高考数学总复习测评课件57.ppt

第二节独立性 二项分布及其应用 基础梳理 1 条件概率及其性质 1 条件概率的定义一般地 若有两个事件a和b 在已知事件b发生的条件下考虑事件a发生的概率 则称此概率为b已发生的条件下事件a的 记为 2 条件概率的求法一般地 若p b 0 则事件b已发生的条件下a发生的条件概率是p a b 还可以借助古典概型概率公式 即p a b 条件概率 p a b 0 p b a 1 p b a p c a p a p b p a p b 3 条件概率的性质 条件概率具有一般概率的性质 即 如果b和c是两个互斥事件 则p b c a 2 事件的相互独立性 1 一般地 若事件a b满足p a b p a 称事件a b独立 2 若事件a b相互独立 则p ab 3 两个事件a b相互独立的充要条件是p ab 4 若事件相互独立 则这n个事件同时发生的概率 p 0 伯努利试验 a a 3 独立重复试验 1 一般地 由n次试验构成 且每次试验相互独立完成 每次试验的结果仅有两种对立的状态 即与 每次试验中p a 我们将这样的试验称为n次独立重复试验 也称为 2 如果事件a与b相互独立 那么与 与 与也都相互独立 4 二项分布一般地 在n次独立重复试验中 每次试验事件a发生的概率均为p 0 p 1 即p a p p 1 p q 由于试验的独立性 n次试验中 事件a在某指定的k次发生 而在其余n k次不发生的概率为 又由于在n次试验中 事件a恰好发生k次的方式 有种 所以由概率的加法公式可知 n次试验中 事件a恰好发生k 0 k n 次的概率为 它恰好是的二项展开式中的第 k 1 项 若随机变量x的分布列为p x k 其中0 p 1 p q 1 k 0 1 2 n 则称x服从参数为n p的二项分布 记作 x b n p 典例分析 题型一条件概率 例1 1号箱中有2个白球和4个红球 2号箱中有5个白球和3个红球 现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱 然后从2号箱随机取出1球 问从2号箱取出红球的概率是多少 分析从2号箱取出红球 有两种互斥的情况 一是当从1号箱取出红球 二是当从1号箱取出白球 解从2号箱取出红球 有两种互斥的情况 一是当从1号箱取出红球 二是当从1号箱取出白球 记事件a 最后从2号箱中取出的是红球 事件b 从1号箱中取出的是红球 则p b p 1 p b p a b p a 从而p a p ab p a p a b p b p a p 学后反思解此类概率题型时 首先要区分所求概率是不是条件概率 即第一次试验结果是否对第二次试验结果有影响 若有影响 则属于条件概率 然后利用条件概率公式p b a 求出这些简单事件的概率 最后利用概率的可加性 得到最终结果 举一反三1 有一批种子的发芽率为0 9 出芽后的幼苗成活率为0 8 在这批种子中 随机抽取一粒 求这粒种子能成长为幼苗的概率 解析 设种子发芽为事件a 种子成长为幼苗为事件ab 发芽 又成活为幼苗 出芽后的幼苗成活率为p b a 0 8 p a 0 9 由p b a 得p ab p b a p a 0 9 0 8 0 72 故这粒种子成长为幼苗的概率为0 72 分析三人独立破译密码 每人破译是否成功不相互影响 故应利用独立事件求概率的方法求解 解记 第i个人破译出密码 为事件 i 1 2 3 依题意有 且 相互独立 1 设 恰有二人破译出密码 为事件b 则有彼此互斥 题型二相互独立事件的概率 例2 2008 福建 三人独立破译同一份密码 已知三人各自破译出密码的概率分别为 且他们是否破译出密码互不影响 1 求恰有二人破译出密码的概率 2 密码被破译 与 密码未被破译 的概率哪个大 说明理由 答 恰有二人破译出密码的概率为 2 设 密码被破译 为事件c 密码未被破译 为事件d 且互相独立 则有而p c 1 p d 故p c p d 答 密码被破译的概率比密码未被破译的概率大 学后反思用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 1 用恰当字母表示题中有关事件 2 根据题设条件 分析事件间的关系 3 将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和 相互乘积的事件之间必须满足相互独立 4 利用乘法公式计算概率 举一反三2 栽培甲 乙两种果树 先要培育成苗 然后再进行移栽 已知甲 乙两种果树成苗的概率分别为0 6 0 5 移栽后成活的概率分别为0 7 0 9 1 求甲 乙两种果树至少有一种果树成苗的概率 2 求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率 解析 分别记甲 乙两种果树成苗为事件 分别记甲 乙两种果树移栽成活为事件 p 0 6 p 0 5 p 0 7 p 0 9 1 甲 乙两种果树至少有一种成苗的概率为1 1 0 4 0 5 0 8 题型三独立重复试验 例3 某单位6个员工借助互联网开展工作 每个员工上网的概率都是0 5 相互独立 1 求至少3人同时上网的概率 2 求至少几人同时上网的概率小于0 3 2 分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件a b 则p a p 0 42 p b p 0 45 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为p a b p a p b 0 42 0 55 0 58 0 45 0 492 分析由于每个员工上网的概率都是0 5 且相互独立 故6个员工上网即进行6次独立重复试验 解 1 至少3人同时上网 这件事包括3人 4人 5人或6人同时上网 记至少3人同时上网的事件为a 则 2 由 1 知至少3人同时上网的概率大于0 3 至少4人同时上网的概率为至少5人同时上网的概率为所以至少5人同时上网的概率小于0 3 学后反思 1 独立重复试验 是在同样的条件下重复地 各次之间相互独立地进行的一种试验 在这种试验中 每一次试验只有两种结果 即某事件要么发生 要么不发生 并且任何一次试验中发生的概率都是一样的 2 在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为p x k k 0 1 2 n 在利用该公式时 一定要审清公式中的n k各是多少 举一反三3 甲 乙两人进行乒乓球比赛 采用五局三胜制 若每场比赛中甲获胜的概率是 乙获胜的概率是 求比赛以甲三胜一负而结束的概率 解析 甲三胜一负即共进行四局比赛 前三局甲二胜一负 第四局甲胜 所求概率为 分析 1 可看做6次独立重复试验 2 x的取值为0 1 2 3 4 5 6 3 可通过求对立事件的概率解决 题型四综合应用 例4 14分 一名学生每天骑车上学 从他家到学校的途中有6个交通岗 假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 1 设x为这名学生在途中遇到红灯的次数 求x的分布列 2 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解 1 将通过每个交通岗看做一次试验 则遇到红灯的概率为13 且每次试验结果是相互独立的 故x b 6 3 以此为基础求x的分布列 由x b 6 p x k 4 k 0 1 2 3 4 5 6 所以x的分布列为 10 2 这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 x 1 x 1或x 2或 或x 6 12 所以其概率为p x 1 p x k 1 p x 0 14 学后反思 1 解决概率问题要注意的 三个步骤 确定事件的性质 古典概型 互斥事件 独立事件 独立重复试验 把所给问题归结为四类事件中的某一种 判断事件的运算 和事件 积事件 即是至少有一个发生还是同时发生 分别运用相加或相乘公式 运用公式 古典概型 p a 互斥事件 p a b p a p b 条件概率 p b a 独立事件 p ab p a p b n次独立重复试验 2 判断一个随机变量是否服从二项分布 要看两点 是否为n次独立重复试验 随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数 举一反三4 2010 新乡模拟 在某次世界杯上 巴西队遇到每个对手 战胜对手的概率为 打平对手的概率为 输的概率为 且获胜一场得3分 平一场得1分 负一场得0分 已知小组赛中每支球队需打三场比赛 获得4分以上 含4分 即可小组出线 1 求巴西队小组赛结束后得5分的概率 2 求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小组赛出线的概率 解析 1 记巴西队小组赛结束后得5分 为事件a 必为一胜两平 则故巴西队小组赛结束后得5分的概率为 2 巴西队小组赛后的得分用 表示 则 0 1 2 3 4 5 6 7 9 则p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 9 所以 的分布列为记 巴西队小组赛出线 为事件b p b p 4 故巴西队小组赛出线的概率为 易错警示 例 某地最近出台一项机动车驾照考试规定 每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会 一旦某次考试通过 便可领取驾照 不再参加以后的考试 否则就一直考到第4次为止 如果李明决定参加驾照考试 设他每次参加考试通过的概率依次为0 6 0 7 0 8 0 9 求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列 并求李明在一年内领到驾照的概率 错解 的取值分别为1 2 3 4 1 表示李明第一次参加驾照考试就通过 p 1 0 6 2 表示李明第一次考试未通过 第二次考试通过 p 2 1 0 6 0 7 0 28 3表示李明第一 二次考试未通过 第三次考试通过 p 3 1 0 6 1 0 7 0 8 0 096 4表示李明前三次考试未通过 第四次考试通过 p 4 1 0 6 1 0 7 1 0 8 0 9 0 0216 故李明实际参加考试次数 的分布列为李明在一年内领到驾照的概率为p 1 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 0 9976 错解分析不会计算 4时的概率 错算为p 4 1 0 6 1 0 7 1 0 8 0 9 0 0216 而使各事件的概率和不为1 而实际上 4的概率计算方法有两种 其一是前三次都未通过就必须参加第4次 而不管第4次结果如何 通过与否 其二是用间接法1 p 1 p 2 p 3 也可得出正确结论 正解 的取值分别为1 2 3 4 1 表示李明第一次参加驾照考试就通过了 故p 1 0 6 2 表示李明第一次考试未通过 第二次通过了 故p 2 1 0 6 0 7 0 28 3 表示李明第一 二次考试未通过 第三次通过了 故p 3 1 0 6 1 0 7 0 8 0 096 4 表示李明第一 二 三次考试都未通过 故p 4 1 0 6 1 0 7 1 0 8 0 024 故李明实际参加考试次数 的分布列为 李明在第一年内领到驾照的概率为1 1 0 6 1 0 7 1 0 8 1 0 9 0 9976 考点演练 10 2009 天津模拟 有1道数学难题 在半小时内 甲能解决的概率是 乙能解决的概率为 2人试图独立地在半小时内解决它 求2人都未解决的概率和问题得到解决的概率 解析 设 半小时内甲独立解决问题 为事件a 半小时内乙独立解决该问题 为事件b 那么两人都未解决该问题就是事件 p p p 1 p a 1 p b 1 1 问题得到解决是问题没得到解决的对立事件 1 p 1 11 甲 乙两人各进行3次射击 甲每次击中目标的概率为 乙每次击中目标的概率为 求 1 记甲击中目标的次数为x 求x的概率分布列 2 求乙至多击中目标2次的概率 3 求甲恰好比乙多击中目标2次的概率 解析 1 x的所有可能取值为0 1 2 3 且x b 3 故p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 x的概率分布列如下表 2 乙至多击中目标2次的概率为 3 设甲恰比乙多击中目标2次为事件a 甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件 甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件 则 为互斥事件 p a p p 12 在5道题中有3道理科题和2道文科题 如果不放回地依次抽取2道题 求 1 第1次抽到理科题的