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廊坊师范学院毕业论文过程管理 学 号：09040161028 姓 名：王小卿年 级：2009级接本 专 业：数学与应用数学 论文题目：矩阵特征值与特征向量的解法及应用指导教师：李兆勤目 录 任务书 开题报告 开题论证记录 文献综述 中期检查表 指导教师评语表 评阅教师评阅表 毕业论文答辩记录 答辩成绩表 成绩评定表 五次指导记录廊坊师范学院本科学生毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目 矩阵特征值与特征向量的解法及应用 数学与信息科学 学院数学与应用数学 系(部) 数学与应用数学 专业 2009级接本 年级学生姓名 王小卿 指导教师姓名李兆勤 下发日期 2010 年11月19 日任务起止日期： 2010年 11月 19日 至 2011 年 6 月 5 日1 指导教师对论文（设计）内容的指导要求：首先查阅和收集相关资料，然后进行整理，拟定写作提纲，再对研究内容进行分析，并研究资料，寻找解决问题的思路和方法，撰写开题报告，在此基础上进行论文的构作，完成毕业论文.2论文（设计）前期准备要求：本课题研究的基本内容是关于矩阵特征值与特征向量的解法及应用，研究的步骤是首先广泛查阅和收集相关资料,其次拟定写作提纲以及指导教师给以辅导,然后对所研究的内容进行理论分析,并对收集到的资料加以研究,从中寻找和发现解决问题的思路和方法,最后再撰写论文、形成初稿。3指导教师提出的主要参考文献：1高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20032工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003.3何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.4 tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.4论文（设计）进度安排（阶段任务、起止时间等）：（1）搜集与阅读整理资料阶段（第 3学期第 12周第 3学期第17周） 2010 年11月19日 2010年12 月 20日。（2）撰写开题报告阶段（第3学期第18周第 4学期第4 周）2010年12月20日2011年3月14日。（3）撰写成文阶段（第4学期第 5周第4学期第10周）2011年3月21日 2011年4月30日。（4）论文修改定稿阶段（第4 学期第 11周第 4学期第13 周） 2011 年 5月 4日 2011年5 月 20日。（5）论文答辩阶段（第4学期第13 周第 4学期第15周）2011年5月21日2011年6月5日。任务下达人（签字）：系（部）主任（签字）：学院院长（签字）：任务接受人（签字）：2010年 11月 19日 2010年 11月 19日廊坊师范学院本科生毕业论文(设计)开题报告书 数学与信息科学学院 数学与应用数学系 数学与应用数学 专业 2011 届 学生姓名王小卿 论文题目矩阵特征值与特征向量的解法及应用 指导教师姓名李兆勤 技术职称副教授课题论证（综述本选题国内外研究动态，说明选题的依据和意义）：本选题是矩阵特征值与特征向量的解法及应用.为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量.从概念上说，特征值与特征向量似乎是很简单的，但它们所蕴含信息之丰富及其应用之广泛与有效，都使人惊异，可以说是数学中少数几个“出于平凡而终于神奇” 的基本概念之一。矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值. 在工程实践中经常涉及到求矩阵特征值和特征向量的问题，例如在对实验数据做主成分分析和典型相关分析时就涉及到求解协方差矩阵的特征值和特征向量的问题。在大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题. 求解特征值问题有很多方法，常用的有：LR方法、QR方法、幂法和反幂法、雅可比法. 方案设计：本论文研究的基本内容是关于矩阵特征值与特征向量的解法及应用.研究的步骤是首先广泛查阅和收集相关资料,其次拟定写作提纲，然后对所研究的内容进行理论分析，并对收集到的资料加以研究,从中寻找和发现解决问题的思路和方法,最后再撰写论文、形成初稿. 研究的方法主要使用初等变换和行列互逆变换的方法,研究矩阵特征值的新解法，同时介绍了几个矩阵特征值与特征向量的应用 进度计划与参考文献：一、进度计划：（1）搜集与阅读整理资料阶段（第3学期第 12周第3学期第17周） 2010 年11月19日 2010年12 月 20日。（2）撰写开题报告阶段（第3学期第18周第4学期第4 周）2010年12月20日2011年3月14日。（3）撰写成文阶段（第4学期第 5周第4学期第10周）2011年3月21日 2011年4月30日。（4）论文修改定稿阶段（第4学期第 11周第4学期第13 周） 2011 年 5月 4日 2011年5 月 20日。（5）论文答辩阶段（第4学期第13 周第 4学期第15周）2011年5月21日2011年6月5日。二、参考文献:1 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003.2 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法J. 高等数学研究.3 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.4黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育,2006,335 谢国瑞. 线性代数及应用M. 北京:高等教育出版社,1999.6 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社.7 陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南M.北京:世界图书出版公司北京公司,2003.8tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.指导教师意见： 同意开题指导教师签字： 2011年 3月10日本科毕业论文（设计）开题报告论证记录届2011学院数学与信息科学学院 专业 数学与应用数学 学生姓名王小卿 指导教师李兆勤 论文（设计）题目 矩阵特征值与特征向量的解法及应用 记录员：张文敏 1.目前参考了哪些文献？答：1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003.3 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.4 奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J，枣庄师专学报，1991（2）5 tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.2.查找文献途径？答：图书馆搜集资料，阅读了大量书籍，上网查询了很多信息.3.选此课题原因？答：从概念上说，特征值与特征向量似乎是很简单的，但它们所蕴含信息之丰富及其应用之广泛与有效，都使人惊异，可以说是数学中少数几个“出于平凡而终于神奇” 的基本概念之一。矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.所以我觉得有必要就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作初步的探讨. 班级：2009接本 姓名：王小卿 指导教师：李兆勤文 献 综 述在工程实践中经常涉及到求矩阵特征值和特征向量的问题，例如在对实验数据做主成分分析和典型相关分析时就涉及到求解协方差矩阵的特征值和特征向量的问题.在大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题.求解特征值问题有很多方法，常用的有：LR方法、QR方法、幂法和反幂法、雅可比法.在二维空间中有一椭圆，根据分析中梯度的概念，椭圆在任一点的梯度为(ax，by)；又椭圆在那一点以原点为始点的位置向量为(x，y).在某一特殊点，梯度方向与这一点的位置向量共线，那么这个向量就是主轴所在的方向。则这个矢量存在一数l，使 或用矩阵符号可表示为.由这个方程，可推出：主轴是由矩阵的特征向量给出。这是特征问题在几何方面的解释，并且特征问题广泛应用到动力学、经济学、信息系统设计等一系列的实际问题中.幂法是求解矩阵特征值的一种常用方法，用于计算矩阵绝对值最大的特征值。在实际应用中，幂法的收敛速度由第一特征值和第二特征值比值的绝对值来确定。这个比值越接近于1，迭代的收敛速度就越慢。实际应用中可以结合使用幂法和原点平移法确定矩阵A的近似特征值和特征向量，可以克服绝对值接近，符号相反特征值及其所对应的特征向量问题，或接近于0的特征值及其所对应特征向量问题，并能以较高的精度求得矩阵的特征值和特征向量，且计算量小，迭代收敛速度较快.参考文献：1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003.3 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.4黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育,2006,335 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社.6 陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南M.北京:世界图书出版公司北京公司,2003.7 tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.8 Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.9 奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J，枣庄师专学报，1991（2）.廊坊师范学院本科毕业生论文（设计）中期检查表数学与信息科学学院 数学与应用数学系 数学与应用数学 专业 2011 届学生姓名王小卿论文（设计）题目矩阵特征值与特征向量的解法及应用 指导教师李兆勤 职 称 副教授毕业论文（设计）的进度及完成情况12010年11月2010年12月搜集与阅读整理资料阶段.22010年12月15日2011年3月12日通过知识的复习与整理，在老师的帮助下确定论文题目，在认真阅读指导教师提出的主要参考文献的基础上，对所研究的内容进行理论分析，并拟定写作提纲.32011年3月22日至2011年4月27日对所研究问题进行理论分析，提出问题，结合资料寻找解决问题的思路和方法。按照指导教师对论文内容的要求，已完成对论文初稿的进一步修改，现提交审阅. 指导教师意见：（1）所研究的问题要符合自己的兴趣并要有研究价值，并要查找相关资料，确定论文题目.（2）认真搜集资料，并仔细钻研高等代数中具体的概念与定理，并找到具有说明性的例题，加以分析.（3）命题要正确，并且要有正确的证明过程与简洁恰当，通俗易懂的语言说明.严格注意论文格式，符合毕业论文格式的具体要求. 指导教师： 2011年4月 15日备注1、毕业论文（设计）及完成情况栏，由学生如实填写.2、指导教师意见栏，包括学生论文（设计）的前期工作中存在的问题，指导教师对下一步工作的指导意见和工作安排.廊坊师范学院本科毕业生论文（设计）指导教师评语表 数学与信息科学学院 数学与应用数学系 数学与应用数学 专业 2011届学生姓名王小卿 论文（设计）题目矩阵特征值与特征向量的解法及应用 指导教师李兆勤 职 称副教授 毕业论文（设计）内容摘要：本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论,并且给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法，在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用: 特征值与特征向量在矩阵运算的应用；线性递推关系中特征值与特征向量的应用；特征值与特征向量确定矩阵的方法及应用.毕业论文（设计）分工情况:独立完成指导教师评语：论文研究方向明确，且具有研究价值.论文中所选的概念和定理，覆盖高等代数中的基本概念且所选例题正确，证明过程恰当，语言说明简洁准确，能够阐述矩阵特征值与特征向量的作用.但论文依然存在部分问题，需要加以修改.主要是论文格式，不太符合毕业论的格式要求，望加以改正. 毕业论文（设计）初评成绩： 指导教师签章： 2011年5 月17日备注毕业论文（设计）指导记录姓名王小卿题目矩阵特征值与特征向量的解法及应用 指导意见：与高等代数矩阵特征值与特征向量相关的文献，主要有1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第4 版) M . 北京:高等教育出版社,2003. 3 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院学报,2009,11(3):139-140.4黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育,2006,33.5 tephen H.Friedbeng等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.等.并且要充分运用电脑进行资料搜索以及常去图书馆查找相关书籍，来丰富与论文相关的知识。要把与本次论文相关的内容做好摘抄与记录，以便以后论文书写时应用方便，注意总结出，文献中的重点内容.指导教师： 2010年11月20 日毕业论文（设计）指导记录姓名王小卿题目矩阵特征值与特征向量的解法及应用指导意见：论文研究方向明确，且具有研究价值.论文中所选的概念和定理，覆盖高等代数中的基本概念且所选例题正确，证明过程恰当，语言说明简洁准确，能够阐述矩阵特征值与特征向量的作用.方案设计的有序，让人一目了然.主要修改意见：（1）中文摘要字数很少，且不够准确（2）论文的标题与目录不符（3）总结应放在正文中（4）参考文献的格式应修改，并在文献后面标注起始和终止页码，按照重要程度排序.指导教师： 2010年12 月21 日毕业论文（设计）指导记录姓名王