课标通用高考数学一轮复习第四章与4.8解三角形应用举例学案理.docx

4.8解三角形应用举例考纲展示能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考点1距离的测量 测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BCa，再用正弦定理求AB测得CDa，BCD，BDC，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB续表类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达结论ABABAC；BC；AB(1)教材习题改编海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里答案：5解析：易知ACB60，由，得，得BC5.(2)教材习题改编已知A，B两地间的距离为10 m，B，C两地间的距离为20 m，现测得ABC120，则A，C两地间的距离是_答案：10 m解析：AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700，所以AC10(m)考情聚焦研究测量距离问题是高考中的常考内容，题型既有客观题，也有解答题，难度一般适中，属中档题解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解主要有以下几个命题角度：角度一两点可视但有一点不可到达典题1某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.答案3解析由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.角度二两点不可到达的距离典题22017辽宁沈阳一模如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1，又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，即AB，又sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以AB，因此，BD0.33(km)故B，D的距离约为0.33 km.角度三两点不相通的距离典题3如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长为_答案200 m解析在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m，即A，B两点间的距离为200 m.点石成金求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(3)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解考点2测量高度问题 测量高度的基本类型及方案类型点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先测得CDa，ACB和ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先测得BCD，BDC，CDa，在BCD中先用正弦定理求出BC，在ABC中ACB可测，CAB90BCDACB，再用正弦定理求AB结论ABAB1.实际问题中角的概念理解错误为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的建筑物的顶部测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是_答案：20m解析：由题意画出示意图，如图所示，易知AD m，BDCD20 m，故AB2020(m)2实际问题中把求解目标纳入三角形某路边一棵树的树干被台风吹断后，折断部分与地面成45角，树干倾斜并与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是_m.答案：解析：由题意画出示意图，如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理，知，AO(m)典题4某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高解如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD40，此时DBF45，过点B作BECD于E，则AEB30，在BCD中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，所以BD20(m)因为BDE1801353015，所以在RtBED中，BEDBsin 152010(1)(m)在RtABE中，AEB30，所以ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高为(3)m.点石成金求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.答案：40解析：设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45，得BCx.在RtADB中，由ADB30，得BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.考点3测量角度问题 1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)答案：上方下方2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比 典题52017浙江适应性考试如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.点石成金测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为. 真题演练集训 12014浙江卷如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角)若AB15 m，AC25 m，BCM30，则tan 的最大值是()A. B. C. D.答案：D解析：如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cos BCA.所以AO(m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.22015湖北卷如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m. 答案：100解析：由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)32014新课标全国卷如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN_m.答案：150解析：在三角形ABC中，AC100，在三角形MAC中，解得MA100，在三角形MNA中，sin 60，故MN150，即山高MN为150 m.42014四川卷如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案：60解析：根据图中给出的数据构造适当的三角形求解根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060 (m) 课外拓展阅读 有关解三角形的应用题的解题方法1解决关于解三角形的应用问题的步骤2解三角形的应用题的两种情形及解题方法 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出(或找出)这些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有时需设出未知量，利用几个三角形中边角所满足的关系列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解3解决关于解三角形的应用问题应注意的事项 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角； (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用，这样可以优化解题过程； (3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义典例如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙