三角函数图象及性质教案

三角函数图象及性质教案 三角函数图象及性质1.填表正弦函数余弦函数x?R x?R定义域y?1,1y?1,1值域2?2?周期性奇偶奇偶性?2k?,?2k?2k?,2?2k?22为增函数为增函数单调性?3?2k?,?2k?2k?,?2k?22为减函数为减函数2.函数y?Asin(?x?)的图象可以通过下列方式得到y?sin x?0，图象左移?个单位y?s inx(?)?0，图象右移?个单位1?1，横坐标缩短为原来的倍?(x?)y?s in10?1，横坐标伸长为原来的倍?A?1，纵坐标伸长为原来的A倍?(x?)y?As in0?A?1，纵坐标缩短为原来的A倍 三、知识精点讲解1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x y=cosx-4?-7?2-5?-3?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x yyy=tanxy=cotx-3?2-?-?2o?2?3?2x-?-?2o?2?3?22?x2三角函数的单调区间?y?sin x的递增区间是?2k?，2k?(k?Z)，22?递减区间是?2k?2，2k?3?(k?Z)；2?y?cos x的递增区间是?2k?，2k?(k?Z)，递减区间是?2k?，2k?(k?Z)，?y?tan x的递增区间是?k?，k?(k?Z)，22?（其中A?0，?0）3函数y?Asin(?x?)?B最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?初相是?；其图象的对称轴是直线?x?k?2?，频率是f?，相位是?x?，2?2(k?Z)，凡是该图象与直线y?B的交点都是该图象的对称中心。 4由ysinx的图象变换出ysin(x?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(?0)或向右(?0平移?个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1?倍(0)，便得ysin(x?)的图象。 途径二先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的或向右(?0平移1?倍(0)，再沿x轴向左(?0)|?|?个单位，便得ysin(x?)的图象。 5由yAsin(x?)的图象求其函数式?给出图象确定解析式y=Asin（x+?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（?，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ?6对称轴与对称中心?y?sin x的对称轴为x?k?，对称中心为(k?,0)k?Z；2?y?cos x的对称轴为x?k?，对称中心为(k?；2,0)?对于y?Asin(?x?)和y?Acos(?x?)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ?7求三角函数的单调区间一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、?的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；?8求三角函数的周期的常用方法?经过恒等变形化成“y?Asin(?x?)、y?Acos(?x?)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9五点法作y=Asin（x+?）的简图五点取法是设x=x+?，由x取 0、3、2来求相应的x值及对应的y值，22再描点作图。 四典例解析题型1三角函数的图象例1（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（）解析因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，?2）时，yxcosx0。 答案为D。 例2（xx上海，15）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（）解析由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。 选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。 点评利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2三角函数图象的变换1例3试述如何由y=3sin（2x+3）的图象得到y=sinx的图象。 1解析y=3sin（2x+3）12倍?横坐标扩大为原来的?y?sin（x?）纵坐标不变33图象向右平移个单位1?3?y?sin x纵坐标不变33倍?纵坐标扩大到原来的?y?sin x横坐标不变另法答案11 （1）先将y=3sin（2x+3）的图象向右平移6个单位，得y=3sin2x的图象；11 （2）再将y=3sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=3sinx的图象；1 （3）再将y=3sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。 ?例4（xx上海春，15）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移2下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A（1y）sinx+2y3=0B（y1）sinx+2y3=0C（y+1）sinx+2y+1=0D(y+1)sinx+2y+1=0个单位，再沿y轴向1?解析将原方程为y=2?cos x，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和112?cos(x?)21为所求方程.得（y+1）sinx+2y+1=0.个单位，因此可得y=点评本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 如果对平移有深刻理解，?可直接化为（y+1）cos（x2题型3三角函数图象的应用）+2（y+1）1=0，即得C选项。 例5已知电流I与时间t的关系式为I?Asin(?t?)。 （）右图是I?Asin(?t?)（0，|?|?2）I300在一个周期内的图象，根据图中数据求I?Asin(?t?)的解析式；-1900o1180t-3001（）如果t在任意一段150秒的时间内，电流I?Asin(?t?)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（）由图可知A300。 11设t1900，t2180，111则周期T2（t2t1）2（180900）75。 2?T150。 11又当t180时，I0，即sin（150180?）0，|?|?而2，?6。 I?300sin(150?t?6)故所求的解析式为。 12?1（）依题意，周期T150，即?150，（0）300942，又N*，故最小正整数943。 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。 例6 （1）（xx上海春，18）已知函数f（x）=Asin（x+?）（A0，0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。 7?解析根据图象得A=2，T=2（2）=4，1x=2，y=2sin（2+?），图?1?又由图象可得相位移为2，2=2?1?，=4.即y=2sin（2x+4）。 1?1?1?2x?x?x?4）4=2k+3(kZ)或24=2k+3（kZ）根据条件3=2sin（2，2，?x=4k+65（kZ）或x=4k+6（kZ）。 ?所有交点坐标为（4k+6,35?,36）或（4k+）（kZ）。 点评本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 （2）（xx全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（）?5?A（4，2）（，4?）B（4，）3?，2）5?和4，?5?C（4，4解析C；?5?）D（4，）（4?解法一作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4由图1可得C答案。 图1图2解法二在单位圆上作出 一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。 （如图2）题型4三角函数的定义域、值域例7 （1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域； （2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析求函数的定义域 （1）要使0cosx1， （2）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值充当角。 解析 （1）0cosx1?2k2x2k+2，且x2k（kZ）。 所求函数的定义域为xx2k2，2k+2且x2k，kZ。 （2）由sin（cosx）0?2kcosx2k+（kZ）。 又1cosx1，0cosx1。 故所求定义域为xx（2k2，2k+2），kZ。 点评求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二一是图象，二是三角函数线。 6cos4x?5cos2x?1cos2x例8（xx京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。 ?解析由cos2x0得2xk+2k?4，kZ，且x2k?24，kZ，所以f（x）的定义域为x|xR，解得x因为f（x）的定义域关于原点对称，6cos4(?x)?5cos2(?x)?16cos4x?5cos2x?1?cos(?2x)cos2x且f（x）=f（x）。 所以f（x）是偶函数。 k?4（kZ）时，又当x26cos4x?5cos2x?1(2cos2x?1)(3cos2x?1)?3cos2x?1cos2x cos2xf（x）=。 11所以f（x）的值域为y|1y2或2 点评本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型5三角函数的单调性例9求下列函数的单调区间12x （1）y=2sin（43）； （2）y=sin（x+4）。 12分析 （1）要将原函数化为y=2sin（3x4）再求之。 （2）可画出y=|sin（x+4）|的图象。 12x12x解 （1）y=2sin（43）=2sin（34）。 2x故由2k2342k+2。 39?3k8x3k+8（kZ），为单调减区间；2x3由2k+2342k+2。 921?3k+8x3k+8（kZ），为单调增区间。 39递减区间为3k8，3k+8，921递增区间为3k+8，3k+8（kZ）。 3 （2）y=|sin（x+4）|的图象的增区间为k+4，k+4，减区间为k4，k+4。 -5?43?-4-?4y?o43?45?47?4x例10（xx京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（）?A2k2?，2k2（kZ）?B2k23?，2k2（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k（kZ）解析A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。 题型6三角函数的奇偶性21?sin x）例11判断下面函数的奇偶性f（x）=lg（sinx+。 分析判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系。 解析定义域为R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数。 点评定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例12（xx上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+对任意的不存在存在?）有以下命题?，f（x）都是非奇非偶函数；?，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；?，使f（x）是奇函数；对任意的?，f（x）都不是偶函数。 ?=_时，该命题的结论不成立。 其中一个假命题的序号是_.因为当?答案，k（kZ）；或者，2+k（kZ）；或者，2+k（kZ）解析当?=2k，kZ时，f（x）=sinx是奇函数。 当?=2（k+1），kZ时f（x）=sinx?仍是奇函数。 当?=2k+2，kZ时，f（x）=cosx，或当?cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。 无论?=2k2，kZ时，f（x）=?为何值都不能使f（x）恒等于零。 所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。 和都是假命题。 点评本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。 题型7三角函数的周期性例13求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。 分析将原函数化成y=Asin（x+?）+B的形式，即可求解。 解析y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）335=13sin2xcos2x=14sin22x=8cos4x+8。 T=2。 k当cos4x=1，即x=2（kZ）时，ymax=1。 例14设f(x)?asin?x?bcos?x(?0)的周期T?，最大值 （1）求?、a、b的值；f(?12)?4，?、?终边不共线，求tan(?)的值。 （2）若?、?为方程f(x)?0的两根，22f(x)?a?b sin(?x?)，?T?，?2，解析 (1)又?f(x)的最大值。 ?f(?12)?422?4?a?b，且4?asin2?2?bcos1212，由、解出a=2,b=3.f(x)?2sin2x?23cos2x?4sin(2x? (2)?)3，?f(?)?f(?)?0，?4sin(2?3)?4sin(2?)3，2?2?3?2k?2?3，或?3?2k?(2?3，)即?k?(?、?共线，故舍去)，或?k?6，?tan(?)?tan(k?6)?33(k?Z)。 点评方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。 题型8三角函数的最值1例15（xx京春文，2）设M和m分别表示函数y