【毕业学位论文】（Word原稿）李群方法在求解几类偏微分方程中的应用-流体机械及工程

分类号 密级 编号 中国科学院研究生院 硕士学位论文 李群方法 在 求解几类偏微分方程 中的应用 指导教师 研究员 硕 士 中国科学院广州能源研究所 申请学位级别 硕士 学科专业名称 流 体机械及工程 论文提交日期 论文答辩日期 培养单位 中国科学院 广州能源研究所 学位授予单位 中国科学院研究生院 答辩委员会主席 he ie to of 2007 摘 要 传统能源供应日益紧张，开发可再生能源 已 成为当务之急 。海洋能是众多可再生能源的一种，波浪能利用是现今 各国 海洋能开发研究的重点 ， 水动力学 数值计算和 非线性偏微分方程 求解则是 研究 波浪能 利用 的 工具 。在众多求解偏微分方程方法 中， 李群给我们提供了一种如何构造 函数和自变量的变换方法， 实现原微分方程的约化 降维，求解此 降 维方程 便 获得原方程的解， 它 使人们在运用变换求解偏微分方程时变得有章可循。 本文 的主要工作是 ，通过对求解偏微分方程 的 数值方法现状 大致 介绍 和 分析其自身局限性和缺陷，以李群理论的基础为始详细介绍了几类李群对称方法，之后以 一科学计算软件为平台，通过对 热传导 方程的经典和非经典对称方法的推导，演示其推导方法和结果。通过对其特征方程的常数赋予特值，获得其群不变量，再带回原方程实现降维约化，并求解 该降维方程 ，从而获得 热传导 方程的解，然后对 程， 程， 程不同方法求解来获得其更丰富的解。 本文的研究意义在于应用李群方法求解偏微分方程 的 精确解， 同时 利用科学计算软件 进行符号计算 推导 ， 扩展了 李群方法 应用的 适用性， 为 水动力 学 方程 的 求解提供了 参考 ，同时对几类偏微分方程的求解也增加了其解的丰富性 ，且为 波浪能的基础研究提供了理论 铺垫 ，并对进一步的工程实际应用具有一定的参考价值。 关键词 ：李群 无穷小生成元 偏微分方程 科学计算软件e a in of On is we to is of is in of is of of In of s is to us to of us a we In we of In , of we In , by of we so we by to of is is in at ie is in to of ie of in to in of in 录 I 目 录 第 1 章 绪 论 . 1 言 . 1 线性偏微分方程求解常用的几种数值方法 . 2 限差分法 . 2 限元法 . 3 界元法 . 3 限体积法 . 4 值方法求解存在的困难 . 4 群简介 . 6 群在偏微分方程中的应用 . 6 算机代数系统 . 7 论文的安排 . 8 第 2 章 李群理论基础及李对称群法介绍 . 13 言 . 13 群理论基础 . 14 及子群 . 14 换群、单参数李群变换和无穷小变换 . 14 拓、微分方程不变性、微分方程对称群 . 15 典李群方法 . 16 经典李群方法 . 17 对称方法 . 18 义对称方法 . 22 似对称法 . 23 参数近似群 . 23 似对称 . 24 论 . 25 第 3 章 应用本文方法求解几类常见的偏微分方程 . 29 言 . 29 李群方法 在求解几类偏微分方程中的应用 穷小生成元的求解及热传导方程的求解 . 29 典方法求解热传导方程 . 30 经典方法求解热传导方程 . 35 用李群方法求解 程 . 38 程的经典李群方法求解 . 38 程的非经典李群方法求解 . 40 用李群方法求解 程 . 41 典李群方法求解 . 42 经典方法求解一般形式的 程 . 45 用李群方法求解 程 . 47 典李群方法求解 程 . 47 论 . 49 第 4 章 总结与展望 . 53 文主要结论 . 53 一步研究工作展望 . 54 致 谢 . 55 攻读硕士期间发表论文情况 . 56 作者 简介 . 57 后 记 . 58 第 1 章 绪 论 1 第 1章 绪 论 言 随着常规能源的日渐耗竭，能源危机和环境污染问题日益凸现。针对此问题，各国都纷纷开展和高度重视替代能源和可再生能源的研究和开发，其研究范围已扩展到太阳能、风能、 生物能 、海洋能（波浪能，海流能，潮汐能，温差能，盐差能）、 地热能 、天然气水合物 和核能等众多方面。我国地域辽阔，具有丰 富的替代能源和可再生能源，加大替代能源和可再生能源资源的开发力度，将逐步改善我国以煤和石油为主的能源供应与消费结构，保障我国的能源安全，促进常规能源资源更加合理和有效的利用，实现能源、经济与环境的协调和可持续发展 1。 同时 随着陆地资源的枯竭，人们将目光 逐渐 转向蕴藏着丰富资源的海洋。海洋能就是 一种 可以 利用海洋资源， 海洋能 是 指依附在海水中的可再生能源，海洋通过各种物理过程 或化学过程 接收、储存和散发能量，这些能量以波浪、海流、潮汐、温差、盐 差 等形式存在于海洋之中。 鉴于能量转换效率及环境影响，波浪能和海流能更具 有开发潜力 2。 波浪 能作为一种清洁的可再生能源，长期以来，世界各国投入了大量的人力和财力对其进行研究。在二十世纪七十年代以前，波浪能利用研究的活动主要是波能转换装置的发明，八十年代以后，研究进入了以实用化、商品化为目标的应用示范阶段，较早提出的某些影响很大的装置，如鸭式 3、筏式 4装置研究进展缓慢，而振荡水柱 (波能系统成为主攻方向。从 1984 年以来建成的大部分装置都是振荡水柱式波能装置，如挪威 500式波能装置 5，英国的 75式波能装置 6，英国 500式波能装置 7，葡萄牙 500式波能装置 8，欧共体的 9，日本的 漂浮式波能装置 10，印度 150箱式波能装置 11，中国 320式振荡水柱波力电站 12,13以及 100式振荡水柱波力电站 14。 水动力学和 波浪理论的基础研究 是 波浪 能利用的基础 之一 ， 自上世纪 80年代以来此领域的研究非常活跃 15,16。但是 就现在的波浪理论而言，因为在控李群方法 在求解几类偏微分方程中的应用 2 制方程中存在一个非线性的运动学边界条件而使得问题 变得 复杂，一般采用数值模拟 方法 ， 对于数值计算的结果 一般都需要 进行物理实验验证，而问题的关键所在 就是 开边界条件 ， 而数值求解又要求这个边界是确定的，所以在 波浪理论 中 出现 了 许多问题 。 如果能在以上理论中寻找一种精确解，必将大大提高波浪理论的基础研究水平，其结果应用到工程实际必将影响到波浪能的利用和开发 在理论研究方面的突破，针对偏微分方程的求解首当其冲。 线性偏微分方程求解常用的几种数值方法 偏微分方程是一门兼具有理论性和应用性的学科，是当今世界上解决物理世界中出现的各种问题重要的一门学科 。 美国科学院院士 为 17： “微分方程是所有物理科学及其相应技术的 基础。因此，毫不奇怪，微分方程对确保国家经济地位的技术基础十分重要 ”。 然而对于偏微分方程的求解，目前还没有十分有效的通用求解方法。 对于 非线性科学中出现的各种非线性偏微分方程 的求解方法目前大多分两类：一是解析方法 1822如分离变量法，积分变换法；二是数值方法 2326如有限差分法 (有限元法 (边界元法 (有限体积法 (。 在 波浪理论 中 ， 描述流体运动的方程在一般情况下属于非线性守恒方程组，不能用解析方法求解，目前数值方法已经成为流体力学中不可或缺的工具 27。 但对于不同问题，数值方法遇到各式各样的困难和限制，它的局限性也日益暴露出来，如方法自身的限制，非线性边界条件的处理，无穷远处边界条件的给定，还有动边界，计算域，计算精度等问题。 下面我们分别介绍一下这几种数值方法： 限差分法 28 有限差分法属于求解偏微分方程最经典和最流行的方法，之后发展的一系列特殊方法，如有限元法、谱方法、准谱方法等，都只是对空间离散的一种不同于有限差分的特殊处理，还有基于将方程写成特殊形式的特殊方法，其针对的是特殊用途，也没有有限差分法那样能普遍应用。构造有限差分法的基本思路第 1 章 绪 论 3 是将计算空 间划分为线段、四边形、六面体等网格单元，然后以 数展开等方法，对控制方程中的每项导数构造差分，并用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。求出代数方程组的解，就作为微分方程定解问题的数值近似解。它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法，并且其概念、计算格式和程序简单，收敛性也较好。 限元法 29,30 有限元法是对连续力学和物理问题的一种数值求解方法，是把无法用理论方法精确求解的复杂 问题，通过一定的方法转换为可计算的有限单元结构体系，并依靠计算机对原问题进行近似求解的一种工程计算方法。它的基本思路是将求解域看成若干个有限元的小子域 (单元 )构成，对于每一个单元假设一个较简单的近似解，然后推导求解该域应满足的条件，进而得到问题的近似解。通过对单元划分进行控制，可以在要求的精度范围内逼近原问题的真解。有限元法的实质就是分段（分片、分块）逼近，将整个求解域划分为有限个求解子区域，构造分区的插值函数以逼近真解。其最大的优点是具有广泛的适应性，特别适用于几何、物理条件比较复杂的问题，而且便于程序的 标准化，能把复杂问题简单化，把无限问题有限化，这对于解决许多难以求得精确解的实际问题的求解非常有效。有限元法的求解不仅计算精度高，而且能适应各种复杂问题，因而已成为工程领域的有效分析手段之一。 界元法 31,32 边界元法是一种继 有限元法 之后发展起来的一种新数值方法 ， 与有限元法在连续体域内划分单元的基本 思想 不同 ， 边界元法是在定义域的边界上划分单元 ，用满足 控制方程 的函数去逼近边界条件 。 所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少 ， 数据准备简单等优点 。边界元法在工程问题的数值计算上，具有以下主要优点： 分离散仅在边界上进行，从而大大简化数值计算的前处理工作； 2. 作为一种半解析的数值计算法，场域内各点的数值解是通过解析式来计算的，从而减小了由于场域剖分离散所带来李群方法 在求解几类偏微分方程中的应用 4 的误差； 格剖分越密、节点数越 多，计算精度越高。 边界元法的不足之处是在靠近边界处存在奇异解的问题和数值计算线性代数方程组的系数矩阵为非对称满阵。 限体积法 33 有限体积法（ 称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知 解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积 法 的基本方法。 就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制 体积的积分，得出离散方程之后，便 可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不同 的 项采取不同的插值函数。 上述四种数值计算方法是流体力学中常用到的主要方法，除此之外，还有其他数值求解方法如谱方法 34,35，加权参数法 36,37，辛算法 38等。 值方法求解存在的困难 尽管数值计算方法是研究偏微分方程的一种有效手段。但对不同的问题，数值方法可能遇到各种各样的困难或限制。以海洋中波浪变形和波浪与结构物相互作用问题为例，有如下几个方面的问题制约着数值方法的有效实现： （ 1）非线性自由面边界条件的处理 非线性自由面边界条件的处理 是模拟非线性波浪问题的难点之一，目前在第 1 章 绪 论 5 数值方法中的做法是线性化处理，将非线性项化成线性项，并运用迭代法。实践证明，这种处理方法是有效的，但会使计算效率大为下降。 2无穷远处开边界条件的给定 对于无穷域的波浪作用或波浪与结构物相互作用问题，利用数值方法需要给定无穷远处开边界条件。对于线性波浪问题，数学上已经导出了辐射开边界条件，而对非线性波浪，迄今还没有提出合适的开边界条件。理论上数值方法不能求解该问题，目前的做法都是近似的，从数学上说，这样求解的将不是原问题，而是原问题的近似，因此不可避免地带来误差。 （ 3）动边界问题 在研究非线性波浪问题时，自由面边界和物面边界都是预先未知的动边界，而采用数值方法求解时要求计算域的边界是已知的。为了使数值计算能够顺利进行，目前的做法是将计算时段取得足够小，利用前一时刻得到的边界来近似作为本时刻的边界，这样做在每一时刻都不可避免地带来误差，如果误差不被放大，则计算结果是可以接受的，否则得到的结果 将因为误差越来越大而 失去意义 。 （ 4）计算域问题 大区域或无穷域波浪问题的求解，也是数值方法遇到的困难之一。由于区域大，将需要布置大量的计算单元和节点，从而使形成的代数方程组的系数 矩阵是一个庞大的稠密或稀疏矩阵，导致该类问题无法求解或是计算效率极其低下。 （ 5）计算精度问题 所有的数值方法都是近似的，因而得到的结果都是原问题的近似结果，这种近似结果在大多数情况下是可以接受的，但对某些特殊问题，如刚性方程，则可能得到的结果是错误的。 （ 6）各种数值方法的自身限制 除了上面的问题外，所有的数值方法都有其自身限制。如有限差分法和有限体积法，需要构造相容性和稳定性好的差分格式，否则可能导致计算无法进行或者计算精度很低，此外有限差分法对不规则的几何区域问题也遇到困难，只能对不规则区域进行近似； 边界元方法至少需要导出原控制方程的格林函数，在某些情况下还可能需要得到满足控制方程和若干边界条件的格林函数，但对某些问题可能很难导出格林函数，如 程。该方法最适合于求解椭圆型的李群方法 在求解几类偏微分方程中的应用 6 边值问题，对另外一些问题，可能不及有限差分或者有限元法优越；有限元方法需要导出与原问题等价的积分方程，是利用该方法的难点之一。 高效利用海洋能首先必须解决非线性水波力学的计算问题，但该问题目前因其具有非线性边界，求解域无穷大，运动随机等难点，而成为计算数学目前尚未解决的难题之一。 李群 39作为一种数学工具，不少国内 外学者纷纷用它来研究偏微分方程或常微分方程的求解。它对非线性偏微分方程非常有效，且具有解法与现有的数值解法不同，求解区域大小并不增加其难度等优点。 群简介 4044 李群是数学中应用极其广泛的一个重要分支，李群与微分方程的联系由来已久。 19 世纪末，李群的奠基人挪威数学家 是在研究微分方程的对称性（即在变换下的不变性）的过程中，建立了连续群理论，后人称之为李群。如果一个连续群把一组微分方程的一个解变换为另一个解，这就是连续对称群。李群诞生后，对数学、物理、力学、工程及其它以数学为 基础的学科产生了深刻的影响，尤其在工程和应用科学的偏微分方程研究中有很重要的应用。随后 5, 6, 7, 8, 9分别进一步发展了李群，使其成为一个完整的理论体系， 0, 1，2， Na 3扩展了李群理论，给出了用李群求解偏微分方程的相似变换理论。近年来， 论引起许多人的关注，人们 已经开始用它求解非线性方程以及加入部分边界条件的问题。 20 世纪 80 年代以来，随着非线性偏微分方程研究的需要，通过微分方程的不变性来研究非线性偏微分方程的性质，特别是求方程的精确解已吸引了越来越多的人的关注，在非线性微分方程的研究领域特别活跃。 群在偏微分方程中 的 应用 5456 李群方法的早期应用是在求解常微分方程中，对于一个常微分方程系统，如果知道了它的足够大的对称群，则可通过积分来求出它的通解，具体的说，第 1 章 绪 论 7 如果知道了一个微分方程的一个单参数对称群，一阶的方程就可以通过积分求解，高阶的方程则可以降阶 用李群求解偏微分方程的基本思想是：通过群变换，找到不变量（其实质是群变换导致的自变量之间，或自变量与因变量之间的一种约束），再将不变量作为新变量，将原偏微分方程转换成新变量下的降维方程（原偏微分方程在单参数群或 s 参数群的作用下会降 1 维或 s 维）。对降维方程求解后将结果还原成原来的变量而得到原偏微分方程的解。但是有时求解降维方程比求解原方程还要困难，所以在实际求解中，往往只能得到某些特殊的解。 偏微分方程求 解的常用的一种方法是在求方程的某些类型的解时，可将问题转化为求解常微分方程，即当求方程的一个对称群的不变解时，方程可约化为常微分方程，具体约化时，不需要找到坐标变换，只需要找到群的不变量，而寻找群的不变量不一定要知道群本身，只需要找到群的生成元就行了，当方程的自变量的个数多于两个时，方程虽不能化为常微分方程，但方程的自变量个数将减少一个。 利用群的不变性来寻求常微分方程和偏微分方程的解的关键在于利用延拓理论将微分方程的问题转化为代数方程的问题。如何 求 微分方程的 对称 群与生成元以及求群不变 量，并由此得到降维系统 ，使 求解 变得简明且易于应用就显得特别重要了，这就是微分方程的对称研究课题。 用于水动力学的计算，近年来， 论引起许多人的关注，在非线性微分方程的研究领域尤为活跃。相信随着计算机计算能力的快速发展与提高、计算机算法的改进、计算机符号语言的使用， 论的应用将越来越广泛。 算机代数系统 57 计算机从单纯计算到文字处理、图形变换与知识表示，正在改变着我们的工作方式和生活方式。科学计算分数值计算和符号计算，数值计算处理的数据和处理后的结果都是数值，它是近似计算；符号计算所处理的数据和处理后的结果都 是具有含义的抽象符号，它是精确计算。实际上，符号计算就是借助计算机来完成数学演算、数学推理和数学证明。计算机代数系统是根据计算机代数原理编写的程序系统。今天，计算机代数系统已经得到了广泛的应用。目前，李群方法 在求解几类偏微分方程中的应用 8 世界上著名的计算机代数系统有： ，这些计算机代数系统提供了一些基本运算功能，如化简、微分、积分、因式分解等。 目前最优秀的科学计算软件包之一，它的数值计算、符号计算、图形处理以及各种程序包为科研、教学和解决各个领域的实际问题提供了新的思路 和强有力的分析计算手段。本文第三章的工作都是基于 论文的安排 本文 以 李群理论的基础 为始 详细介绍了几类李群对称方法，之后以一科学计算软件为平台，通过对 热传导 方程的经典对称和非经典对称方法的推导，演示其推导方法和结果。通过对其特征方程的常数赋予特殊值， 求解 获得群不变量，再带回原方程实现降维约化并求解，从而获得 热传导 方程的解，然后对 程， 程， 程不同方法求解来获得其更丰富的解。 本文的大致安排是： 本章主要介绍 了波浪能利用的基础水动力学 数值 计算中遇到的偏微分方程求解方面的问题，及目前常用的求解方法， 并指出目前数值求解方法在求解过程中碰到的难题，及自身的缺陷和局限性，之后 简单介绍了李群的 起源 和 应用李群求解 偏微分方程 思路 及其应用现状 ； 第 2 章详细介绍了基于李群求解偏微分方程的理论基础， 介绍了群理论，子群概念，及延拓理论，经典李群方法，非经典李群方法，势对称方法，广义对称方法， 为本文 第三章的求解提供理论基础 。 第 3 章 以科学计算软件 平台，通过对 热传导 方程的经典 李群 方法和非经典李群方法的演示推导 求解 ，然后对 程， 程四类 偏微分方程 ，运用不同对称方法求解，来获得其更丰富的解。 第 4 章对本文工作进行总结，并提出了进一步存在的问题，为下一步工作提供设想和展望。 第 1 章 绪 论 9 参考文献 ： 1 李登伟等，中国 21世纪可替代能源和可再生能源，天然气工业， 200