直线方程易错题目.docx

直线方程易错题目一 定点问题1.若kR时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A（1，-2） B（-1,2） C（-2,1） D（1,2）2.方程y=k（x-2），xR表示（ ）A通过点（-2,0）的一切直线 B通过点（2,0）的一切直线C通过点（2,0）且不垂直x轴的一切直线 D通过点（2,0）且除去x轴的一切直线3.已知直线l的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的mR，直线l恒过定点_二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A B C D 2.过点P（2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：_3.过点（5,2）且在x轴上截距是y轴上截距两倍的直线方程是：_4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0 B x-y+3=0或2x-5y=0 C x-y+3=0 D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L的方程。三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求的面积最小时直线l的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（ ）条A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|PB|取最小值时直线l的方程.4.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求OAC面积的最小值，并求此时A点坐标5已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P，使得|PM|-|PN|最大，则P点坐标是（ ）A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0）变式：若使|PM|+|PN|最小呢？四、对称问题1.点A（4,5）关于直线l的对称点为B（-2,7），则l的方程为_2.点A（1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B的坐标是_3.已知M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为（ ）A （a，b） B （b，a） C（-a，-b） D （-b，-a）4. 直线上有一点，它与两定点的距离之差最大，则点的坐标是_.五、易错题1.已知直线L的横截距为a，纵截距为b，斜率为k，则下列命题正确的是（ D）A 直线与坐标轴围成的面积是 B 直线的方程是： C 斜率k= D 以上都不对2.若直线L过点（1,2）且两截距相等，则直线L的斜率k是（ D）A k=-1或k=2 B k=1或k=2 C k=-1 D k=1或k=23. 下列四个命题中属于真命题的是 （ B）A、经过定点的直线都可以用方程B、经过任意两个不同点的直线都可以用表示C、不经过原点的直线都可以用表示；D、经过点的直线都可以用方程表示4.直线的倾斜角是（ D）A B C D 5.若与只有一个公共点则（ D）A B C D 6.当是第四象限角时，直线和直线的位置关系是（ C）A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D与角有关7.若直线L1：x+ay+6=0与直线L2：（a-2）x+3y+2a=0互相平行，则a的值为（ C）A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x1，y1）和（x2，y2）两点的直线方程是（ C ）A B C D 9.下列命题：若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平行若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平行其中不正确的命题是_10.已知两点A（-1,2），B（m，3）（1）求直线AB的斜率k（2）求直线AB的方程（3）已知实数m，求直线Ab的倾斜角的取值范围11.求过点P（-5，-4）且分别满足下列条件的直线方程（1）倾斜角的正弦值是；（2）倾斜角是直线l：的倾斜角的一半（3）与x轴和y轴分别交于A、B两点，且直线系方程及其巧妙应用1命题的给出命题：设点在直线（其中不全为零）上，则这条直线的方程可以写成这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象2命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性例过点作圆的切线l，求切线l的方程解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或（2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的倍（）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性例2求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程解：设所求直线方程为（其中不全为零）显然，当或时，所得直线方程不满足题意故均不为零当时，；当时，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，令，则，整理，得， 解得，或，则，或，故所求直线方程为，或编者的话：利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性下面我们用这个方法来做两道相关的题目练习：1求过原点且与直线成30角的直线方程l2在过点的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程答案：1，或2 课题：直线系与对称问题教学目标：掌握过两直线交点的直线系方程；会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法.教学重点：对称问题的基本解法（一） 主要知识及方法：点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.点关于直线的对称点的坐标的求法： 设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数，即结论：点关于直线：对称点为，其中；曲线：关于直线：的对称曲线方程为特别地，当，即的斜率为时，点关于直线：对称点为，即关于直线对称的点为：，曲线关于的对称曲线为直线关于直线的对称直线方程的求法： 到角相等；在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；轨迹法(相关点法)；待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线（为常数，参数；为参数，位常数）.过定点的直线系方程为及与直线平行的直线系方程为（）与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）（二）典例分析： 问题1（湖北联考）一条光线经过点，射在直线：上，反射后穿过点.求入射光线的方程；求这条光线从点到点的长度.问题2求直线：关于直线：对称的直线的方程.问题3根据下列条件，求直线的直线方程求通过两条直线和的交点，且到原点距离为；经过点，且与直线平行；经过点，且与直线垂直. 问题4已知方程有一正根而没有负根，求实数的范围若直线：与：的交点在第一象限，求的取值范围. 已知定点和直线：求证：不论取何值，点到直线的距离不大于（三）课后作业： 方程表示的直线必经过点 直线关于点对称的直线方程是曲线关于直线对称的曲线方程是 ，仅有两个元素，则实数的范围是 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程已知的顶点为，的平分线所在直线的方程分别是：与：，求边所在直线的方程.已知直线，当变化时所得的直线都经过的定点为 求证：不论取何实数，直线总通过一定点求点关于直线：的对称点的坐标已知：与，是对称的两点，求对称轴的方程光线沿直线：射入，遇到直线：反射，求反射光线所在的直线的方程已知点，试在直线：上找一点，使 最小，并求出最小值.（四）走向高考： （北京）若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 （全国文）直线关于轴对称的直线方程为 (安徽春)已知直线：，：.若直线与关于对称，则的方程为（上海）直线关于直线对称的直线方程是 （上海文）圆关于直线对称的圆的方程是 直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.分析 易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A的坐标.分析 因为A，A关于直线对称，所以直线l是线段AA的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l与直线AA垂直，并且平分线段AA，设A的坐标为（x，y），则AA的中点B的坐标为由题意可知，解得. 故所求点A的坐标为三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交. 对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由解得l1，l2的交点，设所求直线l的斜率为k，由到角公式得，所以k=-7.由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B，最后由A，B两点写出直线l的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.（数学2必修）第三章 直线与方程训练题一、选择题1设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）ABCD5直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A B C，不存在 D，不存在6若方程表示一条直线，则实数满足（ ）A B C D，二、填空题3、若原点在直线上的射影为，则的方程为_。4点在直线上，则的最小值是_.5直线过原点且平分平行四边形的面积，若平行四边形的两个顶点为，则直线的方程为_。三、解答题1已知直线， （1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴； （5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成3经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为3直线在轴上的截距是（ ）ABCD4直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）A B C D5直线与的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D与的值有关6两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）A B C D 7已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题1方程所表示的图形的面积为_。2与直线平行，并且距离等于的直线方程是_。3已知点在直线上，则的最小值为 4将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是_。设，则直线恒过定点 三、解答题2一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程。3、把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明：的近似值是：4直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，求的值。1如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ）AB CD2若都在直线上，则用表示为（ ）A B C D 3直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A B C D 4中，点,的中点为,重心为，则边的长为（ ）A B C D6若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A B C D二、填空题1已知直线与关于直线对称，直线，则的斜率是_.2直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 3一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是_4若方程表示两条直线，则的取值是 5当时，两条直线、的交点在 象限三、解答题1经过点