高三物理(天体运动练习题)..

二 计算题 1 科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星 经过观测该小行星每隔 t 时间 与地球相遇一次 已知地球绕太阳公转半径是 R 周期是 T 设地球和小行星都是圆轨道 求小行星与地球的最近距离 2 随着我国 神舟五号 宇宙飞船的发射和回收成功 标志着我国的航天技术已达到世界 先进水平 如图所示 质量为 m 的飞船绕地球在圆轨道 上运行时 半径为 r1 要进入半 径为 r2的更高的圆轨道 必须先加速进入一个椭圆轨道 然后再进入圆轨道 已知 飞船在圆轨道 上运动速度大小为 在 A 点通过发动机向后以速度大小为u 对地 喷 出一定质量气体 使飞船速度增加到v 进入椭圆轨道 已知量为 m r1 r2 v u 求 飞船在轨道 I 上的速度和加速度大小 发动机喷出气体的质量 m 3 2003 年 10 月 15 日 9 时整 我国 神舟 五号载人飞船发射成功 飞船绕地球 14 圈后 于 10 月 16 日 6 时 23 分安全返回 若把 神舟 五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨 道上的匀速圆周运动 已知地球半径为 R 地球表面重力加速度为 g 1 试估算 神舟 五号载人飞船绕地球运行的周期 T 为多少秒 保留二位有效数字 2 设 神舟 五号载人飞船绕地球运行的周期为 T 地球表面的重力加速度为 g 地球 半径为 R 用 T g R 能求出哪些与 神舟 五号载人飞船有关的物理量 分别写出计算 这些物理量的表达式 不必代入数据计算 4 1997 年 8 月 26 日在日本举行的国际学术大会上 德国 Max Plank 学会的一个研究组宣 布了他们的研究结果 银河系的中心可能存在一个大 黑洞 黑洞 是某些天体的最后 演变结果 1 根据长期观测发现 距离某 黑洞 6 0 1012m 的另一个星体 设其质量为 m2 以 2 106m s 的速度绕 黑洞 旋转 求该 黑洞 的质量 m1 结果要求两位有效数字 2 根据天体物理学知识 物体从某天体上的逃逸速度公式为 其中引力 R Gm v 1 2 常量 G 6 67 10 11N m2 kg 2 M 为天体质量 R 为天体半径 且已知逃逸的速度大于真 空中光速的天体叫 黑洞 请估算 1 中 黑洞 的可能最大半径 结果只要求一位有 效数字 5 一宇航员抵达一半径为 R 的星球表面后 为了测定该星球的质量 M 做如下的实验 取 一根细线穿过光滑的细直管 细线一端栓一质量为 m 的砝码 另一端连在一固定的测力计 上 手握细线直管抡动砝码 使它在竖直平面内做完整的圆周运动 停止抡动细直管 砝 码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动 如图 11 所示 此时观察测力计得到当砝码 运动到圆周的最低点和最高点两位置时 测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点 两位置时 测力计的读数差为 F 已知引力常量为 G 试根据题中所提供的条件和测量结 果 求 1 该星球表面重力加速度 2 该星球的质量 M A B r2 m 图 5 6 2004 年 1 月 4 日和 1 月 25 日 美国 勇气 号和 机遇 号火星车分别登陆火星 同 时欧洲的 火星快车 探测器也在环火星轨道上开展了大量科学探测活动 科学家们根据 探测器返回的数据进行分析 推测火星表面存在大气 且大气压约为地球表面大气压的 1 200 火星直径约为地球的一半 地球的平均密度 地 5 5 103kg m3 火星的平均密度 火 4 0 103kg m3 请根据以上数据估算火星大气质量是地球大气质量的多少倍 地 球和火星表面大气层的厚度均远远小于球体的半径 结果保留两位有效数字 7 1967 年 剑桥大学研究生贝尔偶尔发现一个奇怪的射电源 它每隔 1 337s 发出一个脉 冲信号 贝尔的导师曾认为他们可能和外星文明接上头 后来大家认识到 事情没有那么 浪漫 这种信号是由一种星体发射出来的 这类星体被定名为 脉冲星 脉冲星 的特 点是脉冲周期短 而且高度稳定 这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动 自转就是 一种很准确的周期运动 1 已知蟹状星云的中心星 PSR0531 21 是一颗脉冲星 其脉冲现象来自于自转 且自转 周期为 T 3 3 10 2s 设阻止该星体离心瓦解的力是万有引力 请估计 PSR0531 21 的最小 密度 2 如果 PSR0531 21 的质量等于太阳质量 该星的最大可能半径是多少 太阳质量是 M0 2 0 1030kg 万有引力常量 G 6 67 10 11N m2 kg2 结果保留两位有效数字 8 2003 年 10 月 15 日 9 时 神舟 五号载人飞船在酒泉发射成功 神舟 五号进入太 空后将先以远地点 350 公里 近地点 200 公里的椭圆形轨道运行 实施变轨后 进入 343 公里的圆轨道 共绕地球飞行 14 圈 16 日 6 时在内蒙古主着陆场成功着陆 神舟 五 号飞船在返回时先要进行姿态调整 飞船的返回舱与留轨舱分离 返回舱以近 8km s 的速 度进入大气层 当返回舱距地面 30km 时 返回舱上的回收发动机启动 相继完成拉出天线 抛掉底盖等动作 在飞船返回舱距地面 20km 以下的高度后 速度减为 200m s 而匀速下降 此段过程中返回舱所受空气阻力为f v2S 式中 为大气的密度 v是返回舱的运动速 1 2 度 S为与形状特征有关的阻力面积 当返回舱距地面高度为 10km 时 打开面积为 1200m2 的降落伞 直到速度达到 8 0m s 后匀速下落 为实现软着陆 即着陆时返回舱的速度为 0 当返回舱离地面 1 2m 时反冲发动机点火 使返回舱落地的速度减为零 返回舱此时 的质量 2 7 103kg 神舟 五号载人飞船的成功发射和回收 标志着我国载人航天 技术有了新的重大突破 1 若使航天飞船在无动力作用的情况下的圆轨道上绕地球飞行 则飞行速度多大 保留二位有效数字 2 用字母表示出返回舱在速度为 200m s 时的质量 3 反冲发动机的平均反推力是多少 4 神舟 宇宙飞船在环绕地球的椭圆轨道上运动 设卫星的质量为 m 近地点速 度为 v1 远地点速度为 v2 若此时发动机关闭 宇宙飞船从近地点到远地点地球引力做了 多少功 结果用上述字母表示 9 宇宙员在月球表面完成下面实验 在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量 为 m 的小球 可视为质点 如图所示 当施加给小球一瞬间水平冲量 I 时 刚好能使 小球在竖直面内做完整圆周运动 已知圆弧轨道半径为 月球的半径为 R 万有引力r 常量为 G 若在月球表面上发射一颗环月卫星 所需最小发 射速度为多大 轨道半径为 2R 的环月卫星周期为多大 10 宇航员在某一星球上以速度竖直向上抛出一小球 经过时间 小球又落回到原抛v 0 t 出点 然后他用一根长为 的细绳把一个质量为的小球悬挂在 o 点 使小球处于静止状lm 态 如图所示 现在最低点给小球一个水平向右的冲量 使小球能在竖直平面内运动 I 若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用 则冲量满足什么条件 I 11 神舟五号载入飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨 由原来的椭圆轨道变为距地面高 度 h 342km 的圆形轨道 已知地球半径 R 6 37 103km 地面处的重力加速度 g 10m s2 试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期 T 的公式 用 h R g 表示 然后计算周期 T 的数 值 保留两位有效数字 12 某颗同步卫星正下方的地球表面上有一观察者 用天文望远镜观察到被太阳光照射的 该同步卫星 试问秋分这一天 太阳光直射赤道 从日落时起经过多长时间 观察者恰好 看不见该卫星 已知地球半径为 R 地球表面处重力加速度为 g 地球自转周期为 T 不考 虑大气对光的折射 13 2003 年 10 月 15 日 我国神舟五号载人飞船成功发射 标志着我国的航天事业发展 到了很高的水平 飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨 由原来的椭圆轨道变为距地面高 度为 h 的圆形轨道 已知地球半径为 R 地面处的重力加速度为 g 求 1 飞船在上述圆轨道上运行的速度v 2 飞船在上述圆轨道上运行的周期 T 14 射地球同步卫星时 可认为先将卫星发射至距地面高度为 h1的圆形近地轨道上 在卫 星经过 A 点时点火 喷气发动机工作 实施变轨进入椭圆轨道 椭圆轨道的近地点为 A 远地点为 B 在卫星沿椭圆轨道 远地点 B 在同 步轨道上 如图 14 所示 两次点火过程都使卫星 沿切向方向加速 并且点火时间很短 已知同步卫 星的运动周期为 T 地球的半径为 R 地球表面重力 加速度为 g 求 1 卫星在近地圆形轨道运行接近 A 点时的加速度 大小 2 卫星同步轨道距地面的高度 图 14 YC 15 地球可近视为一个 R 6400km 的球体 在地面附近的重力加速度 g 9 8m s2 试估算地 球的平均密度 在古时候 人们通常认为地球是扁平的 想象地球真的不是一个球体 而是一个厚度 为 H 的无限大的盘子 如果想体验与真正地球表面一样的重力加速度 那么 H 的值是 多大 提示 假定两种模型地球的密度一样大 如果是电荷均匀分布的无限大的这种圆盘 单位面积上的电荷量为 圆盘外的电 场强度为 E 2kH k 为静电力恒量 由电场和重力场类比 它们的对应物理量是 E g G k m q G 6 67 10 11N m2 kg2 16 右图为某报纸的一篇科技报道 你能发现其 中的科学性问题吗 请通过必要的计算加以说明 下面的数据在你需要时可选用 引力常量G 6 7 10 11N m2 kg2 地球表 面重力加速度g 10m s2 地球半径 R 6 4 106m 地球自转周期T 8 6 104s 地 球公转周期T 3 2 107s 2 10 70 80 的立方根约取 4 2 17 目前人们广泛采用 GPS 全球定位系统导航 这个系统空间星座部分共需要 24 颗卫星绕 地球运转 工作卫星分布在 6 个圆形轨道面内 每时每刻任何一个地区的地平线上空至少 保持 4 颗卫星传递信息 其对时钟要求精度很高 科学家们采用了原子钟作为计时参照 如 铯原子钟定义的 1 秒是铯 133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射 的 9192631770 个周期所持续的时间 其计时十分精确 10 万年内误差不大于 1 秒 这样 导航定位误差可控制在 1 2 米之内 甚是高明 这种卫星绕地球运行的周期 T 为 12 小时 地球半径用 R 表示 地球表面的重力加速度用 g 表示 电磁波传播速度用 C 表示 1 这种卫星与地球同步卫星相比较 其轨道高度是高还是低 2 这种卫星将电磁信号传于其某时刻地面上的正对点时 所用时间 t 说明 卫星 地面上该点 地心三点共线 结果用题中所给字母表示 18 2004 年 1 月 4 日美国 勇气 号火星车在火星表面成功登陆 登陆时间选择在 6 万年 来火星距地球最近的一次 火星与地球之间的距离仅有 5580 万千米 如图 火星车在登 陆前绕火星做圆周运动 距火星表面高度为 H 火星半径为 R 绕行 N 圈的时间为 t 求 1 若地球 火星绕太阳公转为匀速圆周运动 其周期分别为 T地 T火 试比较它 的大小 2 求火星的平均密度 用 R H N t 万有引力常星 G 表示 3 火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片 地球上接收到的第一张照片大约 是火星车多少秒前拍摄的 19 利用航天飞机 可将物资运送到空间站 也可以维修空间站出现的故障 1 若已知地球半径为 R 地球表面重力加速度为 g 某次维修作业中 航天飞机的速 度计显示飞机的速度为 v 则该空间站轨道半径 r 为多大 2 为完成某种空间探测任务 在空间站上发射的探测器通过向后喷气而获得反冲力 使其启动 已知探测器的质量为 M 每秒钟喷出的气体质量为 m 为了简化问题 设喷射时探测器对气体做功的功率为 P 在不长的时间 t 内探测器的质量变化较 小 可以忽略不计 求喷气 t 秒后探测器获得的动能是多少 20 如图为宇宙中有一个恒星系的示意图 A为星系的一颗行星 它绕中央恒星O运行的 轨道近似为圆 天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为 周期为 0 R 0 T 1 中央恒星 O 的质量为多大 2 经长期观测发现 A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离 且周期性地 每隔时间发生一次最大的偏离 天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外 0 t 侧还存在着一颗未知的行星B 假设其运行轨道与A在同一水平面内 且与A的绕行 方向相同 它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离 根据上述现象及假设 你能对 未知行星B的运动得到哪些定量的预测 21 2004 年 我国现代版的 嫦娥奔月 正式开演 力争 2006 年 12 月正式发射 媒体曾 报道从卫星图片和美 苏 原苏联 两国勘测结果证明 在月球的永暗面存在着大量 常年以固态形式蕴藏的水冰 但根据天文观测 月球半径为R 1738km 月球表面的重力加速度约为地球表面的重力 加速度的 1 6 月球表面在阳光照射下的温度可达 127 此时水蒸气分子的平均速度达到 v0 2000m s 试分析月球表面没有水的原因 取地球表面的重力加速度g 9 8m s2 要求 至少两种方法 22 设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务 乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动 的轨道舱 如图所示 为了安全 返回舱与轨道舱对接时 必须具有 相同的速度 已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功 返回舱与人的总质量为 m 火星表面的重力加速 1 R WmgR r 度为 g 火星的半径为 R 轨道舱到火星中心的距离为 r 不计火星 表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响 则该宇航员乘坐的返回 舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱 23 1 试由万有引力定律推导 绕地球做圆周运动的人造卫星的周期T跟它轨道半径r 的 3 2 次方成正比 2 A B 两颗人造卫星绕地球做圆周运动 它们的圆轨道在同一平面内 周期之比是 若两颗卫星的最近距离等于地球半径R 求这两颗卫星的周期各是多少 从两 1 2 3 3 2 2 T T 颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间 已知在地面附近绕地球 做圆周运动的卫星周期为T0 24 物体沿质量为 M 半径为 R 星球的表面做匀速圆周运动所需的速度 v1叫做该星球第一 宇宙速度 只要物体在该星球表面具有足够大的速度 v2 就可以脱离该星球的万有引力而 飞离星球 即到达到距星球无穷远处 这个速度叫做该星球第二宇宙速度 理论上可以证 B A 预定圆轨道 地球 明 12 2vv 一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速 C 3 0 108m 则该星球上的任 何物体 包括光子 都无法摆脱该星球的引力 于是它就将与外界断绝了一切物质和信息 的交流 从宇宙的其他部分看来 它就像是消失了一样 这就是所谓的 黑洞 试分析一 颗质量为M 2 0 1031kg 的恒星 当它的半径坍塌为多大时就会成为一个 黑洞 计 算时取引力常量G 6 7 10 11N m2 kg2 答案保留一位有效数字 25 国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于 2003 年 10 月 15 日在中国酒泉卫星发 射中心发射升空 飞船由长征 2F运载火箭先送入近地点为A 远地点为B的椭圆轨道 在B点实施变轨后 再进入预定圆轨道 如图所示 已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所 用时间为t 近地点A距地面高度为h1 地球表面重力加速度为g 地球半径为R 求 1 飞船在近地点A的加速度aA为多大 2 远地点B距地面的高度h2为多少 26 计划发射一颗距离地面高度为地球半径 R0的圆形轨道地球卫星 卫星轨道平面与赤道 片面重合 已知地球表面重力加速度为 g 1 求出卫星绕地心运动周期 T 2 设地球自转周期 T0 该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同 则在赤道上一点的人 能连续看到该卫星的时间是多少 27 在美英联军发动的对伊拉克的战争中 美国使用了先进的侦察卫星 据报道 美国有多 颗最先进的 KH 1 KH 2 锁眼 系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空 锁眼 系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动 近地点为 265 km 指卫星与地面的最近距 离 远地点为 650 km 指卫星与地面的最远距离 质量为 13 6 103kg 18 2 103kg 这些照相侦察卫星上装有先进的 CCD 数字照相机 能够 分辨出地面上 0 l m 大小的目标 并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心 由开普勒定律知道 如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相 等 那么卫星沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等 请你由上述数据估算这 些 锁眼 系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率 地球的半 径 R 6 400 km g取 10 m s2 保留两位有效数字 28 天文学上 太阳的半径 体积 质量和密度都是常用的物理量 利用小孔成像原 理和万有引力定律 可以简捷地估算出太阳的密度 在地面上某处 取一个长l 80cm 的圆筒 在其一端封上厚纸 中间扎直径为 1mm 的 圆孔 另一端封上一张画有同心圆的薄白纸 最小圆的半径为 2 0mm 相邻同心圆的半径 相差 0 5mm 当作测量尺度 再用目镜 放大镜 进行观察 把小孔正对着太阳 调整圆 筒的方向 使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光斑 这就是太阳的实像 为了使观 察效果明显 可在圆筒的观测端蒙上遮光布 形成暗室 若测得光斑的半径为 mmr7 3 0 试根据以上数据估算太阳的密度 2211 1067 6 kgmNG 一年约为 sT 7 102 3 29 现根据对某一双星系统的光学测量确定 该双星系统中每个星体的质量都是 M 两者 相距 L 它们正围绕两者连线的中点做圆周运动 万有引力常量为 G 求 1 试计算该双星系统的运动周期 T 2 若实验上观测到运动周期为 T 且 为了解释两者的TTN N 11 不同 目前有一种流行的理论认为 在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质 暗 物质 作为一种简化的模型 我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这 种暗物质 而不考虑其他暗物质的影响 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这 种暗物质的密度 30 个Internet网站报道 最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星 卫星的质量为 1000kg 环绕月球周期为 60min 张明同学对该新闻的真实性感到怀疑 他认为该国的 航天技术不可能近期发射出环月卫星 该网站公布的数据似乎也有问题 他准备对该数 据进行验证 但他记不清万有引力恒量的数值 且手边又没有资料可查找 只记得月球 半径约为地球半径的 1 4 地球半径约为 6 4 106m 月球表面的重力加速度约为地球 表面重力加速度的 1 6 地球表面重力加速度取 10m s2 假定将环月卫星的运动视为匀速圆周运动 请根据上述数据判断该报道的真伪 并写 出推导判断的过程 3 5 26 答案 一 选择题 1 设小行星绕太阳周期为 T T T 地球和小行星没隔时间 t 相遇一次 则有 1 tt TT tT T tT 设小行星绕太阳轨道半径为 R 万有引力提供向心力有 2 2 2 4Mm GmR RT 同理对于地球绕太阳运动也有 2 22 4Mm GmR RT 由上面两式有 3 2 32 RT RT 2 3 t RR tT 所以当地球和小行星最近时 2 3 t dRRRR tT 2 1 在轨道 I 上 有 2 分 解得 1 分 1 2 1 2 1 r v m r Mm G 1 1 r GM v 同理在轨道 II 上 1 分 由此得 1 分 2 r GM v 1 2 1 r r vv 在轨道 I 上向心加速度为 a1 则有 2 分 1 2 1 ma r Mm G 同理在轨道 II 上向心加速度 a 则有 2 分 2 2 r v m r Mm G 2 2 2 2 r v 由此得 1 分 2 2 1 2 1 v r r a 2 设喷出气体的质量为 由动量守恒得m 3 分 得 2 分 muvmmmv 1 m uv r r vv m 1 2 3 解 1 飞船绕地球 14 圈共同时间为 21 小时 23 分钟 故飞船运动的周期 T 5 5 103s 4 分 2 对飞船 万有引力作为圆周运动的向心力 2 2 2 T mr r Mm G 2 分 在地球表面 mg R Mm G 2 2 分 可得 神舟 五号轨道半径 3 2 22 4 gTR r 或轨道周长 l 22 2gTR 此外还可求得 神舟 五号载人飞船的运行频率 T f 1 神舟 五号载人飞船的运行角速度 T 2 神舟 五号载人飞船的运行线速度 3 2 2 T gR v 神舟 五号载人飞船的运行向心加速度 加速度 轨道处重力加速度 3 2 22 T gR T a 神舟 五号载人飞船的离地面高度 R gTR h 3 2 22 4 式中答对 3 个或 3 个以上给 6 分 答对 3 个以下的 每式给 2 分 4 解 1 3 分 4 分 r v m r mGm 2 2 2 21 kg G rv m 35 2 1 106 3 2 3 分 4 分 C R Gm 1 2 2 1 2 C Gm R m C Gm Rm 8 2 1 105 2 5 解 1 设最高点 r v mmgT 2 1 1 2 分 最低点 r v mmgT 2 2 2 2 分 机械能守恒 2 2 2 1 2 1 2 2 1 mvmgrmv 3 分 12 6TFmgT 1 分 m F g 6 1 分 2 m F mg R Mm G 6 2 3 分 mg FR M 6 2 3 分 6 在星球表面物体受到的重力等于万有引力 2 R Mm Gmg 在星球表面 4 分 2 R M Gg 2 分 地 地 地 地地 地 地 地 RG R R G R M Gg 3 4 3 4 2 3 2 2 分 火火 火 火火 火 火 火 RG R R G R M Gg 3 4 3 4 2 3 2 由 得 2 分 4 11 火 地 火 地 火 地 R R g g 星球表面大气层的厚度均远远小于星球半径 即大气压强可以表示为 得 4 分 2 4 R mg P g RP m 2 4 4 分 3 2 2 104 3 火 地 地 火 地 火 地 火 g g R R P P m m 7 解 设 PSR0531 21 脉冲星的质量为 M 半径为 R 自转周期为 T 星体表面有一质量为 m的物体随星体一起自转 根据牛顿第二定律 F万 F向 5 分R T m R GMm 2 2 2 星体的平均密度 5 分 3 3 4 R M V M 联立以上两式得 1 3 1014kg m3 3 分 R 1 5 105m 2 分 8 1 由公式 V R GM 得 V 7 7 103 m s 2 由题意得 mg v2S m v2S 2g 1 2 3 由牛顿第二定律得 F mg ma 由运动学公式得 2as v2 联立可得 F 9 9 104N 4 由动能定理 W mv22 2 mv12 2 9 设月球表面重力加速度为 g 月球质量为 M 在圆孤最低点对小球有 I mv0 2 分 球刚好完成圆周运动 小球在最高点有 2 分 r v mmg 2 从最低点至最高低点有 2 分 2 2 0 2 1 2 1 2 mvmvrmg 由 可得 2 分 rm I g 2 2 5 在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度 2 分 Rr mr I gR R GM v5 5 min 当环月卫星轨道半径为 2R 时 有 2 分 R T m R GMm 2 2 2 2 2 2 分 将黄金代换式 GM gR2代入 式 2 分 GM R T 3 2 2 2 分 Rr I m gR R T10 4 2 2 2 3 得 10 解 设星球表面附近的重力加速度为 由竖直上抛运动公式 得 g g v t 0 2 t v g 2 0 当小球摆到与悬点等高处时 细绳刚好松弛 小球对细绳无力作用 则小球在最低 点的最小速度为 由机械能守恒定律得 由动量定理得 min v min 2 2 1 mvmgl minmin mvI 当小球做完整的圆周运动时 设最高点的速度为 由有 v l v mmg 2 glv 若经过最高点细绳刚好松弛 小球对细绳无力作用 则小球在最低点的最大速度为 则由机械能守恒定律和动量定理有 max v 2 max 2 2 1 2 2 1 mvmglmv maxmax mvI 和 t lv mI 0 10 t lv I 0 11 设地球质量为 M 飞船质量为 m 速度为v 圆轨道的半径为 r 由万有引力和牛顿第 二定律 有 r v m r Mm G 2 2 v r T 2 地面附近 mg R Mm G 2 由已知条件 r R h 解以上各式得 gR hR T 2 3 2 代入数值 得 T 5 4 103s 12 解 M 表示球的质量 m 表示同步卫星的质量 r 表示同表卫星距地心的距离 对同步卫星 4 分r T m r Mm G 2 2 2 4 3 2 2 4 GMT r 对地表面上一物体 GM gR2 3 分mg R Mm G 2 由图得 3 分 cos4 R 又由图 3 分 2 Tt 3 分 3 2 2 4 cos 2gT R ar T t 13 解 1 设地球质量为 M 飞船质量为 m 圆轨道的半径为r 由万有引力定律和牛顿第二定律 3 分 r m r Mm G 2 2 在地面附近有 3 分 由已知条件 2 分 mg R Mm G 2 hRr 求出 2 分 hR gR 2 2 由 3 分 求出 3 分 r T 2 2 3 2 gR hR T 14 1 设地球质量为 M 卫星质量为 m 万有引力常量为 G 卫星在近地圆轨道运动接近 A 点时的加速度为 根据牛顿第二定律 4 分 x a A ma hR Mm G 2 1 物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 4 分mg R Mm G 2 解得 2 分g hR R aA 2 1 2 2 设同步轨道距地面高度为 h2 根据牛顿第二定律有 6 分 4 2 2 2 2 1 hR T m hR Mm G 由上式解得 2 分R TgR h 3 2 22 2 4 15 1 33 105 5 4 3 3 4 mkg GR g GRg 2 HGg r Gg 2 3 4 球球 kmRH4267 3 2 16 解 本报道中 地球同步卫星高度 735 公里的数据出错 以下的计算可以说明 在地球同步轨道上 卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力 设卫 星的质量为m 离地面高度为h 有 2 2 2 hR T m hR Mm G 在地球表面上 质量为m0的物体 受地球的万有引力等于物体的重力 有 得 mg R Mm G 2 0 gRGM 2 由 1 2 式可得 h gTR R 3 2 22 4 代入数据得 能说明差 2 个数量级即可 km103 6m106 3 47 R 17 1 这种卫星比地球同步卫星的轨道高度低 4 分 2 万有引力提供向心力 r T m r Mm G 2 2 2 4 所以 4 分 3 2 2 4 GMT r 又因为地面附近 2 分 2 R GMm mg 卫星距地面高度 2 分Rrh 所以时间 t 4 分 1 cc h 4 3 2 22 R TgR 18 1 设环绕天体质量为 m 中心天体质量为 M 即 4 分 2 分 故 T火 T曲 2 分 2 设火星车质量为 m 设火星质量为 M 4 分 2 分 2 分 3 宇宙间用电磁波传输信息 C 3 108m s t s v 5580 107 3 108 186s 4 分 是在 186 秒前拍摄的 19 1 2 2 r Mm G r v m 2 gRGM 由 解得 2 2 v gR r 2 由 2 2 1 mtvPt 得 又 m P v 2 mtvvM 得 M mPt vME m P M mt v k 2 2 2 12 20 1 2 A 行星发生最大偏离时 A B行星与恒星在同一直线上且位于恒 2 0 3 0 2 4 GT R 星同一侧 设行星B的运行周期为 半径为 则有 所以TR 2 22 00 0 t T t T 由开普勒第三定律得 所以 00 00 Tt Tt T 2 3 2 0 3 0 T R T R 3 2 00 2 0 0 Tt t RR 21 解法一 假定月球表面有水 则这些水在 127 时达到的平均速度v0 2000m s 必须小 于月球表面的第一宇宙速度 否则这些水将不会降落回月球表面 导致月球表面无水 取 质量为m的某水分子 因为GMm R2 mv12 R2 mg月 GMm R2 g月 g 6 所以代入数据解得 v1 1700m s v1 v0 即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面 使月球表 面无水 解法二 设v0 2000m s 为月球的第一宇宙速度 计算水分子绕月球的运行半径R1 如果 R1 R 则月球表面无水 取质量为m的某水分子 因为GMm R12 mv02 R12 mg月 GMm R12 g月 g 6 所以R1 v02 g月 2 449 106m R1 R 即以 2000m s 的速度运行的水 分子不在月球表面 也即月球表面无水 解法三 假定月球表面有水 则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月 球表面所受到的向心力 即应满足 mg月 GMm R2 当v v0 2000m s 时 g月 v02 R 2 30m s2 而现在月球表面的重力加速度仅为g 6 1 63m s2 所以水分子在月球 表面所受的重力不足以提供 2000m s 所对应的向心力 也即月球表面无水 解法四 假定有水 则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所 受到的向心力 即应满足 mg月 GMm R2 即应有g月R v2而实际上 g月 R 2 84 106m2 s2 v02 4 106m2 s2 所以v02 g月R即以 2000m s 的速度运行的水分子不 能存在于月球表面 也即月球表面无水 22 解 返回舱与人在火星表面附近有 2 分 2 Mm Gmg R 设轨道舱的质量为 m0 速度大小为 v 则 2 分 2 0 0 2 Mmv Gm rr 解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时 具有的动能为 2 分 2 2 1 22 k mgR Emv r 因为返回舱返回过程克服引力做功 1 R WmgR r 所以返回舱返回时至少需要能量 4 分 1 2 k R EEWmgR r 23 解 1 人造卫星绕地球做圆周运动 万有引力充当向心力 地球质量M是常量 因此人造卫星绕地球运动的周期T与其轨道半径r的 3 2 次方成正 比 2 01 33TT 02 2