第八章假设检验

第八章假设检验 假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某些参数做出某种假设 然后通过抽取样本 构造适当的统计量 对假设的正确性进行判断的过程 前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下 如何根据样本去得到参数的优良估计 但有时 我们并不需要估计某个参数的具体值而只需验证它是否满足某个条件 这就是统计假设检验问题 假设检验 参数假设检验 非参数假设检验 这类问题称作假设检验问题 总体分布已知 检验关于未知参数的某个假设 总体分布未知时的假设检验问题 在本章中 我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题 这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确 让我们先看一个例子 这一讲我们讨论对参数的假设检验 例 某工厂生产10欧姆的电阻 根据以往生产的电阻实际情况 可以认为其电阻值X N 2 标准差 0 1 现在随机抽取10个电阻 测得它们的电阻值为 9 9 10 1 10 2 9 7 9 9 9 9 10 10 5 10 1 10 2 试问 从这些样本 我们能否认为该厂生产的电阻的平均值 为10欧姆 确定总体 记X为该厂生产的电阻的测量值 根据假设 X N 2 这里 0 1 明确任务 通过样本推断X的均值 是否等于10欧姆 假设 上面的任务就是要通过样本去检验 X的均值 10 这样一个假设是否成立 在数理统计中把 X的均值 10 这样一个待检验的假设记作 H0 10 称为 原假设 或 零假设 问题怎么建立 原假设的对立面是 X的均值 10 记作 H1 10 称为 对立假设 或 备择假设 把它们合写在一起就是 H0 10H1 10 解决问题的思路分析 样本均值是 的一个良好估计 如果 10 即原假设成立时 那么 这里的问题是 我们如何确定常数K呢 合理的思路是找出一个界限K 细致的分析 n 10 0 1 于是 当原假设H0 10成立时 有 为确定常数K 现在我们考虑一个相当小的正数 理由下面讲 例如 0 05 于是 当原假设H0 10成立时 有 我们就拒绝原假设H0 10 我们就接受原假设H0 10 现在我们就得到检验准则如下 下面我们指出这很符合人们的逻辑 实际上这种思维也叫 带概率性质的反证法 带概率性质的反证法的逻辑是 如果假设H0是正确的话 出现一个概率很小的事件 则以很大的把握否定假设H0 通常的反证法设定一个假设以后 如果出现的事实与之矛盾 即如果这个假设是正确的话 出现一个概率等于0的事件 则绝对地否定假设 为了判断用简便方法测得的有害气体含量是否有系统偏差 提出两个相互对立的假设 定义 任何一个关于总体分布的假设称为统计假设 简称假设 若总体的分布类型已知 只要对一个或几个未知参数作出假设 就可以完全确定总体的分布 定义 只涉及到总体分布的未知参数的统计假设称为参数假设 在实际问题中 我们有时不知总体分布的类型 需要对未知分布函数或者它的某些特征提出假设 定义 对总体的未知分布函数或者它的某些特征提出的统计假设 称为非参数假设 1假设检验的概念与步骤 检验法则的建立原则上依赖于小概率事件 其思想是先假设H0是正确的 在H0正确的假设下构造一个事件A 使A在H0正确的条件下发生的概率很小 即P A H0 很小 而一般认为 一个概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生的 进行一次试验 若A竟然发生 则H0的正确性值得怀疑 因而决定拒绝原假设H0 1 1假设检验的基本思想 统计假设检验问题的一般提法是 在给定备择假设H1下对原假设H0作出判断 若拒绝原假设H0 则接受备择假设 否则就接受原假设H0 在H0对H1的检验问题中要作出某种判断 必须从样本 X1 X2 Xn 出发制定一个法则 一旦样本观察值 x1 x2 xn 确定 可利用所构造的法则作出判断 拒绝H0还是拒绝H1 这种法则称为H0对H1的一个检验法则 简称为一个检验法则 或一个检验 检验法则本质上就是把样本空间划分为两个互不相交的子集C和C 使得当样本 X1 X2 Xn 的观察值 x1 x2 xn C时 将拒绝原假设H0 若 x1 x2 xn C 则接受原假设 这样的划分构成一个准则 称样本空间的子集C为检验的临界域 或拒绝域 一类错误是 当H0为真时 因为尽管事件 A H0 是小概率事件 但仍有可能发生 即样本观察值 x1 x2 xn C时 按检验法则将拒绝原假设H0 这种错误称为第一类错误 犯第一类错误的概率即为我们选定的小概率事件的概率P A H0 称为犯第一类错误的概率或拒真概率 即 根据检验法则 若A发生则拒绝H0 否则接受H0 这不免要犯二类错误 1 2假设检验中的二类错误 P 拒绝H0 H0为真 P A H0 P x1 x2 xn C H0为真 另一类错误是 当原假设H0不真 即H1为真时 A也有可能不发生 即样本观察值 x1 x2 xn C 按检验法则将接受原假设H0 这种错误称为第二类错误 犯第二类错误的概率P H1 称为犯第二类错误的概率或受伪概率 即 P 接受H0 H1为真 P H1 P x1 x2 xn C H1为真 假设检验的两类错误 P 拒绝H0 H0为真 P 接受H0 H0不真 犯两类错误的概率 显著性水平 为犯第一类错误的概率 我们当然希望独两类错误的概率 与 都很小 但在样本容量n固定时是无法做到的 基于这种情况 且因为人们常常把拒绝H0比错误地接受H0看得更重些 因此人们希望在控制犯第一类错误的概率 的条件下 尽量使犯第二类错误的概率 小 但这也是不容易的 有时甚至是不可能的 于是人们不得不降低要求 只对犯第一类错误的概率 加以限制 而不考虑犯第二错误的概率 在这种原则下 寻找临界域C时只涉及原假设H0 而不涉及备择假设H1 这种统计假设问题称为显著性检验问题 对给定的犯第一类错误的概率 称为显著性水平 1 根据问题的要求建立原假设H0和备择假设H1 1 3假设检验的方法步骤 2 选取一个适当的统计量T X1 X2 Xn 要求T不含任何参数 以便计算H0为真时的条件概率 3 给定显著性水平 求出使P T C H0 的临界域C 4 若样本观察值T x1 x2 xn C 则拒绝原假设H0 否则接受H0 2一个正态总体的假设检验 2 1方差已知时总体均值的双侧假设检验 找临界值u 2示意图 例 设某厂一车间生产的钮扣 其直径据经验服从正态分布N 5 22 为了检验这一车间生产是否正常 现抽取容量n 100的样本 得样本均值为26 56 要求在显著性水平 0 05下检验假设H0 0 26 解 解 需检验假设为 由样本得 因而 在显著性水平 0 05下 应拒绝原假设 即不能认为这批产品的平均抗断强度为32 5 kg cm2 查表得 拒绝域为 2 2方差已知时总体均值的单侧假设检验 于是问题就是检验 H0 0 即新技术或新配方对于提高产品质量无效果 还是H1 0 即新技术或新配方确实有效 提高了产品质量 解决问题的思路 如果 0 即原假设成立时 那么 就不应该太大 反之 如果它过于大 那么想必是原假设不成立 当原假设H0 0成立时 有 求解 拒绝域为 解 建立假设 取统计量 分布未知 但由题设 因而事件 故 在H0真实的前提下 由 可知 因而拒绝域 查正态分布函数表知 由于 解 建立假设 拒绝域应取作 由样本求得 故应拒绝H0 不能接受这批玻璃纸 3方差未知时总体均值的双侧假设检验 找临界值t 2示意图 0 a 2 a 2 ta 2 n 1 ta 2 n 1 解 由观测值得 故样本没有落入拒绝域 应接受H0 即可以认为打包机工作正常 解 建立假设 故此问题的拒绝域为 检验H0 0H1 0 2 方差未知时总体均值的单侧假设检验 当原假设H0 0成立时 有 例 某厂生产一种工业用绳 其质量指标是绳子所承受的最大拉力 假定该指标服从正态分布 原来该厂生产的这种绳子平均最大拉力 0 15公斤 现在采用了一种新的原材料 厂方称这种原材料提高了绳子的质量 也就是说绳子所承受的最大拉力 比15公斤大了 为了检验该厂的结论是否真实 从其新产品中随机抽取50件 测得它们承受的最大拉力的平均值为15 8公斤 样本标准差S 0 5公斤 取显著性水平 0 01 问从这些样本看 我们能否接受厂方的结论 即新原材料是否确实提高了绳子的质量 问题归结为检验如下假设H0 15H1 15 方差 2未知 此处n 50 0 01 标准差S 0 5 解 查不到t0 01 49 利用性质 给定 t n 关于自由度n是单调下降的 我们查t0 01 45 2 41 则t0 01 49 t0 01 45 2 41 我们拒绝原假设 认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力 检验H0 0H1 0 取统计量 但在H0成立的条件下 且有 故 拒绝域为 分布未知 解 提出假设 查表得 故拒绝域为 再根据样本求得 从而有 表 一个正态总体均值的假设检验 显著性水平为 2 5均值已知时的方差的双边假设检验 找临界值示意图 a 2 a 2 2 6均值未知时的方差的双边假设检验 解 需检验的假设为 拒绝域为 现由样本求得 故拒绝H0 即认为这一天纤度的分布不正常 2 7方差的单边假设检验 当H0为真时有 解 建立假设 查表得 拒绝域为 现由样本求得 故可接受原假设 在 0 05水平上认为这批导线的电阻波动合格 表 一个正态总体方差的假设检验 显著性水平为 3两个正态总体的假设检验 3 1方差已知时均值的双侧假设检验 因为 当H0成立时 统计量 从而 对于给定的显著性水平 拒绝域为 解 设第一教学班的数学成绩 第二教学班的数学成绩 建立假设 查正态分布表 求出临界值 接受H0 认为两个教学班的数学成绩无显著差异 3 2方差已知时均值的单侧假设检验 因为 且在H0成立时 所以 因而拒绝域 解 设X为甲方案的关键指标值则 问题可以归结为假设 正态分布表得 由于 因此拒绝H0 接受H1 即认为甲方案的关键指标值比乙方案的关键指标值要高一些 设Y为乙方案的关键指标值则 3 3方差未知时均值的双侧假设检验 解 解 设羊毛品在处理前后其含脂率分别为X与Y 且 检验的假设为 查表得 拒绝域的形式为 计算得 故拒绝H0 认为处理前后含脂率的平均值有显著变化 3 4方差未知时均值的单侧假设检验 以例子说明 解 城市考生平均成绩 农村考生平均成绩 且 建立假设 检验统计量为 查分布表得 由于 故接受H0 表示无充分的证据显示来自城市的中学考生的平均成绩比来自农村的中学考生的平均成绩要高一些 表 两个正态总体均值的假设检