2017_18版高中数学1.3.2利用导数研究函数的极值二学案.docx

13.2利用导数研究函数的极值(二)明目标、知重点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值情境导学极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值思考2观察思考1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：(1)求导，确定函数在闭区间上的极值点(2)求出函数的各个极值和端点处的函数值(3)比较大小，确定结论例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2解(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，单调递减区间为(，)因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f()，f().当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟(1)求函数的最值，求极值是关键的一环若仅是求最值，则简化为：求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2)，f(0)4，f(3)1，函数f(x)在0,3上的最大值为4，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.探究点二含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a0)上的最大值和最小值解f(x)x24.令f(x)0，得x2或x2(舍去)因为0xa，所以当02时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，a)af(x)f(x)4减函数增函数a34a4从上表可知：当x2时，f(x)取最小值f(2)，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个所以当22时，f(x)的最大值为f(a)a34a4.综上可得：当0a2时，f(x)mina34a4，f(x)max4；当22时，f(x)min，f(x)maxa34a4.探究点三函数最值的应用思考函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可如f(x)0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数例3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2即c1或c9，c的取值范围为(，19，)反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增1m单调递减对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)1函数yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值答案D解析由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.4函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_答案71解析f(x)3x26x93(x3)