 逆风飞行需要分 逆风飞行需要 3 小时 求无风时飞机的航速和两城之间的航小时 求无风时飞机的航速和两城之间的航 程 程 四 上坡下坡 四 上坡下坡 1 1 某人每小时可走平路某人每小时可走平路 8 8 千米千米 可走下坡路可走下坡路 1010 千米千米 可走上坡路可走上坡路 6 6 千千 米米 他从甲地到乙地去他从甲地到乙地去 先走一段上坡路先走一段上坡路 再走一段平路再走一段平路 到乙地后立即到乙地后立即 返回甲地返回甲地 往返共用了往返共用了 2 2 小时小时 3636 分钟分钟 若甲乙两地间的路程为若甲乙两地间的路程为 1010 千米千米 问在这问在这 1010 千米路程中千米路程中 上坡路及平路各有多少千米上坡路及平路各有多少千米 五 圆环跑道 五 圆环跑道 1 1 在在 800800 米跑道上有两人练中长路 甲每分钟跑米跑道上有两人练中长路 甲每分钟跑 320320 米 乙每分钟跑米 乙每分钟跑 280280 米 米 两人同时同地同向起跑 两人同时同地同向起跑 t t 分钟后第一次相遇 分钟后第一次相遇 t t 等于等于 分钟 分钟 2 2 甲甲 乙二人在乙二人在 400400 米的环形跑道上跑步 已知甲的速度比乙快 如果米的环形跑道上跑步 已知甲的速度比乙快 如果 二人在同一地方出发 同向跑 则二人在同一地方出发 同向跑 则 3 3 分分 2020 秒 相遇一次 若反向跑 秒 相遇一次 若反向跑 则则 4040 秒相遇 求甲跑步的速度每秒跑多少米 秒相遇 求甲跑步的速度每秒跑多少米 3 3 甲 乙二人在长为甲 乙二人在长为 400400 米的圆形跑道上跑步 已知甲每秒钟跑米的圆形跑道上跑步 已知甲每秒钟跑 9 9 米 米 乙每秒钟跑乙每秒钟跑 7 7 米 米 1 1 当两人同时同地背向而行时 经过几秒钟两人首次相遇 当两人同时同地背向而行时 经过几秒钟两人首次相遇 2 2 两人同时同地同向而行时 经过几秒钟两人首次相遇 两人同时同地同向而行时 经过几秒钟两人首次相遇 4 4 一环形公路周长是一环形公路周长是 2424 千米千米 甲乙两人从公路上的同一地点同一时间甲乙两人从公路上的同一地点同一时间 出发出发 背向而行背向而行 3 3 小时后小时后 他们相遇他们相遇 已知甲每小时比乙慢已知甲每小时比乙慢 0 50 5 千米千米 求求 甲 乙两人速度各是多少甲 乙两人速度各是多少 5 5 某市举行环城自行车赛某市举行环城自行车赛 一圈一圈 7 7 千米千米 甲的速度是乙的速度的甲的速度是乙的速度的 7 5 出发出发 后来后来 1 1 6 1 小时小时 两人第二次相遇两人第二次相遇 问问 甲 乙二人每分钟相差多少千米甲 乙二人每分钟相差多少千米 六 折返问题 六 折返问题 1 1 某校学生列队以某校学生列队以 8 8 千米千米 时的速度前进 在队尾 校长让一名学生跑时的速度前进 在队尾 校长让一名学生跑 步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示 然后立即返回队尾 这步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示 然后立即返回队尾 这 位学生的速度为位学生的速度为 1212 千米千米 时 从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了时 从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了 7 27 2 分钟 问学生队伍的长是多少米分钟 问学生队伍的长是多少米 2 2 某人骑自行车以每小时某人骑自行车以每小时 1010 千米的速度从甲地到乙地千米的速度从甲地到乙地 返回时因事绕返回时因事绕 道而行道而行 比去时多走比去时多走 8 8 千米的路千米的路 虽然行车的速度增加到每小时虽然行车的速度增加到每小时 1212 千米千米 但但 比去时还多用了比去时还多用了 1010 分钟分钟 求甲 乙两地的距离求甲 乙两地的距离 3 3 小王骑车从小王骑车从 A A 地到地到 B B 地共用了地共用了 4 4 小时小时 从从 B B 地返回地返回 A A 地地 他先以去时他先以去时 的速度骑车行的速度骑车行 2 2 小时小时 后因车出了毛病后因车出了毛病 修车耽误了半小时修车耽误了半小时 接着他用接着他用 比原速度每小时快比原速度每小时快 6 6 千米的速度回到千米的速度回到 A A 地地 结果返程比去时少用了结果返程比去时少用了 1010 分钟分钟 求小王从求小王从 A A 地到地到 B B 地的骑车速度地的骑车速度 4 4 汽车从汽车从 A A 地往地往 B B 地送货地送货 如果往返都以每小时如果往返都以每小时 6060 千米的速度行驶千米的速度行驶 那那 么可以按时返回么可以按时返回 可是当司机到达可是当司机到达 B B 地后才发现地后才发现 从从 A A 地到地到 B B 地每小时地每小时 只走了只走了 5555 千米千米 为了按时返回为了按时返回 A A 地地 汽车应以多大速度往回开汽车应以多大速度往回开 七 其他行程问题 七 其他行程问题 1 1 从甲地到乙地 某人步行比乘公交车多用从甲地到乙地 某人步行比乘公交车多用 3 63 6 小时 已知步行速度小时 已知步行速度 为每小时为每小时 8 8 千米 公交车的速度为每小时千米 公交车的速度为每小时 4040 千米 设甲乙两地相距千米 设甲乙两地相距 x x 千米 则列方程为千米 则列方程为 2 2 某人从家里骑自行车到学校 若每小时行某人从家里骑自行车到学校 若每小时行 1515 千米 可比预定的时千米 可比预定的时 间早到间早到 1515 分钟 若每小时行分钟 若每小时行 9 9 千米 可比预定的时间晚到千米 可比预定的时间晚到 1515 分钟 分钟 求从家里到学校的路程有多少千米 求从家里到学校的路程有多少千米 3 3 某人乘车行某人乘车行 121121 千米千米 的路程的路程 一共用了一共用了 3 3 小时小时 第一段路程每小时第一段路程每小时 行行 4242 千米千米 第二段每小时行第二段每小时行 3838 千米千米 第三段每小时行第三段每小时行 4040 千米千米 第三段第三段 路程为路程为 2020 千米千米 第一段和第二段路程各有多少千米 第一段和第二段路程各有多少千米 4 4 有两支成分不同且长度相等的蜡烛有两支成分不同且长度相等的蜡烛 其中一支其中一支 3 3 小时可燃烧完小时可燃烧完 另一另一 支支 4 4 小时燃烧完小时燃烧完 现在要求到下午四点钟时现在要求到下午四点钟时 其中一支蜡烛的剩余部分其中一支蜡烛的剩余部分 恰是另一支剩余部分的二倍恰是另一支剩余部分的二倍 问应在何时点燃这两支蜡烛问应在何时点燃这两支蜡烛 5 5 粗蜡烛和细蜡烛长短一样粗蜡烛和细蜡烛长短一样 粗蜡烛可以点粗蜡烛可以点 5 5 小时小时 细蜡烛可以点细蜡烛可以点 4 4 小小 时时 同时点燃这两支蜡烛同时点燃这两支蜡烛 点了一段时间后粗蜡烛比细蜡烛长点了一段时间后粗蜡烛比细蜡烛长 3 3 倍倍 问这问这 两只蜡烛已点了多长时间两只蜡烛已点了多长时间 6 6 从家里骑摩托车到火车站从家里骑摩托车到火车站 如果每小时行如果每小时行 3030 千米千米 那么比开车时间早那么比开车时间早 到到 1515 分钟分钟 如果每小时行如果每小时行 1818 千米千米 那么比开车时间迟到那么比开车时间迟到 1515 分钟分钟 现在现在 打算在开车时间前打算在开车时间前 1010 分钟到达分钟到达 那么骑摩托车的速度应该是多少那么骑摩托车的速度应该是多少 1818 好马走 好马走 1515 天的路程天的路程 劣马需走劣马需走 3030 天天 已知劣马每天走已知劣马每天走 150150 千米千米 问问 好马每天走多少千米好马每天走多少千米 7 7 某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂某工人每天早晨在同一时刻从家骑自行车去工厂 如果以每小时如果以每小时 1616 千米的速度行驶千米的速度行驶 可在工厂上班时刻前可在工厂上班时刻前 1515 分钟到工厂分钟到工厂 如果以每小时如果以每小时 9 69 6 千米的速度行驶千米的速度行驶 则在工厂上则在工厂上 班时刻后班时刻后 1515 分钟到工厂分钟到工厂 1 1 求这位求这位 工人家到工厂的距离工人家到工厂的距离 2 2 这位工人每天早晨以每小时这位工人每天早晨以每小时 1616 千米的速度千米的速度 行驶行驶 在工厂上班时刻前多少小时从家里出发在工厂上班时刻前多少小时从家里出发 可在上班前可在上班前 1515 分钟到工分钟到工 厂厂 8 8 甲乙两人登一座山 甲每分登高甲乙两人登一座山 甲每分登高 1010 米并且先出发米并且先出发 3030 分 乙分每登分 乙分每登 高高 1515 米 两人同时登上山顶 甲用多少时间登上山顶 这座山有多高 米 两人同时登上山顶 甲用多少时间登上山顶 这座山有多高 三 工程问题 三 工程问题 工程问题中的三个量及其关系为 工程问题中的三个量及其关系为 个体工作量个体工作量 个体工作时间个体工作时间 个体工作效率个体工作效率 总工作量总工作量 各个个体量的和各个个体量的和 经常在题目中未给出工作总量时 设工作总量为单位经常在题目中未给出工作总量时 设工作总量为单位 1 1 例例 1 1 一件工程 甲独做需一件工程 甲独做需 1515 天完成 乙独做需天完成 乙独做需 1212 天完成 现先由甲 天完成 现先由甲 乙合作乙合作 3 3 天后 甲有其他任务 剩下工程由乙单独完成 问乙还要几天后 甲有其他任务 剩下工程由乙单独完成 问乙还要几 天才能完成全部工程 天才能完成全部工程 例题例题 2 2 一件工作 甲单独做 一件工作 甲单独做 2020 小时完成 乙单独做小时完成 乙单独做 1212 小小 时完成 那么两人合作多少小时完成 时完成 那么两人合作多少小时完成 设两人合作设两人合作 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 x 20 x 12 1x 20 x 12 1 解之得 解之得 x 7 5x 7 5 答 两人合作答 两人合作 7 57 5 小时完成 小时完成 变式变式 1 1 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 乙单独做小时完成 乙单独做 1212 小小 时完成 甲先单独做时完成 甲先单独做 4 4 小时 然后乙加入合作 那么两人合作小时 然后乙加入合作 那么两人合作 还要多少小时完成 还要多少小时完成 分析分析 1 1 此工作分两步完成的 故有相等关系 此工作分两步完成的 故有相等关系 甲先单独完成的工作量甲先单独完成的工作量 两人合作完成的工作量两人合作完成的工作量 完成的工作完成的工作 总量总量 解法一 解法一 设两人合作还需设两人合作还需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 20 4 20 1 20 1 121 20 1 12 x 1 x 1 解之得 解之得 x 6x 6 答 两人合作还要答 两人合作还要 6 6 小时完成 小时完成 分析分析 2 2 此工作由甲 乙两人完成的 故有相等关系 此工作由甲 乙两人完成的 故有相等关系 甲共完成的工作量甲共完成的工作量 乙完成的工作量乙完成的工作量 完成的工作总量完成的工作总量 解法二 解法二 设两人合作还需设两人合作还需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 x4 x 20 x 12 1 20 x 12 1 解之得 解之得 x 6x 6 答 两人合作还要答 两人合作还要 6 6 小时完成 小时完成 变式变式 2 2 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 乙单独做小时完成 乙单独做 1212 小小 时完成 甲先单独做时完成 甲先单独做 4 4 小时 然后乙加入合作 那么两人合作小时 然后乙加入合作 那么两人合作 还要多少小时完成此工作的还要多少小时完成此工作的 2 32 3 分析 本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量 故分析 本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量 故 由此易建立方程 由此易建立方程 4 20 4 20 1 20 1 121 20 1 12 x 2 3 x 2 3 解法 略解法 略 变式变式 3 3 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 乙单独做小时完成 乙单独做 1212 小小 时完成 甲先单独做时完成 甲先单独做 4 4 小时 然后乙加入合作 那么共要多少小时 然后乙加入合作 那么共要多少 小时完成此工作的小时完成此工作的 2 32 3 分析 本题目在前者的基础上改变了未知量 弄清问题中是分析 本题目在前者的基础上改变了未知量 弄清问题中是 总的时间 要特别注意 相等关系 总的时间 要特别注意 相等关系 甲共完成的工作量甲共完成的工作量 乙完成的工作量乙完成的工作量 完成的工作总量完成的工作总量 解 设共需解 设共需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 x 20 x 20 x x 4 4 12 2 3 12 2 3 解之得 解之得 x 7 5x 7 5 答 共要答 共要 7 57 5 小时完成此工作的小时完成此工作的 2 32 3 变式变式 4 4 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 甲 乙合做小时完成 甲 乙合做 7 57 5 小时完成 甲先单独做小时完成 甲先单独做 4 4 小时 然后乙加入合作 那么两人合小时 然后乙加入合作 那么两人合 作还要多少小时完成 作还要多少小时完成 分析 本题目在例题的基础上改变了已知量 容易得到甲的分析 本题目在例题的基础上改变了已知量 容易得到甲的 工作效率 两人合作的工作效率 相等关系 工作效率 两人合作的工作效率 相等关系 甲先单独完成的工作量甲先单独完成的工作量 两人合作完成的工作量两人合作完成的工作量 完成的工作完成的工作 总量总量 解 设两人合作还需解 设两人合作还需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 20 x 7 5 14 20 x 7 5 1 解之得 解之得 x 6x 6 答 两人合作还要答 两人合作还要 6 6 小时完成 小时完成 变式变式 5 5 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 甲 乙合做小时完成 甲 乙合做 7 57 5 小时完成 甲先单独做小时完成 甲先单独做 4 4 小时 余下的乙单独做 那么乙还要小时 余下的乙单独做 那么乙还要 多少小时完成 多少小时完成 分析 本题目在例题的基础上改变了已知量 容易得到甲的分析 本题目在例题的基础上改变了已知量 容易得到甲的 工作效率 两人合作的工作效率 但还要求出乙的工作效率 工作效率 两人合作的工作效率 但还要求出乙的工作效率 1 7 51 7 5 1 201 20 相等关系 相等关系 甲先单独完成的工作量甲先单独完成的工作量 乙单独完成的工作量乙单独完成的工作量 完成的工作总完成的工作总 量量 解 设乙还需解 设乙还需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 20 4 20 1 7 51 7 5 1 201 20 x 1 x 1 解之得 解之得 x 9 6x 9 6 答 乙还要答 乙还要 9 9 小时小时 3636 分完成 分完成 变式变式 6 6 一件工作 甲单独做一件工作 甲单独做 2020 小时完成 甲 乙合做小时完成 甲 乙合做 3 3 小小 时完成此工作的时完成此工作的 2 52 5 现在甲先单独做 现在甲先单独做 4 4 小时 然后乙加入合小时 然后乙加入合 做做 2 2 小时后 甲因故离开 余下的部分由乙单独完成 那么共小时后 甲因故离开 余下的部分由乙单独完成 那么共 用多少小时完成此项工作 用多少小时完成此项工作 分析 此题涉及到前面几个题目中的变化 且完成方式更为分析 此题涉及到前面几个题目中的变化 且完成方式更为 复杂化 但明确等量关系仍然不变 复杂化 但明确等量关系仍然不变 1 1 此工作分三步完成的 故有 甲先单独完成的工作量 此工作分三步完成的 故有 甲先单独完成的工作量 两人合作完成的工作量两人合作完成的工作量 乙单独完成的工作量乙单独完成的工作量 完成的工作总量完成的工作总量 2 2 此工作由甲乙二人完成的 故有 甲共完成的工作量 此工作由甲乙二人完成的 故有 甲共完成的工作量 乙共完成的工作量乙共完成的工作量 完成的工作总量完成的工作总量 类比前面变式练习便可解出此题 类比前面变式练习便可解出此题 解法解法 1 1 设共需设共需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 20 2 4 20 2 2 5 32 5 3 x 4 2x 4 2 2 5 3 1 202 5 3 1 20 1 1 解之得 解之得 x 12 4x 12 4 答 共要答 共要 1212 小时小时 2424 分钟完成此工作 分钟完成此工作 解法解法 2 2 设共需设共需 x x 小时完成此工作 依题意可得 小时完成此工作 依题意可得 4 24 2 20 20 x x 4 4 2 5 3 1 202 5 3 1 20 1 1 解之得 解之得 x 12 4x 12 4 答 共要答 共要 1212 小时小时 2424 分钟完成此工作 分钟完成此工作 反思 通过设计变式练习 可以脱离就题论题的模式 让学反思 通过设计变式练习 可以脱离就题论题的模式 让学 生从题海中逃匿 很轻松地就能理解此类题目 且能达到举一生从题海中逃匿 很轻松地就能理解此类题目 且能达到举一 反三之功效 同时通过问题的循序渐进 由简到繁 让学生明反三之功效 同时通过问题的循序渐进 由简到繁 让学生明 确题目的演变过程 揭开了综合性较强的题目的神秘面纱 从确题目的演变过程 揭开了综合性较强的题目的神秘面纱 从 而形成而形成 析问题 抓本质析问题 抓本质 的习惯 增强战胜困难的信心和智的习惯 增强战胜困难的信心和智 慧 慧 一 具体工作问题 一 具体工作问题 1 1 整理一批图书 由一个人做要整理一批图书 由一个人做要 4040 小时完成 现计划由一部分人先做小时完成 现计划由一部分人先做 4 4 小时 再增加小时 再增加 2 2 人和他们一起做人和他们一起做 8 8 小时 完成这项工作 假设这些人小时 完成这项工作 假设这些人 的工作效率相同 具体先安排多少人工作 的工作效率相同 具体先安排多少人工作 2 2 某车间加工某车间加工 3030 个零件 甲工人单独做 能按计划完成任务 乙工人个零件 甲工人单独做 能按计划完成任务 乙工人 单独做能提前一天半完成任务 已知乙工人每天比甲工人多做单独做能提前一天半完成任务 已知乙工人每天比甲工人多做 1 1 个零个零 件 问甲工人每天能做几个零件 原计划几天完成 件 问甲工人每天能做几个零件 原计划几天完成 3 3 两个班组工人 按计划本月应共生产两个班组工人 按计划本月应共生产 680680 个零件 实际第一组超额个零件 实际第一组超额 2020 第二组超额 第二组超额 1515 完成了本月任务 因此比原计划多生产 完成了本月任务 因此比原计划多生产 118118 个个 零件 问本月原计划每组各生产多少个零件 零件 问本月原计划每组各生产多少个零件 4 4 为了搞好水利建设 某村计划修建一条长为了搞好水利建设 某村计划修建一条长 800800 米 横断面是等腰梯米 横断面是等腰梯 形的水渠形的水渠 1 1 设计横断面面积为 设计横断面面积为 1 61 6 米米 2 2 渠深 渠深 1 1 米 水渠的上口宽比渠底多米 水渠的上口宽比渠底多 0 80 8 米 求水渠上口宽和渠底宽 米 求水渠上口宽和渠底宽 2 2 某施工队承建这项工程 计划在规定的时间内完成 工作 某施工队承建这项工程 计划在规定的时间内完成 工作 4 4 天后 天后 改善了设备 提高了工效 每天比原计划多挖水渠改善了设备 提高了工效 每天比原计划多挖水渠 1010 米 结果比规定米 结果比规定 的时间提前的时间提前 2 2 天完成任务 求计划完成这项工程需要的天数 天完成任务 求计划完成这项工程需要的天数 5 5 某人承做一批零件 原计划每天做某人承做一批零件 原计划每天做 4040 个 可按期完成任务 由于改个 可按期完成任务 由于改 进工艺 工作效率提高了进工艺 工作效率提高了 20 20 结果不但提前了 结果不但提前了 1616 天完成 而且超额天完成 而且超额 完成了完成了 3232 件 求原来预定几天完成 原计划共做多少零件 件 求原来预定几天完成 原计划共做多少零件 5 5 一艘轮船发生漏水事故一艘轮船发生漏水事故 海水以每分钟海水以每分钟 2424 桶的速度涌进底舱桶的速度涌进底舱 发现时发现时 已漏进已漏进 600600 桶海水桶海水 水手立即开动两部抽水机向外抽水水手立即开动两部抽水机向外抽水 经经 5050 分钟将舱分钟将舱 内的水抽完内的水抽完 已知甲机抽水量是乙机的已知甲机抽水量是乙机的 5 4 问甲 乙两机每分钟各抽水多问甲 乙两机每分钟各抽水多 少桶少桶 6 6 一批材料一批材料 原计划用原计划用 6 6 辆汽车辆汽车 1212 次运完次运完 为了提前完成任务为了提前完成任务 再增加再增加 3 3 辆汽车辆汽车 问几次可以运完问几次可以运完 7 7 修一条路修一条路 原计划每天修原计划每天修 7575 米米 20 20 天修完天修完 实际每天计划多修实际每天计划多修 3 2 问问 可以提前几天修完可以提前几天修完 二 总工作量看成 二 总工作量看成 1 1 的问题的问题 1 1 一项工程 甲单独做需要一项工程 甲单独做需要 1010 天完成 乙单独做需要天完成 乙单独做需要 1515 天完成 两天完成 两 人合作人合作 4 4 天后 剩下的部分由乙单独做 需要几天完成 天后 剩下的部分由乙单独做 需要几天完成 2 2 某工程由甲 乙两队完成 甲队单独完成需某工程由甲 乙两队完成 甲队单独完成需 1616 天 乙队单独完成需天 乙队单独完成需 1212 天 如先由甲队做天 如先由甲队做 4 4 天 然后两队合做 问再做几天后可完成工程天 然后两队合做 问再做几天后可完成工程 的六分之五 的六分之五 3 3 有一个水池 用两个水管注水 如果单开甲管 有一个水池 用两个水管注水 如果单开甲管 2 2 小时小时 3030 分注满水分注满水 池 如果单开乙管 池 如果单开乙管 5 5 小时注满水池 小时注满水池 如果甲 乙两管先同时注水如果甲 乙两管先同时注水 2020 分钟 然后由乙单独注水 问还需分钟 然后由乙单独注水 问还需 要多少时间才能把水池注满 要多少时间才能把水池注满 假设在水池下面安装了排水管丙管 单开丙管假设在水池下面安装了排水管丙管 单开丙管 3 3 小时可以把一满池小时可以把一满池 水放完 如果三管同时开放 多少小时才能把一空池注满水 水放完 如果三管同时开放 多少小时才能把一空池注满水 4 4 一件工作 甲单独做 一件工作 甲单独做 2020 个小时完成 乙单独做个小时完成 乙单独做 1212 小时完成 现在小时完成 现在 先由甲单独做先由甲单独做 4 4 小时 剩下的部分由甲 乙合做 剩下的部分需要几小时 剩下的部分由甲 乙合做 剩下的部分需要几 小时完成 小时完成 5 5 一件工作 甲单独做 一件工作 甲单独做 2020 个小时完成 乙单独做个小时完成 乙单独做 1212 小时完成 现在小时完成 现在 先由甲单独做先由甲单独做 4 4 小时 剩下的部分由甲 乙合做 剩下的部分需要几小时 剩下的部分由甲 乙合做 剩下的部分需要几 小时完成 小时完成 6 6 某工作由甲 乙两队单独做分别需要某工作由甲 乙两队单独做分别需要 3 3 小时 小时 5 5 小时 求两人合做这小时 求两人合做这 项工作的项工作的 80 80 需要几小时 需要几小时 7 7 一项工程 甲队单独施工 一项工程 甲队单独施工 1515 天完成 乙队单独施工天完成 乙队单独施工 9 9 天完成 现天完成 现 在由甲队先工作在由甲队先工作 3 3 天 剩下的由甲 乙两队合作 还需几天可以完成 天 剩下的由甲 乙两队合作 还需几天可以完成 8 8 甲 乙两工程队 单独铺设一段管道分别 甲 乙两工程队 单独铺设一段管道分别 需要需要 2020 天 天 2525 天 现由天 现由 甲队铺设甲队铺设 5 5 天 余下的部分两队合作 还需多少天铺好 天 余下的部分两队合作 还需多少天铺好 9 9 修筑一条公路 甲工程队单独承包要修筑一条公路 甲工程队单独承包要 8080 天完成 乙工程队单独承天完成 乙工程队单独承 包要包要 120120 天完成天完成 现在由两个工程队合作承包 如果甲 乙两工程队合现在由两个工程队合作承包 如果甲 乙两工程队合 作了作了 3030 天后 因甲工作队另有任务 剩下工作由乙工作队完成 则修天后 因甲工作队另有任务 剩下工作由乙工作队完成 则修 好这条公路共需要几天 好这条公路共需要几天 10 10 修筑一条公路 甲工程队单独承包要修筑一条公路 甲工程队单独承包要 8080 天完成 乙工程队单独承天完成 乙工程队单独承 包要包要 120120 天完成天完成 现在由两个工程队合作承包 几天可以完成 现在由两个工程队合作承包 几天可以完成 11 11 一项工程 甲单独做一项工程 甲单独做 2020 天完成 乙单独做天完成 乙单独做 1010 天完成 现在由乙先天完成 现在由乙先 独做几天后 剩下的部分由甲独做 先后共话独做几天后 剩下的部分由甲独做 先后共话 1212 天完成 问乙做了几天完成 问乙做了几 天 天 12 12 甲 乙两个工程队合做一项工程甲 乙两个工程队合做一项工程 乙队单独做一天后乙队单独做一天后 由甲 乙两队由甲 乙两队 合做两天后就完成了全部工程合做两天后就完成了全部工程 已知甲队单独做所需天数是乙队单独做已知甲队单独做所需天数是乙队单独做 所需天数的所需天数的 3 2 问甲