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第二章微分方程与差分方程模型 模型一利率模型 一 单利模型 设年利率为r 初始资金量为S0 n年后资金量为Sn n年后的本利和为 二 复利模型 1 离散型复利模型 每年结算一次 n年后的本利和为 每年结算m次 n年后的本利和为 2 连续型复利模型 连续结算 瞬时结算 n年后的本利和为 三 现值模型 1 单利现值模型 若n年后的资金量是Sn 则初期的资金量为 在现值模型中 年利率r也称为折现率 2 复利现值模型 每年折现一次 若n年后的资金是Sn 则初期的资金为 每年折现m次 若n年后的资金量是Sn 则初期的资金量为 连续折现 若n年后的资金量是Sn 则初期的资金量为 模型二生猪出售问题 饲养场每天投入4元资金 用于饲料 人力 设备 估计使当前80千克重的生猪每天增加2公斤 问题 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降低0 1元 问生猪应何时出售 如果估计和预测有误差 对结果有何影响 分析 投入资金使生猪体重随时间增加 出售单价随时间减少 故存在最佳出售时机 使利润最大 求t使Q t 最大 10天后出售 可多得利润20元 建模及求解 生猪体重w 80 rt 出售价格p 8 gt 销售收入R pw 资金投入C 4t 利润Q R C pw C 生猪的增长速度r 2 若当前出售 利润为80 8 640 元 t天出售 10 Q 10 660 640 收购价格降低速度g 0 1 敏感性分析 研究r g变化时对模型结果的影响 设g 0 1不变 t对r的 相对 敏感度 生猪每天体重增加量r增加1 出售时间推迟3 敏感性分析 研究r g变化时对模型结果的影响 设r 2不变 t对g的 相对 敏感度 生猪价格每天的降低量g增加1 出售时间提前3 模型三森林救火问题 森林失火后 要确定派出消防队员的数量 队员多 森林损失小 救援费用大 队员少 森林损失大 救援费用可能更大 综合考虑损失费和救援费 确定队员数量 问题分析 问题 记队员人数x 失火时刻t 0 开始救火时刻t1 灭火时刻t2 时刻t森林烧毁面积B t 损失费f1 x 是x的减函数 由烧毁面积B t2 决定 救援费f2 x 是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 存在恰当的x 使f1 x f2 x 之和最小 关键是对B t 作出合理的简化假设 问题分析 失火时刻t 0 开始救火时刻t1 灭火时刻t2 画出时刻t森林烧毁面积B t 的大致图形 分析B t 比较困难 转而讨论森林烧毁速度dB dt 模型假设 3 f1 x 与B t2 成正比 系数c1 烧毁单位面积损失费 1 0 t t1 dB dt与t成正比 系数 火势蔓延速度 2 t1 t t2 降为 x 为队员的平均灭火速度 4 每个队员的单位时间灭火费用c2 一次性费用c3 假设1 的解释 火势以失火点为中心 均匀向四周呈圆形蔓延 半径r与t成正比 模型建立 目标函数 总费用 模型应用 c1 c2 c3已知 t1可估计 c3 x 结果解释 c1 烧毁单位面积损失费 c2 每个队员单位时间灭火费 c3 每个队员一次性费用 t1 开始救火时刻 火势蔓延速度 每个队员平均灭火速度 可设置一系列数值 由模型决定队员数量x c1 t1 x 模型四产品销售问题 扩展 一 独家耐用产品销售模型 一种耐用新产品进入市场后 一般会经过一个销售量先增加 然后下降的过程 称为产品的生命周期 简记为PLC PLC曲线可能有若干种情况 其中有一种为钟型 建立数学模型分析此现象 问题分析 商品信息传播一般有两个途径 消费者外部信息 广告 亲眼看到商品等 消费者内部信息 部分人使用并有所评价 使周围人了解到有关产品信息 由于是耐用消费品 所以一般不会重复购买 故产品累计销售量可以认为是购买者人数 建模与求解 设K为潜在的消费者总数 n t 为t时刻购买该产品的人数 在 t t t 中 n由两部分组成 n1是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量 n2是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量 n1应与未购买者人数成正比 即 n2应与已购买者人数 未购买者人数之积成正比 即 a b 0为比例系数 在 t t t 中 n总数为 所以销售量的数学模型为 其曲线即为PLC曲线 它的图形为钟型 二 两家竞争的销售模型 假设1 两家企业销售同一种商品 而市场容量是有限的 设t时刻的市场容量为M t 2 设N t 是t时刻市场的潜在销量 分别是甲厂和乙厂的销量 3 甲 乙两厂销量的变化率都与潜在的市场销量N t 成正比 建立模型 将 1 2 两式相除并两端积分 将上式代入 3 再代入 1 得 不妨假设市场容量函数为 解得 其中都是常数 由此可见 甲 乙两厂的销售模型是同一类型 同理 模型五最优价格问题 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c 每台电视机的销售价格为p 销售量为x 假设该厂的生产处于平衡状态 即电视机的生产量等于销售量 根据市场预测 销售量x与销售价格p之间有如下关系 其中M为市场最大需求量 a是价格系数 同时 生产部门根据对生产环节的分析 对每台电视机的生产成本c有如下测算 其中c0是只生产一台电视机的成本 k是规模系数 根据上述条件 应该如何确定电视机的销售价格p 才能使该厂获得最大利润 分析 在生产和销售商品过程中 商品销售量 生产成本与销售价格是相互影响的 厂商只有选择合理的销售价格 最优价格 才能获得最大利润 设厂家获得的利润为u 每台电视机的生产成本为c 销售价格为p 销售量为x 则利润函数为u p c x 3 问题变化为在条件 1 2 下求解利润函数的最大值