湖北龙泉中学、随州一中、天门中学三校高三数学联考文

湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学三校2019届高三数学4月联考试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，则集合( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合,然后再求出，进而可得【详解】由 ，可得或，故,由，解得 ，,故选A.【点睛】本题以绝对值不等式和一元二次不等式为载体考查集合的运算，解题的关键是正确求出集合和集合，属于基础题2.复数,则的虚部为（ ）A. B. iC. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求【详解】依题意，复数的虚部为1，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3. 是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A表示3月1日的指数值为201则下列叙述不正确的是（）A. 这12天中有6天空气质量为“优良”B. 这12天中空气质量最好的是4月9日C. 这12天指数值的中位数是90.5D. 从3月4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【解析】【分析】由3月1日到12日指数值的统计数据，分析可知A,B,D正确，C错误.【详解】由3月1日到12日指数值的统计数据，指数值不大于100的共有6天，故A正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，4月9日的指数值为67，空气质量最好，故B正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，这12天的指数值的中位数是90，故C错误；由3月1日到12日指数值的统计数据，从3月4日到9日，指数值逐渐变小，空气质量越来越好，故D正确.故选C.【点睛】本题考查折线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题4.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为 （ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根据三视图复原几何体，结合题中数据，即可求得答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为，故选B.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型5.若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由,即可求出 进而求出答案【详解】 ，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可，属于基础题型.6.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点角满足，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式将进行转化求解即可【详解】角的终边过点， ，故角的终边在第一或第二象限，当角的终边在第一象限时， ， ,当角的终边在第二象限时，, ,故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的余弦公式,同角三角函数的基本关系，将进行转化是解决本题的关键，是中档题.7.如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为()A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】取的中点为,连接,异面直线AB与PC所成的角即为与所成的角，运用余弦定理即可求角.【详解】如图，设AC的中点为G,连接EG,FG,则EG为PAC的中位线，FG为ABC的中位线，EG=5,FG=3,异面直线AB与PC所成的角即为GF与GE所成的角，在EFG中， ,即 ,解得 ,故异面直线AB与PC所成的角为，故选B.【点睛】本题考查异面直线所成角，基本方法是将异面直线平移共起点构造三角形求解.8.已知函数，则 的值（ ）A. -2B. 2C. 0D. 1【答案】C【解析】【分析】由，即可求出值.【详解】 ,故选C.【点睛】本题考查函数值的求法及函数奇偶性的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用9.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，若抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数的概率为,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ,抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数的概率为 ,则有（ ）A. B. C. D. =【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数，再用列举法，由此能求出答案【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），共有5个基本事件， ，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型，写出试验的基本结果，计算出概率即可进行判断，属于中档题.10.已知圆C的方程为，.过点P作圆C的切线,切点分别为A,B两点.则最大为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆C的标准方程可得圆心为（0，0），半径为1，求出 的最大值，即可确定的最大值.【详解】圆C的方程为，表示为圆心，以1为半径的圆,连接PO,AO,BO,则，最大为又，最大为，故选C.【点睛】本题考查直线和圆位置关系，构造直角三角形，判断当PO最小时，最大是解题的关键11.在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若 则 ( )A. 2B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出图像，利用向量的线性运算，表示出 ，由此求得的值，进而求得的值.【详解】,，又,，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查向量加法运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.12. 的最大值为（ ）A. 1+B. 3C. 2+D. 4【答案】A【解析】【分析】首先对函数求导，进而找出单调性求出最大值.【详解】，解得，又，时函数单调递增，解得，又，时函数单调递减，故当时，函数取得最大值，最大值为，故选A.【点睛】本题考查了倍角公式，还考查了运用导数求函数单调性，属于综合性题目，难度是中档题.二、填空题。13.函数满足，且在区间上则的值为_【答案】【解析】【分析】利用，再代入解析式即可求值.【详解】，函数的周期为4，,【点睛】本题考查了函数求值，运用周期性结合函数解析式即可得到结果，属于中档题.14.已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，点在所给平面区域内，则的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】画出可行域，结合平面区域的面积求出a,再利用z的几何意义求得最大值.【详解】画出可行域如图阴影所示：可知a0表示的平面区域为OBC,，解得（舍负），化为斜截式,当直线过B时z最大，B的坐标为(2,2),此时，故答案为6.【点睛】本题考查线性规划，利用z的几何意义准确计算是关键，是常考题型.15.设 分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使 （O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】试题分析：,设，则，.考点：双曲线的简单性质.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则tanB=_.【答案】-3【解析】【分析】运用正弦定理可得，再由余弦定理求出，进而求解.【详解】，,即，又，由余弦定理可得,解得，,解得,故答案为-3.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在数列 中， (1)证明：数列 是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项。【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：由,知数列是首项公比为的等比数列，由此能求出的通项公式。由的通项公式为，知,从而得到数列的前项。证明：（1） 是以4为首项，2为公比的等比数列。 （2）由（1）得 18.荆楚湖北素有“板栗之乡”称号，但板栗的销售受季节的影响，储存时间不能太长。我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量（吨）和板栗销售单价（元/千克）之间的关系进行了调查，得到如下表数据：销售单价（元/公斤）1110.5109.598销售量（吨）568101114.1(1)根据前5组数据，求出y关于的回归直线方程;(2)若回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的差的绝对值不超过0.5（即），则认为回归直线方程是理想的，试问（）中得到的回归直线方程是否理想？(3)如果今年板栗销售仍然服从（）中的关系，且板栗的进货成本为2.5元/千克，且货源充足（未售完的部分可按成本全部售出），为了使利润最大，请你帮助该公司就销售单价给出合理建议.（每千克销售单价不超过12元）.参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：【答案】（1）（2）理想（3）7.5元/千克【解析】【分析】（1）根据表中的数据求出等数据，从而求出，值，进而得出回归方程；（2）根据（1）的方程可得y与x之间的相关关系，将代入回归方程，即可判断（1）中得到的回归直线方程是否理想；（3）写出销售利润W(千元)，利用二次函数的单调性或者基本不等式即可求出最大值.【详解】（1）因为 ,所以所以，所以关于x回归直线方程为：. （2）当时，则，所以可以认为回归直线方程是理想的. （3）设销售利润为W(千元)，则， 因为所以 当且仅当，即时，W取得最大值. 所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.【点睛】本题考查了线性回归方程、数据分析等问题，解决问题的关键是正确运用题中所给出的数据.19.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，侧面SAD底面ABCD(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA=120，CD=1，求三棱锥SBCD的体积。【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）要证明平面SBD平面SAD，只要证明BD平面SAD，由面SAD底面ABCD即证;(2）在SAD中过S作,求出，即可求出体积.【详解】（1）证明：在梯形中，,ABC=90，设,则,在直角三角形BCD中，BCD=90，可得,CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得 ,则BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；(2）在SAD中过S作则,.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查三棱锥的体积公式，是中档题20.已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点.(1)求椭圆方程；(2)轴上是否存在定点D (在椭圆外），使得过的直线 交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在定点满足条件.【解析】分析：（1）根据题意得到和，从而得椭圆方程；（2）设，直线方程为，与椭圆联立得，设，则，由三点共线有：，即，结合韦达定理即可得解.详解：（1） ， ，点代入 有：椭圆方程为： （2）存在定点满足条件：设，直线方程为，联立消有，设，则，且 由三点共线有： ， 存在定点满足条件.点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力.21.已知函数 (1)若=1时，求函数的最小值；(2)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）0 （2）【解析】【分析】(1)首先求解所给函数导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值；(2)由题意结合函数的解析式和导函数的性质分类讨论确定实数的取值范围即可【详解】解：（1）,则，当时，函数单调递减，当时，为增，在处取最小值0.（2）由，得，当 时，函数在上单调递减，当时，在 上最多有一个零点.有两个零点， .令 ，显然有一正根和一负根，在上只有一个零点，设这个零点为 ，当 时，；当时，；函数在上单调递减，在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值 ，即, ，可得在上是增函数，且 ，得 ,即.【点睛】本题主要考查导数研究函数的零点，导数研究函数的最值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题22.在直角坐标系 中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线(1)求和的极坐标方程；(2)设射线与和分别交于异于原点的两点，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由曲线C的参数方程能求出曲线C的一般方程