高等数学基础第3讲.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第3讲 导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。3.1 导数的概念一、函数的变化率对于函数，我们要研究怎样随变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量，所对应的函数改变量是不同的。可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数在一点的变化率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。定义3.1 设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在处的改变量，函数相应的改变量为，如果当时极限存在，则此极限值称为函数在点处的导数，或在点处函数关于自变量的变化率，记作，或这时，称函数在点处是可导的。 根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。例1 根据导数定义求在点处的导数。解 根据定义求导数通常分三步：（）求：（）求：（）求：因此得出。 如果函数在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数，称为的导函数。在点的函数值就是在点的导数。例2 根据导数定义求在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。例3 根据导数定义求（为自然数）在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。 可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。例4 根据导数定义求在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成。例5 根据导数定义求在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 因此得出。这个结果可以写成 从这两个例子可以看出公式不仅在为自然数时成立，而且当和时也成立。因此我们不妨认为对任意实数，有。 下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第2个重要极限的另一种形式的另一种形式是另外，记称为自然对数。例6 根据导数定义求在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，第2个重要极限公式有且是连续函数，所以有 因此得出。例7 根据导数定义求在点处的导数。解 按照由定义求导数的步骤： 注意到，当时有，设，据第1个重要极限公式有且是连续函数，所以有 因此得出。下面我们给出基本初等函数的导数公式 三、导数的几何意义从下面这个图中我们可以看出，函数在点处的导数，就是函数曲线在过点处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程 例8求函数在点处的切线方程。解 ，所以。由此得切线方程即。定理3.1 若函数在点处可导，则在连续。证 由于由定理2.1，有其中是无穷小量。上式可写成由此得 定理3.1的结论是不可逆的，例如函数在点连续，但在该点不可导。3.2 求导法一、导数的四则运算法则我们可以看出，由定义求导是很复杂的，有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少，为此我们给出下面的运算法则：设函数和在点处可导，则有上述公式我们称为导数的四则运算法则。根据第3个公式还可以得到，若函数在点处可导，为任意常数，则有对于导数的四则运算法则，我们仅就加法和乘法法则加以验证：因为所以 即 又因为 所以即 例9求下列函数的导数： 解 利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算： 二、复合函数导求导法则有了导数四则运算法则以后，可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型，如，等函数。定理3.5 设函数，且在点处可导，在相应的点处可导，则复合函数在点处可导，且简单验证这个定理。由于在 点处可导，则在点处连续，因此有。故有由导数定义得到 称定理3.5为复合函数求导法则，也称为链锁法则。例10求下列函数的导数： 解 利用复合函数求导法则进行计算：设，有 设，有 设，有 设，有 例11设，求。解 因为 设，有。由复合函数求导法则得 三、隐函数导求导法在下面的方程中的值可以随着的值而确定，即是的函数。但无法表示成的表达式，这种函数关系称为隐函数。例12由方程所确定的函数，求。解 等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端：由此得解出，得例13设，求。解 由已知条件可得等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端：由此得解出，得例14设，求。解 由已知条件可得等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端：由此得解出，得例15设，求。解 由已知条件可得等式两端同时对自变量求导， 左端： 右端：由此得解出，得3.3 微分一、微分的概念 在前面的讨论中，对于函数，我们经常遇到函数的改变量，也就是从上式的右端看函数的改变量是自变量改变量的函数，这种函数关系一般来说是复杂的，能否将这种复杂的关系用简单的关系来近似呢？结论是在可导的情况下是可以的，因为此时有即称为函数在点处的微分，记为。即 或例16求下列函数的微分： 解 利用微分定义式： 由的结果得到。因此微分又可记为 或 根据上式，导数的符号又可记为 或 微分的几何意义由下面的图形可以看出二、微分的运算法则 微分的运算与导数运算关系密切，与导数运算类似，微分也有四则运算法则及 三、一阶微分形式不变性如果函数，且在点处可导，在相应的点处可导，那么对于复合函数在点的微分就有两种表达方式，即 形式上看以上两种表示之间似乎存在区别，进一步看以上结果称为一阶微分形式不变性。例17设，求。解 利用一阶微分形式不变性得 由此得例18由方程所确定的函数，求。解 利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，等式两端分别求微分得 左端： 右端：由此得整理得得注意到本例的结果与例12是相同的。3.4 高阶导数在本章的开始，我们曾提到如果函数在其定义域内每