函数的导数及其综合应用.doc

10导数的综合应用【考点透视】1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值题型一：利用导数定义求极限例1已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）解：（1）（2）题型二：利用导数几何意义求切线方程例2已知曲线，曲线，直线与都有相切，求直线的方程。解：设直线与的切点分别为，又 或， 的方程为： 或 。题型三：利用导数研究函数的 单调性、极值、最值。例3、函数的值域是_.解答过程：由得，即函数的定义域为.，又，当时，函数在上是增函数，而，的值域是. 例4已知函数的切线方程为y=3x+1 。 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由过的切线方程为： 而过故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）当 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即 当；当；当 综上所述，参数b的取值范围是例5（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.解答过程（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得.由（），只需分下面两种情况讨论. 当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.例6：已知(1)当时, 求证在内是减函数;(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.解: (1) , 又二次函数的图象开口向上,在内, 故在内是减函数.(2)设极值点为则当时, 在内 在内即在内是增函数, 在内是减函数.当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 当时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. 当时, 由(1)知在内没有极值点. 故所求a的取值范围为题型四：导数与解析几何、立体几何的结合。例7： 所以如图所示，曲线段OMB是函数的图像，轴于A，曲线段OMB上一点处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q.（1）试用表示切线PQ的方程；（2）设QAP的面积为，若函数在上单调递减，试求出的最小值；O0OPMBQxyA(6,0)（3），试求出点P横坐标的取值范围.解：（1）切线PQ的方程 （2）令y=0得 由解得 . 又0t6, 4t0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.题型六：导数与不等式的综合例10：已知函数，设，记曲线在点处的切线为。（）求的方程；（）设与轴的交点为，证明：；若，则。解：（1）的导数，由此得切线的方程，（2）依题意，在切线方程中令，得，（），当且仅当时取等成立。（）若，则，且由（），所以。例11：已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，所以的取值范围是，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有函数在区间内可导，导函数是减函数，且。题型七： 数与向量的结合例12：设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。解：（1）（2）则在上有由；由。因为在t上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范围是。 题型七：利用导数解决恒成立的问题例13（湖北卷）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值； （II）求证：（）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，例14(安徽卷) 设，.（）令，讨论在（0，）内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有.解：（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有例15（山东卷）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，. 当时，在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得例16.已知函数，（I）证明：当时，在上是增函数；（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间 上是减函数；（III）证明：答案：()证明：由题设得又由,且t得t，即0.由此可知，为R上的增函数. 3分()证法一：因为0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时,0，即t在闭区间a,b上成立即可.因此y=在闭区间a,b上连续，故在闭区a,b上有最大值，设其为k，于是在tk时, 0在闭区间a,b上恒成立，即在闭区间a,b上为减函数. 证法二：因为0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时,0，在闭区间a,b上成立即可.令则0()当且仅当0().而上式成立只需即 成立.取与中较大者记为k，易知当tk时，0在闭区间a,b上恒成立，即在闭区间a,b上为减函数.7分()证法一：设易得.令则易知.当x0时, 0;当x0