《材料力学》课件11-1能量法

能量法Energy method,一 概述（General introduction）,能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念有关的理论和方法统称为能量法,同静力学方法平行的一种方法,恒力功:,二 功、能（应变能或变形能）,1 功: 力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功,变形功:,在线弹性范围内,广义力,广义位移,轴向拉伸时外力做功,扭转时外力做功,弯曲时外力做功,统一表示为,2 能（应变能或变形能）,能是一种可对物体做功的本领,应变能密度：单位体积内积蓄的应变能,若微元各边分别为,若整个体积内 相同,根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 等于外力在物体变形过程中所做的功W。,图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴在加载过程中所积蓄的应变能 。,利用应变能密度,三种方法,利用外力功,利用内力功,三 卡氏第一定理,为最后位移 的函数,卡氏第一定理应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。,由于 改变了 ，外力功相应改变量为,图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。试计算轴两端的相对扭转角。,四 余功、余能及卡氏第二定理,与外力功 之和等于矩形面积,与余功相应的能称为余能,线弹性范围内外力功等于余功，能等于余能。,试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图所示。,解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为,于是两杆横截面上的应力为,由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为,由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得,余能密度为,卡氏第二定理,表明余能为一系列荷载 的函数,由于 改变了 ，外力余功相应改变量为,余能定理杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。,在线弹性范围内,卡氏第二定理线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。,试计算图示结构在荷载 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图所示。,解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为,于是两杆横截面上的应力为,由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为,由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得,余能密度为,试求简支梁Fp处的挠度，已知梁的抗弯刚度为EI。,本题也可用功能原理（实功原理）求解，但这种方法有它的局限性，即只能求解单个力作用时沿其方向的位移。,外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度（2） C端转角,解：（1）C端挠度支座反力分别为内力为AB段BC段总应变能为,由功能原理或卡氏第二定理可得,五 能量法解超静定,1.简单超静定问题及其解法,未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.,未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.,所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.,未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.,求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.,一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.,变形协调方程,试计算图示结构在荷载 作用下的余能，结构中两斜杆的长度均为 ，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力应变曲线如图所示。求各杆内力。,解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为,于是两杆横截面上的应力为,由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为,由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得,余能密度为,试计算图示结构的支座反力,这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法,平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结在一起，受到水平