2013届高考数学平面向量基本定理复习课和测试题.doc

2013届高考数学平面向量基本定理复习课和测试题1.(文)(2011合肥二模)设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3) B(7,7)C(1 ,7) D(1,3)答案A解析依题意得a2b(3,5)2(2,1)(7,3)，选A.(理)(2011宁波十校联考)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)答案C解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)2(2011蚌埠二中质检)已知点A(1,0)，B(1,3)，向量a(2k1,2)，若ABa，则实数k的值为()A2 B1C1 D2答案B解析AB(2,3)， ABa，2(2k1)320， k1，选B.3(2011嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，ABab，ACab，R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A2 B1C1 D1答案D解析AB与AC共线，a与b不共线，10，故选D.4(2011西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A(79，73) B(73，79)C(73，79) D(79，73)答案D解析不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，因为(ca)b，则有3(1m)2(2n)又c(ab)，则有3mn0，解得m79，n73.5(2011山东高考调研)已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量APxAByAD，则“0x12，0y23”的概率是()A.13 B.23C.14 D.12答案A解析根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的122313，故所求的概率是13.6(文)(2010合肥市质检)如图，ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，设ABa，ACb，AFxayb，则(x，y)为()A.12，12 B.23，23C.13，13 D.23，12答案C解析设CFCD，E、D分别为AC、AB的中点，BEBAAEa12b，BFBCCF(ba)(12ab)121a(1)b，BE与BF共线，1211112，23，AFACCFb23CDb2312ab13a13b，故x13，y13.(理)在平行四边形ABCD中，AE13AB，AF14AD，CE与BF相交于G点若ABa，ADb，则AG()A.27a17b B.27a37bC.37a17b D.47a27b答案C解析B、G、F三点共线，AGAF(1)AB14b(1)a.E、G、C三点共线，AGAE(1)AC13a(1)(ab)由平面向量基本定理得，411123，4767，AG37a17b.7 (文)(2011杭州模拟)已知向量a(sinx,1)，b(cosx，3)，且ab，则tanx_.答案13解析ab，sinxcosx13，tanx13.(理)已知a(2，3)，b(sin，cos2)，2，2，若ab，则tan_.答案33解析ab，sin2cos23，2cos23sin，2sin23sin20，|sin|1，sin12，2，2，cos32，tan33.8(2011海南质检)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为_答案(0，2)解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有ABDC，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)9(文)(2011北京朝阳区模拟)如图，在ABC中，D、E 分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且AB4AF，若ADxAFyAE，则x_，y_.答案21解析(如图)因为ADAEEDAE12ABAE124AFAE2AF.所以x2 ，y1.(理)(2011江苏徐州市质检)在ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB，AC于M，N两点，若AMxAB，ANyAC，则4xy的最小值为_答案94解析如图所示，由题意知AD12(ABAC)，AE12AD，又M，E，N三点共线，所以AEAM(1)AN(其中01， )t1(tt4)1(则4xy1145494，)t1(t1)14当且仅当t32，即23时取得等号10(文)已知O(0,0)、A(2，1)、B(1,3)、OPOAtOB，求(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由解析(1)OPOAtOB(t2,3t1)若点P在x轴上，则3t10，t13；若点P在y轴上，则t20，t2；若点P在第四象限，则t203t10，2T13.(2)OA (2，1)，PB(t1，3t4)若四边形OABP为平行四边形，则OAPB.t123t41无解 四边形OABP不可能为平行四边形同理可知，当t1时，四边形OAPB为平行四边形，当t1时，四边形OPAB为平行四边形(理)(2011杭州市质检)已知向量a(1,2)，b(cos，sin)，设matb(t为实数)(1)若4，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若ab，问：是否存在实数t，使得向量ab和向量m的夹角为4，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由解析(1)4，b(22，22)，ab322，25t22tab)atb(|m|212，)t322(t232t5当t322时，|m|取到最小值，最小值为22.|ab|atb|，)atb()ab(2)由条件得cos425t2，(ab)(atb)5t，)atb(26，|atb|)ab(|ab|5t65t222，且t5，t25t50，存在t5352满足条件.11.(文)(2011辽宁文，3)已知向量a (2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A 12 B6C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)a(2ab)(2,1)(5,2k)102k0k12.(理)(2011湖南十二校第二次联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足(ABBC)(ADCD)0，则三角形ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案B解析(ABBC)(ADCD)(ABBC)(ADDC)(ABBC)AC(ABBC)(ABBC)|AB|2|BC|20，故|AB|BC|，即ABC是等腰三角形12(2011青岛模拟)如图，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135，记向量ABa，ACb，则AD() A.2a(122)bB2a(122)bC2a(122)bD.2a(122)b答案 B解析根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD13 0，得ACD1354590，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直角三角形，由CD1，得CEED22，则A(1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(22，122)，AB(1,0)，AC(1,1)，AD(221,122)，令ADABAC，则有221122，得2122，AD2a(122)b.13.如图所示，设P、Q为ABC内的两点，且AP25AB15AC，AQ23AB14AC，则ABP的面积与ABQ的面积之比为_答案45分析因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比题设条件中用AB和AC给出了点P和点Q，故可利用AP和AQ构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决解析根据题意，设AM25AB，AN15AC，则由平行四边形法则，得APAMAN，且AMPN为平行四边形，于是NPAB，所以SABPSABC|AN|AC|15，同理，可得SABQSABC14.故SABPSABQ 45.14设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c2b，向量msinA，32，n(1，sinA3cosA)，且m与n共线(1)求角A的大小；(2)求ac的值解析(1)mn，sinA(sinA3cosA)320，即sin2A61.A(0，)，2A66，116.2A62.A3.( 2)由余弦定理及c2b、A3得， a2c22c22c2ccos3，a234c2，ac32.15(文)已知圆C：(x3)2(y3)24及定点A(1,1)，M为圆C上任意一点，点N在线段MA上，且MA2AN，求动点N的轨迹方程解析设N(x，y)，M(x0，y0)，则由MA2AN得(1x0,1y0)2(x1，y1)，1x02x21y02y2，即x032xy032y，代入(x3)2(y3)24，得x2y21.(理)已知C：(x2)2(y1)29及定点A(1,1)，M是C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|2|MN|，动点N的轨迹为C，求曲线C的方程解析设N(x，y)，M(x0，y0)，N在射线AM上，且|AM|2|MN|，AM2MN或AM2MN，AM(x01，y01)，MN(xx0，yy0)，)yy0(y012)xx0(或x012)yy0(y012)xx0(x012或x02x1y02y1，)2y1(y013)2x1(x013代入圆方程中得(2x5)2(2y2)281或(2x3)2(2y2)29.16设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若OA2 ab，OB3ab，OCa3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设OMma，ONnb，OPab，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：mn1.证明(1)AB(3ab)(2ab)a2b. 而BC(a3b)(3ab)2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共端点B，A、B、C三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a与b不共线，8k0，k208222，k24.(3)解法1：M、P、N三点共线，存在实数，使得MPPN，OPOMON1m1an1ba、b不共线，m1，n1mn1111.解法2：M、P、N三点共线，OPxOMyON且xy1，由已知可得：xmaynbab，xm，yn，mn1.1(2011长沙二检)若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3abCa3b Da3b答案B解析由已知可设cxayb4xy2xyx3y1，故选B.2(2010河南许昌调研，2011深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量OAa，OBb，其中a(3,1)，b(1,3)若OCab，且01，C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是()答案A解析OCab(3，3)，令OC(x，y)，则xy(3)(3)2()0，点C对应区域在直线yx的上方，故选A.3已知G是ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AEAB，AFAC，则11_.答案3解析连结AG并延长交BC于D，G是ABC的重心，AG23AD13(ABAC)，设EGGF，AGAE(AFAG)，AG11AE1AF，13AB13AC1AB1AC，113113，131131，113.4已知ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求DF.解析因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3) 所以AB(4，3)，AC(3，5)又因为D是BC的中点，有AD12(ABAC)(3.5，4)，而M、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有DF12DA12AD(1.75,2)点评注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则OM12(OAOB)5.如图所示，ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APwPM的值解析设BMe1，CNe2，则AMACCM3e2e1，BN2e1e2，A、P、M和B、P、N分别共线，存在、R，使APAMe13e2，BPBN2e1e2.故BABPAP(2)e1(3)e2，而BABCCA2e13e2，由平面向量基本定理得2233，4535，AP45AM，即APwPM4w1.6(2011衡阳期末)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,