初二几何中常用辅助线的添加

一 教学内容 寒假专题 初二几何中常用辅助线的添加 典型例题典型例题 一 添加辅助线构造全等三角形 例 1 已知 AB CD AD BC 求证 AB CD 分析 分析 证明线段相等的方法有 1 中线的定义 2 全等三角形的对应边相等 3 等式的性质 在本题中 我们可通过连结 AC 构造全等三角形来证明线段相等 证明 证明 连结 AC AB CD AD BC 1 3 2 4 在 ABC 和 CDA 中 ABC CDA ASA AB CD 二 截长补短法引辅助线 当已知或求证中涉及到线段 a b c 有下列情况时 如直接证不出来 可采用截长法 在较长的线段 上截取一条线段等于较短线段 补短法 延长较短线段和较长线段相等 这两种方法放在一起叫截长补短法 通过线段的截长补短 构造全等把分散的条件集中起来 例 2 如图 ABC 中 ACB 2 B 1 2 求证 AB AC CD 证法一 证法一 补短法 延长 AC 至点 F 使得 AF AB 在 ABD 和 AFD 中 ABD AFD SAS B F ACB 2 B ACB 2 F 而 ACB F FDC F FDC CD CF 而 AF AC CF AF AC CD AB AC CD 证法二 证法二 截长法 在 AB 上截取 AE AC 连结 DE 在 AED 和 ACD 中 AED ACD SAS 例 3 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 交 BD 的延长线于 E 证明 BD 2CE 分析 分析 这是一道证明一条线段等于另一条线段的 2 倍的问题 可构造线段 2CE 转化为证两线段相等的问题 分 别延长 BA CE 交于 F 证 BEF BEC 得 再证 ABD ACF 得 BD CF 证明 证明 分别延长 BA CE 交于点 F BE CF BEF BEC 90 在 BEF 和 BEC 中 BEF BEC ASA BAC 90 BE CF BAC CAF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD 和 ACF 中 ABD ACF AAS BD CF BD 2CE 三 加倍法和折半法 证明一条线段是另一条线段的两倍 常用如下方法 将较短线段延长一倍 然后证明它和较长线段相等 或将较 长线段折半 然后证明它和较短线段相等 这种方法称为加倍法和折半法 例 4 已知 如图 AD 是 ABC 的中线 AE 是 ABD 的中线 AB DC BAD BDA 求证 AC 2AE 分析 分析 欲证 AC 2AE 只要取 AC 的中点 证其一半与 AE 相等 或延长 AE 至等长 证其与 AC 相等 由于 AE 是 ABD 的中线 故考虑延长 AE 至 F 使 EF AE 证 AF AC 此种方法我们又称为中线倍长法 只要证 ABF ADC 观察图形发现 可以证明 ADE FBE 则可得出 BF AD 尚需条件 ADC FBA 而这可由外角的性质推出 证明 证明 延长 AE 至 F 使 EF AE 连结 BF AE 是 ABD 的中线 BE ED 在 BEF 和 DEA 中 BEF DEA EBF BDA BF DA BAD BDA EBF BAD 在 ADC 和 FBA 中 ADC FBA AC AF 又 AF 2AE AC 2AE 四 利用角平分线的性质来添加辅助线 有角平分线 或证明是角平分线 时 常过角平分线上的点向角两边作垂线段 利用角平分线上的点到角两边的 距离相等证题 例 5 已知 ABC 的 B C 的外角平分线交于点 P 求证 AP 平分 BAC 证明 证明 过 P 点作 PD AC 于 D 点 PF AB 于 F 点 PE BC 于 E 点 PC BP 为 ABC 的 B C 的外角平分线 PD AC PE BC PD PE 角平分线性质 同理 PF PE PD PF 等量代换 AP 平分 BAC 角平分线性质逆定理 例 6 已知 如图 1 2 P 为 BN 上一点 且 PD BC 于 D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180 分析 分析 要证 BAP BCP 180 而由图可知 BAP EAP 180 故只要证 EAP BCP 即可 由 1 2 PD BC 想到过 P 点向 BA 作垂线 PE 有 PE PD BE BD 又由 得 AE CD 故 APE CPD 从而有 EAP BCP 问题得证 证明 证明 过点 P 作 PE BA 于 E PD BC 1 2 PE PD 角平分线的性质 在 Rt BPE 和 Rt BPD 中 Rt BPE Rt BPD HL BE BD PEB PDC 90 在 PEA 和 PDC 中 PEA PDC PCB EAP BAP EAP 180 BAP BCP 180 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 1 已知 如图 AB AE BC ED 垂足为 F 求证 CF DF 2 在四边形 ABCD 中 BC BA AD DC BD 平分 求证 3 已知 AD 是 ABC 的中线 E 在 BC 的延长线上 CE AB 求证 AE 2