一元二次方程根与系数的关系.doc

一元二次方程根与系数的关系设ax2+bx+c=0 (a0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-，x1.x2=.证明：ax2+bx+c=0 (a0)的两根为x1,x2,一元二次方程根与系数的关系的应用：（一）已知方程，利用根与系数1、不解方程，整体代换求含x1,x2的代数式的值例1：设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：（1）x12+x22 （2）+ （3）（x1-3）（x2-3）（4）（x1-x2）2 （5）x1-x2 2、已知含x1,x2的代数式的值，求方程中待定字母系数的值例2：（1）已知方程x2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k的值。解：依题意：0，x12+x22 =3 x12+x22 =（x1+x2）2-2x1.x2 -k2-2k=3 k2+2k-3=0(k-1)(k+3)=0k1=1 k2=-3= k2-4k，当k1=1时，0，应舍去，当k2=-3时，0，所以k=-3当k=-3时，两根的平方和为3。归纳小结：0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。（2）若方程2x2-mx-4=0的两个实数根x1,x2满足+=2，求m的值。（3）已知方程x2-4x+6k=0有两个实数根的平方差为8，求k的值。3、一元二次方程的特殊根及根的分布（1）一元二次方程的特殊根若方程两根相等，则0；若方程两根互为倒数，则x1.x2=1且0；若方程两根互为相反数，则x1+x2=0，即b=0且0；若方程两根绝对值相等，则0或b=0且0；若方程有一根为0，则c=0；若方程有一根为1，则a+b+c=0；若方程有一根为-1，则a-b+c=0；练习题：（1）已知关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0，当两根互为相反数时，m= ,若方程两根互为倒数，m= 。（2）已知关于x的一元二次方程(a+3)x2-(a2+a-6)x=0，当两根互为相反数时，a= 。（3）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x-m2-2m+3=0的一根为零，则m= 。(4)已知关于x的一元二次方程2x2+mx+4=0 的两根的绝对值相等，则m= 。(5)已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是( ).（2）已知方程的一根或两根的关系，求另一根及待定字母的值例3：（1）已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。（2）、已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值。（3）一元二次方程根的分布（两根的范围）例4：实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+(2k-4)=0（1）有两个正实数根；（2）有两个负实数根；（3）有一个正根，有一个负根；（4）两根都比2小；（5）方程一根大于2，一根小于2；分析：（1）应满足0 x1+x20 x1.x20 （4）应满足0 （x1-2）+（x2-2）0 （x1-2）（x2-2）0（二）根据给定条件，求作一元二次方程1、已知方程两根为x1，x2，求作一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1.x2=0例5：求一个一元二次方程，使它的两根分别是（1） （2）-2，3 （3）1+，1-2、已知两数和与积，构建一元二次方程求这两数例6：已知两数和为8，积为9，求这两数。分析：设这两个数为方程x2-8x+9=0的两根，解方程即可；本题还有其它解法。3、已知一元二次方程，构建新的一元二次方程例7：（1）已知方程2x2-9x+8=0，求作一个一元二次方程，使它的一根为原方程两根的和的倒数，另一根为原方程两根差的平方。（2）已知方程x2-5x+1=0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别为原方程两根的平方。解：（1）设原方程两根为x1，x2，新方程两根为y1,y2x1+x2= x1.x2=4y1= y2=(x1-x2)2=（x1+x2）2-4x1.x2=()2-16=y1+y2= y1.y2=则所求新方程为y2-y+=0，即36y2-161y+34=04、利用根的定义构造（已知等式具有相同结构，就可把某两个变元看作关于某个字母的一元二次方程式的两根）例8：（1）已知a、b满足a2-2a-1=0, b2-2b-1=0, 求+的值。（2）已知p、q满足p2-2p-1=0, 5q2+2q-1=0,求p2+的值。解：（1）当a=b时, +=2当ab时，a、b可看作方程x2-2x-1=0的两个不相等的根,a+b=2,ab=-1+=-6(2)当p=时,p、可看作方程x2-2x-5=0的一个根,x1，2=1 p2+=2p2=(1)2=144当p时，p、可看作方程x2-2x-5=0的两个不相等的实数根,p+=2,p.=-5p2+= (p+)2-2p.=-14练习题：（1）已知a、b满足a2+a-1=0, b2+b-1=0且ab, 求ab+a+b的值。(2) 已知m、n满足3m2-2m-5=0, 5n2+2n-3=0, 求m-的值。93、当m为何值时，方程3x2+2x+m8=0：(1)有两个大于2的根?(2)有一个根大于2，另一个 根小于2?9