基金使用规划.doc

基金使用规划（选自2001年全国大学生数学建模竞赛）一、问题描述某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见表1。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1 只存款不购国库券。2 可存款也可购国库券。3学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。表1银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14二、问题分析基金应滚动使用，即一笔钱存银行或购买国库券，到期除去当年所用奖金之后，剩余部分继续存银行或购买国库券。基金到位当年不设奖金，所有资金用于存款或买国库券；最后一年留出基金本金外，剩余资金全部用于奖金。在设计基金使用方案时，须考虑以下两个因素：1. 由于从基金到位后的下一年开始每年都要使用奖金，因此方案要保证每年都有存款（或国库券）到期；2. 由于银行存款或国库券的档期越长，年平均收益越高，因此，若一笔资金k年后要用（如k=3），一定是将该笔资金直接存k年期银行定期存款，或购买相应年限的国库券。如是，基金使用方案应遵循如下框架：每一年所有可供调用的资金都被分割成分别存1，2，3，5年期银行存款（或购买2，3，5年期国库券）的金额和当年使用的奖金额；基金到位年不设奖金，基金使用最后一年只分割成基金本金和奖金。因此，决策的内容就是各年的可供调用资金的分割方案，决策目标是使奖金总额极大化。决策的结果还应使得每年的奖金额大致相等。三、建模模型1（只存银行不买国库券）由题设，基金使用年限为10年，设基金到位年为第0年，可令xij(i=0, 1, 2, , 9；j=1, 2, 3, 5)表示第i年可供调用总资金中用于存j年期银行存款的资金，其中，x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95恒为0。由于要求每年用于奖金的资金额大致相等，可令t表示从第1年至第10年每年供奖金使用的资金额。实际决策变量共34个。优化目标为10年使用的奖金总额最大，即 约束条件除所有变量的非负约束外，就是反映各年资金分割情况的等式约束： 式中，r1、r2、r3及r5分别表示银行1年期、2年期、3年期及5年期存款的年利率，M为基金总额。为求解时方便准备数据，可将模型按变量x01, x02, x03, x05, x11, x12, x13, x15, x21, x22, x23, x25, x31, x32, x33, x35, x41, x42, x43, x45, x51, x52, x53, x55, x61, x62, x63, x71, x72, x73, x81, x82, x91, t顺序展开（限于篇幅不再列举）。模型2（可存银行也可买国库券）由于国库券年利率都高于同期银行存款利率，显然，只要能买国库券就不会存同期银行存款。所以，在模型1中将用于表示银行存款额的变量xij以购买同档期国库券金额的变量yij (j= 2, 3, 5)替代，相应银行存款年利率r2、r3及r5分别由R2、R3及R5同期国库券年利率替换后即得模型2s.t. 且决策变量均取非负值。模型3（基金到位后第3年的奖金比其它年度多20%）在模型2上稍作修改即得：第4个约束方程中奖金额由t改为1.2t；目标函数由改为。模型为：s.t. 且决策变量均取非负值。四、在Matlab中求解仅列举模型1的求解过程，模型2、3可仿照处理。Matlab代码r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000;f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10;Aeq=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,0,1,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1;beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M;lb=zeros(34,1);x, fval = linprog(f, , , Aeq, beq, lb);求得三种情况下的基金最优使用方案及收益，见表2表4。表2 基金最优使用方案（各年度银行存款计划）及收益年序存款期0123456789金额(万元)1年期294.770.00.075.740.027.260.00.07.620.02年期169.310.00.00.00.034.780.00.00.03年期234.8487.740.00.00.042.7432.260.05年期4301.10102.5266.0764.5060.714582.0每年奖金额约为109.82万元；10年共计1098.2万元。如果不加运筹，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，则每年仅有90万元奖金可用，10年少产生资金共计198.2万元。运筹使每年的奖金额增加了22.02%。表3 基金最优使用方案（1年期存银行，2、3、5年期买国库券）及收益年序存款期0123456789金额(万元)1年期228.930.00.052.250.00.00.00.00.00.02年期218.520.00.00.00.048.580.00.00.03年期488.6186.200.0259.500.058.09135.10.05年期4063.900.082.8072.370.04448.5每年奖金额约为146.86万元；10年共计1468.6万元。在考虑购买国库券后，运作方案有明显的变化：由于购买国库券收益率更高，资金分配自然向购买国库券流动。与模型1比较，2年期以上款项（全部为购买国库券）在平衡之余整体增加，而1年期款项（为银行存款额）无一例外全都降低。有效的运作使每年的奖金额比不运作更是大幅提升了63.18%。表4 基金最优使用方案（考虑购买国库券，第3年奖金多20%）及收益年序存款期0123456789金额(万元)1年期224.590.000.0050.670.000.000.000.000.000.002年期213.850.000.000.000.0047.670.000.00.003年期503.9684.850.00254.070.0057.39132.310.05年期4057.60.0080.9770.380.004