高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选

高三数学立体几何存在性问题及三视图问题习题精选1如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，设PA平面ABCD，ECPA，且PA=2.（1）当CE为多少时，PO平面BED； （2）在（1）情形下，求二面角EPBA的余弦值.：解：以A为原点，直线AD为x轴，AB为y轴，直线AP为z轴建立空间直角坐标系 （1）则P（0，0，2），O（1，1，0），D（2，0，0）ECPA，可设E（2，2，z）则PBD为等腰三角形，POBD，故要使，4分2+2z = 0，z = 1，即OE = 1时，PO平面BED.6分 （2）AD平面PAB，是平面PAB的一个法向量，且设为平面PBE的一个法向量由由 解得：取z = 2，则x =1，y =2， 故二面EPBA的余弦值为2 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点. （）求证：AB1/面BDC1； （）求二面角C1BDC的余弦值； （）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论.（I）证明： 连接B1C，与BC1相交于O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点.又D是AC的中点，OD/AB1.AB1面BDC1，OD面BDC1AB1/面BDC1. （II）解：如力，建立空间直角坐标系，则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0） 设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.二面角C1BDC的余弦值为 （III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1. 则 方程组无解.假设不成立. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 3 如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.（I）求证是定值； （II）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使得异面直线OP与BQ所成的角为90？若存在，请给出证明，并求出AQ的长；若不存在，请说明理由. 解：法一：（I）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，过O且平行于AD的直线为Ox轴.过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示空间直角坐标系1分 设S（0，0，z）（z0，zR） 则 即为定值. （II）由（I）建立的空间直角坐标系可知 A（2，1，0），B（2，3，0）C（2，3，0），S（0，0，3）P（1，）设点Q（x，y，z），则存在使12分法二：（I）证明：在SDC内，作SECD交CD于E，连结OE1分SO平面ABCD SOCD CD平面SOE SOOEOE/AD DE=1从而CE=3即为定值. 4 直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，BC=AC=2，AA1=4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心. （）求证：MNAB； （）若二面角CABD的正切值为，求二半平面ABD、A1B1D所成锐二面角的余弦值； （）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N，试判断C在平面ABD上的射影是否为M？并说明理由.解：（I）以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴建立坐标系. 设C1D=a(0a4)，由题意有 C1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，4），A（2，0，4）B（0，2，4），D（0，0，a）.1分M、N分别为ABD，A1B1D的重心，（注：也可以不用向量证法） （II）平面ABC法向量=（0，0，1），设平面ABD的法向量=（x1，y1，z1），则 设二面角CABD的大小为，则由，解得a=2，（a=6舍去），=（1，1，1）.7分设平面A1B1D的法向量半平面ABD，A1B1D所成锐二面角的余弦值为：.（III）若点C1在平面A1B1D上的射影正好为N，则 解得a=2（a=2 舍去）. D为CC1的中点，根据对称性知C在平面ABD上的射影正好为M.12分5 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且 （I）判断EF与平面PBC的关系，并证明； （II）当=1时，证明DF平面PAC； （III）是否存在实数，使异面直线EF与CD所成角为60？ 若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.（本小题满分12分）解：（I）EF平面PBC. 证明如下作FGBC交CD于G，连结EG，则PCEG 又FGBC，BCPC=C，FGGE=G.平面PBC平面EFG.又EF平面EFGEF平面PBC （II）=1，则F为AB的中点又AB=AD AF=AB在RtFAD与RtACD中 AFD=CAD ACDF 又PA平面ABCD，DF平面ABCD PADF.DF平面PAC （III）建立如图所示空间填角坐标系，设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（，0，0），D（0，1，0），C（，1，0），P（0，0，1）又8分设则即 假设存在实数，使异面直线EF与CD所成的角为60，则存在实数使异面直线EF与CD所成的角为606 如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.20070409 （1）求证：BM平面PAD； （2）平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由； （3）求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值.解：（1）取PD的中点E，连EM、AM， M是PC的中点，EM 又AB AB EM， ABME是平行四边形，BMAE，BM平面PAD. （2）以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M（1，1，1），设则，若MN平面PBD则MNBD，MNPB.，在平面PAD内存在一点、使MN面PBD （3）设平面PBD的法向量为，令,，直线PC与面PBD所成角正弦值为 与三视图有关1（本小题满分12分）直三棱柱A1B1C1ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点。 （1）求点B到平面A1C1CA的距离； （2）求二面角BA1DA的大小； （3）在AC上是否存在一点F，使EF平面A1BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由.20解：（1）由已知得：CA=CB=CC1=2，ACB=90BCAC BC平面A1C1CA点B到平面A1C1CA的距离为2（2）如图建立空间直角坐标系则B（0，2，0）D（0，0，1）A1（2，0，2）设平面A1DB的法向量为则而平面ACC1A1的法向量为二面角BA1DA的大小为（3）存在F为AC的中点，使EF平面A1BD设F（x，0，0），由E（0，1，2）得若EF平面A1BD，则由得x=1F为AC的中点存在F为AC的中点，使EF平面A1BD2（本小题满分12分）一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点。 （）求证：MN平面A1BC；（）求异面直线AM和CA1所成的角；（）求二面角AA1BC的大小.解：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1平面ABC。且ACBC，AC=BC=CC1=a （）连结AC1，AB1，因为BC平面ACC1A1，所以BCAC1。在正方形ACC1A1中，A1CAC1又因为BCA1C=C，所以AC1平面A1BC由矩形性质得，AB1过A1B的中点M，在AB1C1中，由中位线性质得MN/AC1，得MN平面A1BC （）由题意CB，CA，CC1两两垂直，故以C为原点，CB，CA，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，又AC=BC=CC1=a，则B（a，0，0）B1（a，0，a），A（0，a，0），C（0，0，0），C1（0，0，a），A1（0，a，a），则异面直线AM和CA1所成的角为90（）AB中点E的坐标为（为平面AA1B的法向量.又AC1平面A1BC，故为平面A1BC的法向量 设二面角AA1BC为，则由题意可知，12分3 某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点。 （）根据三视图，画出该几何体的直观图； （）在直观图中，证明：PD/面AGC； 证明：面PBDAGC求面PAB与面PBC的夹角的余弦值。2,4,6解：（）该几何体的直观图如图所示。 3分（2）证明：连结AC，BD交于点O，连结OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG/PD。又OG面AGC，PD面AGC，所以PD/面AGC。 文8分，理6分连结PO，由三视图，PO面ABCD，所以AOPO。 又AOBO，所以AO面PBD。 因为AO面AGC，所以面PBD面AGC 文12分，理9分（理）建立如图所示坐标系，由三视图知，PO=，AB=2，AC=2，AO=，P（0，0，），B（0，0），A（，0，0），C（，0，0），设面PBA的法向量为n=（x，y，z）令x=1得y=1，z=1。n=（1，1，1）设面PBC的法向量为）令m=（1，1，1）。设面PAB与PBC的夹角为，则 所以面PAB与PBC的夹角为余弦值为 理12分4（本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中E、F分别是PB、AD的中点） （）求异面直线PD与AE所成角的余弦值； （）求证：EF平面PBC； （）求三棱锥BAEF的体积。解证：（）依题意知该多面体是底面为正方形的四棱锥，且PD底面ABCD，PD=DC=a 取BD中点O，连接E