安徽亳州涡阳一中高三数学最后一卷理

安徽省亳州市涡阳一中2018届高三数学最后一卷试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数满足，那么（ ）A. 1B. C. D. 5【答案】C【解析】分析：解方程可求得，根据复数模的公式可得结果.详解：，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合，下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由指数不等式的性质化简集合，从而可得结果.详解：根据题意， ,故选D.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，求集合的补、交集与并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3.已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.已知双曲线： 的左、右焦点分别为、，点关于的对称点为，以为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，从而可得结果.详解：设的坐标分别为，过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，即，故选B.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.5.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，一个侧面与底面垂直，设出球心，根据三视图所给数据列方程求出半径，从而可得结果.详解：由题意可得，该几何体的直观图如图，三棱锥中，平面平面，设为的中点，连接，显然平面，根据三视图数据，为等腰直角三角形，点为的外心，外接球的球心一定在直线上，球心在线段的延长线上，设，球半径为，则，由勾股定理可得， ，外接球的表面积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7.已知直线经过函数 图象相邻的最高点和最低点，则将的图象沿轴向左平移个单位后得到解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直线，令可得，最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与的值，进而可得值，根据图象变换规律可得结果.详解：直线，令可得，最高点坐标为，最低点坐标为，所以函数的周期为，的解析式为，平移后的解析式为，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. 33B. 35C. 36D. 40【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，；，结束循环，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，当时，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得， ，中，由正弦定理得，得，当时，当时，为锐角三角形，的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.设函数，若存在实数，满足，则，的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用基本不等式可得以,，结合，从而可得结果.详解：，即，所以,又，所以,又因为，故选B.点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.（且）在区间上无零点 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，从而可得结果.详解：令，则，设，于是要使函数且在区间上没有零点，只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，且，此时，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，即，于是，解得，故实数的取值范围是或，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12.已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，可得几何体的体积，利用导数研究函数的单调性，可得时，体积最大，从而可得结果.详解：设的高为，的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，以几何体的体积，当，在时，取得最大值，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形的边长为2，点是上靠近的三等分点，则_【答案】【解析】分析：根据向量减法的运算法则以及平面向量基本定理可得，然后利用数量积的运算法则求解即可.详解：，故答案为.点睛：向量运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）14.已知，则_【答案】【解析】分析：由，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，所以， ，故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数之间的关系，以及二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为_元【答案】4400【解析】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，利用线性规划求解即可.详解：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，可行域为三直线三交点为组成的三角形，变形为，平移直线，当直线经过，即当时，直线在轴上的截距最大，最大获利，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为_【答案】【解析】分析：求出以为切点的切线方程为，为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得.详解：设，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，又到直线的距离为，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.古代数学著作张丘建算经上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，应为等差数列，设数列公差为，前项和为，由题意知，即，由等差数列的求和公式可得结果；（2）由（1）可知，故，利用裂项相消法求和，然后利用放缩法可得结论.详解：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即， （尺），故该女子在偶数天所织布数量比在奇数天所织布的数量多尺.（2）由（1）可知，故， .点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，是斜三棱柱中，已知，异面直线，且 .（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先证明平面，而平面，所以，又因为，即，可得平面，从而可得结论；（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组可求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）因为，所以四边形是菱形，所以，又因为异面直线，所以平面，而平面，所以，又因为，即，且，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，则，设与平面所成角为， ，设平面的一个法向量是，则即不妨令，可得， ， 与平面所成角的正弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率：24小时内降雪量(单位:)概率0.200.400.200.10.050.05根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：积雪深度()工期延误天数02610（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.城市济南菏泽潍坊青岛烟台积雪深度()2.0253.97.8515.1522.65现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率；（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）20000【解析】分析：（1）因为，求得样本中心坐标代入可得，所以，由此得到对应的个城市降雪量，利用古典概型概率公式可得结果；（2）由互斥事件的概率公式，根据条件概率公式可得结果；（3）设该工程损耗为，则，利用互斥事件与对立事件的概率公式求出随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1）因为，代入可得，所以对应的5个城市降雪量为：城市济南菏泽潍坊青岛烟台降雪量()2.5510.272030达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.（2）由概率加法公式，得，又，由条件概率，得，故甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率为.（3）根据题意，设该工程损耗为，则，所以的分布列为：0.60.20.10.1于是，故该工程损耗的数学期望为元.点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.20.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆，再求其轨迹方程；（）先利用直线的特殊情况探索直线过定点，再联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解试题解析：（）连接，根据题意，可知，则，故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，所以点的轨迹的方程为（）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，直线的方程为，联立解得直线经过定点下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，联立消去得，则，所以，即，同理：，于是直线的斜率为，故直线的方程为，显然时，故直线经过定点点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.21.已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.【答案】【解析】()依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需当且仅当时取，的取值范围为4分()当时，其定义域是时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点