带电粒子在电、磁场中的运动计算题

带电粒子在电、磁场中的运动 90道计算题详解 1在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小为q的质点a，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x= -2h处的P2点进入第象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上方y= -2h的P3点进入第象限，试求：质点到达P2点时速度的大小和方向；第象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小；质点a进入第象限且速度减为零时的位置坐标解（2分）如图所示。（1）质点在第象限中做平抛运动，设初速度为v0，由 （2分）2h=v0t （2分）解得平抛的初速度 （1分）在P2点，速度v的竖直分量 （1分）所以，v=2，其方向与轴负向夹角 =45 （1分）（2）带电粒子进入第象限做匀速圆周运动，必有 mg=qE （2分） 又恰能过负y轴2h处，故为圆的直径，转动半径R= （1分）又由 （2分）可解得E =mg/q （1分）； B = （2分）（3）带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45角进入第象限，所受电场力与重力的合力为，方向与过P3点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则： （2分）； 由（2分） 由此得出速度减为0时的位置坐标是（1分）2如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向在x轴上空间第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的均强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x= -2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动之后经过y轴上y= 2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g求： （1）粒子到达P2点时速度的大小和方向； （2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小； （3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。分析和解： （1）参见图,带电质点从P1到P2，由平抛运动规律 （2分）； v0=2h/t（1分）vy=gt（1分） 求出（2分）方向与x轴负方向成45角（1分） （2）质点从P2到P3，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力Eq=mg（1分）；（2分）（2分）；由解得（2分）联立式得（2分） （3）质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动. 当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v在水平方向的分量vmin=vcos45=（2分）方向沿x轴正方向2分）3如图所示，在xoy平面的第一、第三和第四象限内存在着方向竖直向上的大小相同的匀强电场，在第一和第四象限内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个质量为m，电量为+q的带电质点，在第三象限中以沿x轴正方向的速度v做匀速直线运动，第一次经过y轴上的M点，M点距坐标原点O的距离为L；然后在第四象限和第一象限的电磁场中做匀速圆周运动，质点第一次经过x轴上的N点距坐标原点O的距离为。已知重力加速度为g，求：匀强电场的电场强度E的大小。匀强磁场的磁感应强度B的大小。质点第二次经过x轴的位置距坐标原点的距离d的大小。解：带电质点在第三象限中做匀速直线运动，电场力与重力平衡，则：qE=mg 得：E=mg/q设质点做匀速圆周运动的半径为R，则： 解得：R=2L由； 得：联立解得：质点在第二象限做平抛运动后第二次经过x轴，设下落的高度为h，则：由平抛运动的规律有：； 解得：4(20分)如图所示，在xOy坐标系的第象限内，x轴和平行x轴的虚线之间(包括x轴和虚线)有磁感应强度大小为B1=2102T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，虚线过y轴上的P点，OP=1.0m，在xO的区域内有磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场。许多质量m=1.61025kg、电荷量q=+1.61018C的粒子，以相同的速率v=2105m/s从C点沿纸面内的各个方向射人磁感应强度为B1的区域，OC=0.5 m有一部分粒子只在磁感应强度为B1的区域运动，有一部分粒子在磁感应强度为B1的区域运动之后将进入磁感应强度为B2的区域。设粒子在B1区域运动的最短时间为t1，这部分粒子进入磁感应强度为B2的区域后在B2区域的运动时间为t2，已知t2=4t1。不计粒子重力求：(1)粒子在磁感应强度为B1的区域运动的最长时问t0=?(2)磁感应强度B2的大小?分析与解：（1）设粒子在磁感应强度为B1的区域做匀速圆周运动的半径为r，周期为T1，则r =r=mv/qB1 （1分）,r = 1.0 m （1分）；T1 =2 m /qB1 （1分）由题意可知，OP = r，所以粒子沿垂直x轴的方向进入时，在B1区域运动的时间最长为半个周期，即t0 =T1/ 2 （2分），解得t0 = 1.57105 s （2分）（2）粒子沿+x轴的方向进入时，在磁感应强度为B1的区域运动的时间最短，这些粒子在B1和B2中运动的轨迹如图所示，在B1中做圆周运动的圆心是O1，O1点在虚线上，与y轴的交点是A，在B2中做圆周运动的圆心是O2，与y轴的交点是D，O1、A、O2在一条直线上。由于OC =r （1分）；所以AO1C = 302分）则t1=T1/12 （2分）设粒子在B2区域做匀速圆周运动的周期为T2，则T2 = （1分）由于PAO1 =OAO2 =ODO2 = 30（1分）所以AO2D = 120（2分）则t2 = （2分），由t2 = 4 t1 ，解得B2 = 2B1 （1分）B2 = 4102 （1分）5如图所示，在xoy坐标平面的第一象限内有一沿y轴正方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向外的匀强磁场现有一质量为m，电荷量为q的负粒子（重力不计）从坐标原点o射入磁场，其入射方向与y轴负方向成45角当粒子运动到电场中坐标为（3L，L）的P点处时速度大小为v0，方向与x轴正方向相同求： （1）粒子从O点射人磁场时的速度v （2）匀强电场的场强E（3）粒子从O点运动到P点所用的时间解： （1）v=v0/cos45=v0（2）因为v与x轴夹角为45，由动能定理得： , 解得E =mv02/2qL（3）粒子在电场中运动L =，a =qE/m 解得：t2=2L/v0粒子在磁场中的运动轨迹为l/4圆周，所以 R =( 3L2L)/ = L/2 粒子在磁场中的运动时间为：t1= 粒子从O运动到P所用时闯为：t=t1+t2=L(+8)/4vo6如图所示，x轴上方存在磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外（图中未画出）。x轴下方存在匀强电场，场强大小为E，方向沿与x轴负方向成60角斜向下。一个质量为m，带电量为e的质子以速度v0从O点沿y轴正方向射入匀强磁场区域。质子飞出磁场区域后，从b点处穿过x轴进入匀强电场中，速度方向与x轴正方向成30，之后通过了b点正下方的c点。不计质子的重力。（1）画出质子运动的轨迹，并求出圆形匀强磁场区域的最小半径和最小面积；（2）求出O点到c点的距离。【解析】（1）质子先在匀强磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动，最后进入匀强电场做类平抛运动，轨迹如图所示.根据牛顿第二定律，有ev0B = （2分）要使磁场的区域面积最小，则Oa为磁场区域的直径，由几何关系可知： r =Rcos30（4分）求出圆形匀强磁场区域的最小半径（2分）圆形匀强磁场区域的最小面积为（1分）（2）质子进入电场后，做类平抛运动，垂直电场方向： s sin30=v0t（3分）平行电场方向：scos30=a t2 / 2，（3分）由牛顿第二定律eE=ma，（2分）解得：。O点到c点的距离： 7如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场一个质量m=4105kg，电量q=2.5105C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点取g10 m/s2，求：（1）带电微粒运动的速度大小及其跟 x轴正方向的夹角方向（2）带电微粒由原点O运动到P点的时间解答微粒运动到O点之前要受到重力、电场力和洛仑兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零由此可得 （2分）电场力 （2分）洛仑兹力 （2分）联立求解、代入数据得v=10m/s （2分）微粒运动的速度与重力和电场力的合力垂直,设该合力与y轴负方向的夹角为, 则: （2分）；代入数据得tan= 3/4 , = 37 带电微粒运动的速度与 x轴正方向的夹角为 = 37（2分）微粒运动到O点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2，则因为s1=v t 联立求解，代入数据可得: O点到P点运动时间 t12 s 8（20分）如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角为30，且斜向上方，现有一质量为m电量为q的质子，以速度为v0由原点沿与x轴负方向的夹角为30的方向射入第二象限的磁场，不计质子的重力，磁场和电场的区域足够大，求：（1）质子从原点到第一次穿越x轴所用的时间。（2）质子第一次穿越x轴穿越点与原点的距离。（3）质子第二次穿越x轴时的速度的大小、速度方向与电场方向的夹角。（用反三角函数表示）解：（1）由题意可知，t=T/6T= 2m/qB =m/3qB；qv0B=m 易知AOB为等边三角形第一次穿越x轴，穿越点与原点距离x=r=mv0/qBA时速度方向与x轴夹30角方向与电场方向垂直，在电场中类平抛：v0 = at由几何关系知： v=at=第一次穿越x轴的速度大小v=与电场方向夹角=arcsinarc 式各2分9（22分）如图所示，在地球表面附近有一范围足够大的互相垂直的匀强电场和匀强磁场。磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向里。一质量为m、带电荷量为+q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动。（该区域的重力加速度为g）（1）求该区域内电场强度的大小和方向。（2）若某一时刻微粒运动到场中距地面高度为H的A点，速度与水平向成45，如图所示。则该微粒至少需经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？（3）在（2）间中微粒又运动A点时，突然撤去磁场，同时电场强度大小不变，方向变为水平向左，则该微粒运动中距地面的最大高度是多少？解（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场与重力应平衡，因此mg = Eq （2分）解得： （2分）方向：竖直向上（2分）（2）该微粒做匀速圆周运动，轨道半径为R，如图qBv = m（2分）最高点与地面的距离为：Hm = H + R ( 1 + cos 45) （2分）解得：Hm = H + （2分）该微粒运动周期为：T =（2分）运动到最高点所用时间为：（2分）（3）设该粒上升高度为h，由动能定理得：（2分）解得：（2分）；该微粒离地面最大高度为：H +（2分）10(20分)在倾角为30的光滑斜面上有相距40m的两个可看作质点的小物体P和Q，质量分别100g和500g，其中P不带电，Q带电。整个装置处在正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度的大小为50V/m，方向竖直向下；磁感应强度的大小为5(T)，方向垂直纸面向里。开始时，将小物体P无初速释放，当P运动至Q处时，与静止在该处的小物体Q相碰，碰撞中两物体的电荷量保持不变。碰撞后，两物体能够再次相遇。其中斜面无限长，g取10m/s2。求：（1）试分析物体Q的带电性质及电荷量；（2）物体P、Q第一次碰撞后，物体Q可能的运动情况，此运动是否为周期性运动？若是，物体Q的运动周期为多大？（3）物体P、Q第一次碰撞过程中由物体P和Q组成的系统损失的机械能。解：（20分）（1）对物体Q，在碰撞之前处于静止状态，由平衡条件有m2g =qE 得q =0.1C，且物体Q带负电（2）物体P、Q碰撞之后，物体Q受重力、电场力、洛伦兹力的作用，由于重力和电场力等大反向，故物体Q将在斜面上方做匀速圆周运动.对物体Q，匀速圆周运动的周期：（3）要使P、Q能够再次相遇，则相遇点一定为P、Q的第一次碰撞点,物体P在碰撞后一定反向弹回，再次回到碰撞点时再次相遇。对物体P，从释放到与Q碰撞之前，由运动学公式有： v0=2gsims 得v0=20m/s 对物体P和Q，在碰撞过程中，动量守恒有 碰撞过程中，系统损失的能量为 对物体P，时间关系： ()当k=1时，v1=5m/s，v2=5m/s，E=12.5J当k=2时，v1=10m/s，v2=6m/s，E=6J当k=3时，v1=15m/s，v2=7m/s，系统总动能增加，不满足能量守恒定律。综上所述，碰撞过程中由物体P和Q组成的系统损失的机械能可能为12.5J或6J.11（18分）如图所示，直角坐标中的第象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴上的a点以速度v0与x轴成60度角射入磁场，从y = L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x = 2L处的c点。不计重力。求（1）磁感应强度B的大小；（2）电场强度E的大小；（3）粒子在磁场和电场中的运动时间之比。解（1）带电粒子在磁场运动由轨迹可知：r =2L/3 （2分） 又因为qv0B =（2分） 解得：B =（2分）（2）带电粒子在电场中运动时，沿x轴有：2L = v0t2（1分） 沿y轴有：L =（1分） 又因为qE = ma（2分） 解得：E =（2分）（3）带电粒子在磁场中运动时间为t =（2分） 带电粒子在电场中运动时间为：t2 =2L/v0（2分）所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为：t1/t2 = 2/9（2分）12（18分）如图所示，在y0的区域内有沿y轴正方向的匀强电场，在y 0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y 0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y = h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x = 2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y = 2h处的P3点不计粒子的重力，求 （1）电场强度的大小； （2）粒子到达P2时速度的大小和方向； （3）磁感应强度的大小解：（1）粒子在电场、磁场中的运动轨迹如图所示设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有：qE = ma v0t = 2h at2 /2= h由式解得E =mv/2qh （2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，表示速度和x轴的夹角，则有v= 2ahv =；tan=v1 /v0；由式得v1 = v0由式得v =v0；= arctan 1 = 45 （3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律qvB = r是圆轨迹的半径，此圆轨迹与x轴和y轴的交点分别为P2、P3；因为OP2 = OP3，= 45，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得r =h 由可得B =mv0/qh21如图所示，在x轴上方有磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场X轴下方有磁感应强度大小为B/2，方向垂直纸面向外的匀强磁场一质量为m、电量为 q的带电粒子（不计重力），从x轴上的O点以速度v0垂直x轴向上射出求： （1）射出之后经多长时间粒子第二次到达x轴，粒子第二次到达x轴时离O点的距离是多少？ （2）若粒子能经过在x轴距O点为L的某点，试求粒子到该点所用的时间（用L与v0表达）答案：（1）粒子的运动轨迹示意图如图6 15所示由牛顿第二定律：qv0B = 得r1 = r2 =由T =得：T1 = T2 =粒子第二次到达x轴所需时间：t =(T1 + T2) =粒子第二次到达x轴时离O点的距离：s = 2(r1 + r2) = （2）设粒子第N次经过在x轴的点距O点为L，不论N为偶数还是奇数粒子走过的弧长均为所以22如图所示，MN为纸面内竖直虚线，P、Q是纸面内水平方向上的两点，两点距离PD为L，D点距离虚线的距离DQ为L/一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子在纸面内从P点开始以水平初速度v0向右运动，经过一段时间后在虚线MN左侧空间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，磁场维持一段时间后撤除，随后粒子再次通过D点且速度方向竖直向下，已知虚线足够长，MN左侧空间磁场分布足够大，粒子的重力不计求 （1）在加上磁场前粒子运动的时间； （2）满足题设条件的磁感应强度B的最小值及B最小时磁场维持的时间t0答案：（1）微粒从P点开始运动至第二次通过D点的运动轨迹如图所示，由图可知，在加上磁场前瞬间微粒在F点（圆和PQ的切点）在t时间内微粒从P点匀速运动到F点，则t =PF/v0，由几何关系可右PF = L + R又R =mv0/qB，可得t = （2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，由半径公式知，当R最大时，B最小，在微粒不飞出磁场的情况下，R最大值为Rm = DQ/2，即Rm = L /(2)，可得B的最小值为Bmin =2mv0 /qL微粒在磁场中做匀速圆周运动，故有t0 = (n +) T (n = 0，1，2，3，)又由 T=2m/qBmin 可得 t0 = (n = 0，1，2，3，) 23如图6 18所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图已知两个带电小球A和B的质量关系为mA = 3mB，轨道半径为RA = 3RB = 9 cm （1）试说明小球A和B带什么电，它们所带的电荷量之比qA/qB 等于多少？ （2）指出小球A和B在绕行方向及速率之比； （3）设带电小球A和B在图示位置P处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球B恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球A碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）答案：（1）因为两带电小球都在复合场中做匀速圆周运动，故必有qE = mg，由电场方可知，两小球都带负电荷mAg = qAE，mA = 3mB所以 （2）由题意可知，两带电小球的绕行方向都为逆时针方向由qBv = m得，R =又由题意RA = 3RB，所以 （3）由于两带电小球在P处相碰，切向的合外力为零，故两带电小球在P处的切向动量守恒，由mAvA + mB vB = mA vA+ mBvB 得，vA =7vB/3= 7vA/9 由此得, 所以RA = 7 cm24如图6 19所示，一对平行金属板水平放置，板间距离在d，板间有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，将金属板连入如图所示的电路，已知电源的内电阻为r，滑动变阻器的总电阻为R，现将开关S闭合，并调节滑动触头P至右端长度为总长度的1/4一质量为m、电荷量为q的带电质点从两板正中央左端以某一初速度水平飞入场区时，恰好做匀速圆周运动 （1）求电源的电动势； （2）若将滑动变阻器的滑动触头P调到R的正中间位置，可以使原带电质点以水平直线从两板间穿过，求该质点进入磁场的初速度； （3）若将滑动变阻器的滑动触头P移到R的最左端，原带电质点恰好能从金属板边缘飞出，求质点飞出时的动能答案：（1）因带电质点做匀速圆周运动，故电场力F与重力G平衡，有F = mg = Eq两板间电场强度E = U/d，两板间电压U = IR/4由闭合电路的欧姆定律得：I =/ (R + r)得= 4 (R + r) dmg/Rq （2）由（1）知，电场力竖直向上，故质点带负电，由左手定则得洛伦兹力竖直向下，由平衡条件得：mg + Bqv0 =F因两板间电压U= IR/2 = 2U，得E= 2E， F= 2F = 2 mg解得v0 = mg / Bq （3）因两板间电压变为U= IR = 4U故电场力F= 4F = 4 mg;由动能定理知.得Ek =25如图所示，直角坐标系xOy中，在x 0的区域存在一垂直纸面的矩形有界匀强磁场，其下边界和左边界分别与Ox、Oy辆重合，磁感应强度的大小为B（图中未画出），现有一质量为m、电量为e的质子从第二象限的某点P以初速度v0 =eBL/6m沿x轴正方向开始运动，以2v0的速度经坐标为（0，L）的Q点再经磁场偏转恰好从坐标原点O沿x轴的负方向返回电场，不计质子的重力求： （1）P点的坐标；（2）矩形磁场的面积解：（1）如图所示，设P点的坐标为(xP，yP)，从P到Q，质子做类平抛运动，设过Q点时的速度与x轴正向的夹角为，则：cos=，所以= 60质子在Q点时在y方向的分速度vOy = 2 v0sin在电场中质子运动的加速度a =eE/m，设质子由P到Q的时间为t，则vOy = at，xP = v0t，yP = L +at2/2，解得：xP =，yP = （2）设所加的最小矩形磁场的高和底长分别为L1、L2，质子在磁场中做圆周运动的半径为r，则：(L r) sin (90) = r所以r =，又L1 = r + rcos，L2 = r，所以Smin = L1L2 =26如图所示的坐标空间中有场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界线，图中虚线为磁场区的右边界，现有一质量为m、带电量为 q的带电粒子（不计重力），从电场中P点以初速度v0沿x轴正方向运动已知P点的坐标为（ L，0），且L =试求： （1）要使带电粒子能穿过磁场区而不再返回到电场中，磁场的宽度d应满足什么条件？ （2）要使带电粒子恰好不能从右边界穿出磁场区，则带电粒子在磁场中运动的时间为多少？答案：（1）研究带电粒子在电场中的运动：水平方向： L= v0t1，解得：t1 =竖直方向，由动量定量得：Eqt1 = mvy，解得：vy = v0所以粒子进入磁场时的速度：v =，方向与x轴成45角研究带电粒子在磁场中的运动：当粒子刚好不从磁场右边界穿出时，其运动轨迹如图所示，由牛顿第二定律得：Bqv = m，得R =mv/qB又d = R + Rcos 45 解得：d =所以，要使带电粒子能穿过磁场区域而不再返回电场中，磁场的宽度d应满足的条件为：d h区域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO作直线运动（PO与x轴负方向的夹角为=37O），并从原点O进入第一象限已知重力加速度为g，sin37o=0.6，cos37o=0.8，问：(1)油滴的电性;(2)油滴在P点得到的初速度大小;(3) 油滴在第一象限运动的时间和离开第一象限处的坐标值解答：(1)油滴带负电. (2)油滴受三个力作用(见右图)，从到沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m： 由平衡条件有qvBsin37=qE mgtan37=qE 综合前两式，得 v=5E/3B 、m=4qE/3g(3)进入