3.1.2导数的概念

3 1 2导数的概念 导数的概念 内容 利用导数的概念求导数 应用 求函数在某处的导数 求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵 掌握求平均变化率的一般步骤 在问题引入 概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法 将有关情境材料提供给学生 学生通过对这些材料进行分析 思考 提炼 探究 获得对平均变化率概念的了解 然后在探究的基础上 组织学生研讨自己在探究中的发现 通过互相交流 补充 研讨 使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 获得一定水平层次的科学概念 针对平均变化率的求法给出3个例题 通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性 在讲述平均变化率的应用时 采用例题与思考与探究相结合的方法 通过3个例题 随后是课堂检测 通过设置难易不同的必做和选做试题 对不同的学生进行因材施教 平均变化率 一般的 函数在区间上的平均变化率为 其几何意义是表示曲线上两点连线 就是曲线的割线 的斜率 复习 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度为h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h 4 9t2 6 5t 10 求 2时的瞬时速度 我们先考察 2附近的情况 任取一个时刻2 是时间改变量 可以是正值 也可以是负值 但不为0 当 0时 在2之前 当 0时 在2之后 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 即 lim 函数的平均变化率怎么表示 lim 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 导数的作用 在问题2中 高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度 在问题1中 我们用的是平均膨胀率 那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知 求函数y f x 在点x0处的导数的基本方法是 求函数的增量 求平均变化率 取极限 得导数 注意 这里的增量不是一般意义上的增量 它可正也可负 自变量的增量 x的形式是多样的 但不论 x选择哪种形式 y也必须选择与之相对应的形式 一差 二商 三极限 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 求函数在某处的导数 例1 1 求函数y 3x2在x 1处的导数 例1 2 求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 例1 3 质点运动规律为s t2 3 求质点在t 3的瞬时速度 1 求函数y x2在x 1处的导数 2 求函数在x 2处的导数 计算第3 h 和第5 h 时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 f 3 1 f 5 3 这说明 在第3小时附近 原油温度大约以1的速率下降 在第5小时附近 原油温度大约以3的速率上升 1 求物体运动的瞬时速度 1 求位移增量 s s t t s t 2 求平