压电铁电物理-王春雷yd09_12

wangcl 1 压电振子的振动模式vibrationmodes 薄长条纵向伸缩振动薄圆片 棒 薄圆环 薄球壳 面切变 弯曲振动 厚度振动 能陷振动模 机电类比和线性机电网络 wangcl 2 前几章我们根据晶体的对称性 分析讨论了不同对称性的压电晶体所具有的独立的介电常数 弹性常数 压电常数 以及这些量与电学量 电位移 电场强度等之间的关系 与机械量 应力 应变之间的关系 胡克定律 与电学量和机械量之间的关系 压电方程组 等等 但是未涉及到如何确定这些常数的数值 wangcl 3 在实验上通常是通过测定压电元件的谐振频率和反谐振频率的方法来确定这些常数的 这就要求对晶体的这些常数同晶片的谐振频率和反谐振频率之间的关系进行理论分析 这种实验的和理论的分析工作 是研究压电晶体的一个重要方面 确定材料参数 wangcl 4 另一方面 压电元件常用于振荡器 滤波器 换能器 光调幅器以及延迟线等等 这些器件都是压电效应来激发压电体的机械振动 因此 只有通过对压电元件的振动模式的讨论 才能较深入地了解压电元件的工作原理和工作性质 元器件的设计 wangcl 5 虽然压电晶体 包括已极化的压电陶瓷 是各向异性体 但是压电元件都是根据工作需要 选择有利的方向切割下来的晶片 这些晶片大多数薄长片 圆片 方片等较简单的形状 它的基本振动模式 如伸缩振动 切变振动等 大体上与各向同性的弹性介质相同 都是在有限介质中以驻波的形式传播 只有在非常简单的情况下 才可能得到波动方程的准确解 wangcl 6 对于稍复杂的情况 只有近似解 在本章中 不可能对各种振动方式都进行详细讨论 只是对其中最简单最常用的振动模式作较系统而全面的分析讨论 希望通过对特殊性的讨论了解普遍性 wangcl 7 薄长片压电振子的长度伸缩振动 薄长片压电振子的长度伸缩振动 又称纵向振动 是压电元件中常采用的一种振动方式 也是最简单的振动方式 在这一节中除了讨论压电振子的纵向振动特性外 还要讨论压电振子的等效电路以及压电材料的介电常数 弹性常数和压电常数的测量等内容 wangcl 8 薄长片压电振子的压电方程组 设d31 0的压电晶体的zx切割晶片 长度l沿x方向 宽度lw沿y方向 厚度lt沿z方向 并且有l lw和lt 电极面与z轴垂直 如图6 3所示 因为l lw和lt 长度方向是主要因素 所以只考虑应力分量X1的作用 其它应力分量X2 X3 X4 X5 X6可以忽略不计 wangcl 9 图5 1薄长片压电振子 wangcl 10 因为电极面垂直于z轴 所以只要考虑电场分量E3的作用 其它电场分量E1 E2可以忽略不计 又因为测量时 或工作时 只是薄片的中心被夹住 片的两端为自由端 即薄片的边界条件为机械自由 在边界上的应力分量X1 边界 0 还有电极面是等位面 wangcl 11 在此情况下 可以选X1 E3为自变量 用第一类压电方程组 即 根据牛顿第二运动定律得到薄长片的运动方程为 wangcl 12 为了得到薄长片压电振子的波动方程 就需要根据压电方程组中应力与应变的关系式 代入波动方程得 wangcl 13 因为压电振子的电极面是等位面 电场分量E3在晶片中是均匀分布的 即有 E x 0 将这些关系代入上式式即得薄长片压电振子的波动方程为 声速 wangcl 14 若压电振子是在交变电场E3 E0ej t的激发下 通过压电效应产生纵向振动 则上式的通解为 式中波矢k c A B为待定系数 由边界条件确定 wangcl 15 满足边界条件的解 因为压电振子的两端为自由端 它的机械自由边界条件为 x 0时 有X1 x 0 0 x l时 有X1 x l 0 X1 u x wangcl 16 而应力的表达式可以写为 wangcl 17 代入边界条件得 x 0时 X1 0 x l时 X1 0 wangcl 18 稍加整理即得 wangcl 19 把A B代回到波动方程的解中 得到满足边界条件的解为 wangcl 20 为了对上式所表示的波形有较具体的了解 在图5 2中 绘出了t 0及t 1 2周期时的波形 从图5 2中可以看出上式代表纵驻波方程式 即在薄长片压电振子中传播的是纵驻波 wangcl 21 图5 2薄长片压电振子的纵向振动 wangcl 22 t 0时 t 时 wangcl 23 wangcl 24 薄长片压电振子中的应力 应变以及电位移与 x t 的关系为 式中E3 E0ej t wangcl 25 应力自由 wangcl 26 式中 或 wangcl 27 传统电介质材料 知识回顾 介电常数 长l 宽lw 厚lt 电容 容抗 电流 电流随频率单调增加 有位相差 wangcl 28 通过薄长片压电振子的电流 因为通过压电振子电极面上的电流I3等于电极面上的电荷Q3随时间的变化率 即 而电极面上的电荷Q3与电位移D3的关系为 wangcl 29 5 15 wangcl 30 最后得到通过压电振子电极面的电流为 所以有 wangcl 31 薄长片压电振子的等效导纳 若通过薄长片压电振子的电流为I3 两电极之间电压为V3 则压电振子等效阻抗Z为 压电振子的等效导纳G为 或者 wangcl 32 两电极面之间的电压V3为 压电振子的等效导纳为 wangcl 33 牛顿定律 压电方程 波动方程 边界条件 质点位移 电位移 电流 导纳 材料参数 等效电路 wangcl 34 结果分析 以上就是如何通过压电方程和波动方程求得压电振子的等效导纳方法 下面进一步分析在不同频率时压电振子导纳的性质 wangcl 35 频率很低时的情况atlowfrequency 当外加交变电场的频率很低时 即 很小时 可以近似认为k c 0 于是 wangcl 36 频率很低时 薄长片压电振子的等效导纳 式中电容 5 21 wangcl 37 自由介电常数 X33的确定 可见低频时压电振子等效为一个电容性元件 或者说在低频时 压电振子在电路中只起一个电容器的作用 它的电容数值由 5 21 式确定 实验上就是通过在很低频率下 测量压电振子的电容Clow 称为低频电容 来确定自由介电常数 X33 wangcl 38 应该注意 这里所说的 频率很低 是指外加交变电场的频率f 或 远小于压电振子的谐振频率fr 或 r 的情况 即f fr 或 r 例如 通常测量压电陶瓷的Clow时所用的频率f 1000Hz 若陶瓷片长l 2厘米 纵波速c 4 105 厘米 秒 则有 wangcl 39 可见用频率f 1000Hz测量2厘米长的压电陶瓷片的低频电容Clow 完全满足 频率很低 的要求 wangcl 40 其次 为什么低频条件下 通过低频电容Clow确定的是自由介电常数 X33 而不是夹持介电常数 x33 因为自由介电常数 X33是在应力X1 常数 或X1 0 的条件下测得的介电常数 夹持介电常数 x33是在应变x1 常数 或x1 0 的条件下测得的介电常数 wangcl 41 而低频时的应力X1与应变x1为 wangcl 42 可见 低频时应力X1 0 而应变x1 常数 所以在低频条件下 通过测量低频电容Clow所确定的介电常数为自由介电常数 X33 wangcl 43 在谐振频率时的情况resonant 当外加交变电场的频率f等于谐振频率fr时 即 r c l时 wangcl 44 与传统电介质材料不同 于是得到在谐振频率时 薄长片压电振子的等效导纳为无限大 而阻抗等于零 Z r 1 G r 0 响应的电流I3 r wangcl 45 可见 当外加交变电场的频率等于薄长片压电振子的谐振频率fr时 阻抗为零时 而通过的电流最大 谐振频率fr为 薄长片压电振子长度 wangcl 46 弹性柔顺常数sE11的确定 实验上 可以通过谐振频率的测量 即阻抗最小 电流最大时的频率来确定弹性柔顺常数sE11 当然还要测量压电振子的密度 即 5 23 通过电学量测量确定力学量 wangcl 47 在反谐振频率时anti resonant 当外加交变电场的频率f稍高于谐振频率fr时 设为 tan kl 2 tan l 2c tan 2 并有 0 于是 wangcl 48 在反谐振频率时的情况 因为 0 所以 2在第二象限 这时tan 2 0 并随频率的增加在 0 范围内变化 因此一定存在某一个频率fa或 a 即k ka a c时 使得 wangcl 49 即当k ka时 薄长片压电振子的等效导纳为零 等效阻抗为无限大 通过压电振子的电流等于零 导纳 wangcl 50 在反谐振频率时的情况 电流 阻抗 wangcl 51 可见 当外加交变电场E3的频率f fa或 a时 压电振子的等效阻抗为无限大 实际上为最大值 通过的电流为最小 即等于零 这也是一种谐振现象 相应的频率fa称为反谐振频率 实验上 常通过测量谐振频率与反谐振频率来确定机电耦合系数 wangcl 52 纵向振子的机电耦合系数k31与谐振频率fr和反谐振频率fa之间的关系 欲得到的k31与fr和fa的关系式 要从 5 24 式出发 将 5 24 式改写为 5 25 wangcl 53 再将 以及 代入 5 25 式得 wangcl 54 5 26 因为反谐振频率稍大于谐振频率 故可将反谐振频率fa写成 wangcl 55 又 将这些关系代入到 5 26 式得 wangcl 56 wangcl 57 再代入上式 并加整理后 即得机电耦合系数k31与谐振频率fr与反谐振频率fa的关系式 因为 f fr很小 可以将展成为幂级数 wangcl 58 机电耦合系数k31的确定 因为 f fr很小 通常只取上式的第一项 最多取到第二项 来计算k31值 即 wangcl 59 压电常数d31的确定 可见实验上 只要测出压电振子的谐振频率fr和反谐振频率fa 代入 5 28 式 即可确定机电耦合系数k31 再结合通过低频电容C0确定的自由介电常数 X33 ltC0 llw 即可确定压电常数d31 wangcl 60 夹持介电常数 5 30 wangcl 61 总之 通过薄长片压电振子的谐振频率fr 反谐振频率fa以及低频电容Clow和密度 即可确定压电晶体 或压电陶瓷 的弹性柔顺常数sE11 压电常数d31 自由介电常数 X33 夹住介电常数 x33和机电耦合系数k31等物理量 wangcl 62 薄长片压电振子的等效电路equivalentcircuit 器件设计Fordevicedesign wangcl 63 已知薄长片压电振子的等效导纳G 或等效阻抗Z 为 wangcl 64 当外加电场的频率很低时 压电振子的等效导纳为 可见频率很低时 压电振子在电路中只起着一个电容为Clow的电容器的作用 它的阻抗为Z 1 jClow 在此情况下的压电振子的等效电路是如图5 3所示纯电容电路 wangcl 65 频率很低时压电振子的等效电路 图5 3 wangcl 66 串联谐振Seriesresonant 等效阻抗Z fr 0 电流I3 实际上I3 极大值 这种谐振现象与无线电中的LC串联谐振现象相同 因为LC串联谐振时 电路中的阻抗 0 电流 当外加电场的频率等于压电振子的谐振频率fr时 压电振子的等效导纳为 wangcl 67 所以可以认为谐振时 压电振子在电路中起着一个串联的电容C1和电感L1的作用 在此情况下 压电振子的等效电路如图5 4所示的串联电路 压电振子的谐振频率fr就等于LC串联电路中的谐振频率fs wangcl 68 谐振时压电振子的等效电路 图5 4 wangcl 69 并联谐振parallelresonant 当外加电场的频率等于压电振子的反谐振频率fa时 压电振子的等效导纳为 等效阻抗Z fa 电流I3 0 实际上为电流极小 这种谐振现象与无线电中的LC并联谐振现象相同 因为LC并联谐振时 电路中的阻抗无限大 电流为零 wangcl 70 所以可以认为反谐振时 压电振子在电路中起着一个由电容C0和电感L1以及电容C1相并联的作用 在此情况下 压电振子的等效电路如图5 5所示的LC并联电路 压电振子的反谐振频率fa就等于LC并联电路中的谐振频率fp wangcl 71 反谐振时压电振子的等效电路 图5 5 wangcl 72 压电振子等效电路中的C0 L1和C1与压电常数 介电常数和弹性常数之间的关系 一方面 压电振子的振动特性是由压电振子的内部矛盾来解决的 即由压电振子的压电常数 介电常数和弹性常数来决定的 另一方面 压电振子的振动特性又可用LC串联电路和LC并联电路反映出来 因此等效电路中的C0 L1和C1与压电常数 介电常数和弹性常数之间存在一定的关联 wangcl 73 这个联系可通过压电振子的等效阻抗 或等效导纳 与LC电路中的阻抗加以比较而得到 已知压电振子的等效导纳为 wangcl 74 其中 为分路电容 为分路阻抗 为动态阻抗 wangcl 75 使动态阻抗Z1在谐振频率附近展开 因为 wangcl 76 故得 5 31 wangcl 77 使LC串联阻抗在串联谐振频率 附近展开得 5 32 wangcl 78 压电振子 LC串联电路 wangcl 79 比较 5 31 式与 5 32 式可以看出 在谐振频率附近 取一级近似可得动态阻抗等效于 集总参数 LC串联阻抗 其中联系为 5 34 5 33 wangcl 80 5 33 与 5 34 两式分别给出了压电振子的等效电感 等效电容和压电常数 弹性常数之间的关系 wangcl 81 几点注意事项 通过上述讨论使我们对薄长片压电振子的振动特性 等效电路以及有关的压电常数 弹性常数 介电常数和机电耦合系数的测量有了一个较全面的了解 但是应该注意 上述讨论是在压电振子不存在损耗的条件下进行的 而且是在谐振频率附近的近似条件下得到的 wangcl 82 实际上压电振子总是存在损耗的 只是在损耗很小时 才可能将损耗忽略不计 近似认为是无损耗的压电振子 如果压电振子的损耗不能忽略不计 就需要计入损耗的影响 于是问题就比较复杂了 wangcl 83 这里只提出如下两点注意 1 在同样大小的外加交变电场E3 E0cos t 作用下 有机械损耗的压电振子的振幅比无损耗的压电振子的振幅小一些 这种损耗在等效电路中的反映就是存在等效电阻R1 如图5 6所示 wangcl 84 有损耗时压电振子的等效电路 图5 6 wangcl 85 其中等效电路参数为 5 35 其中 Qm为机械品质因子 MechanicalQualityfactor wangcl 86 2 无损耗时 压电振子的谐振频率fr 就等于LC串联电路的谐振频率fs 也等于阻抗最小 电流最大 时的fm 压电振子的反谐振频率fa等于LC并联电路中的谐振频率fp 也等于等效阻抗最大 电流最小 时的测量频率fn 即有 wangcl 87 有损耗时 压电振子的这些频率不在相等 而是 wangcl 88 即有损耗时 实际测量的阻抗最小 电流最大时的频率fm 和阻抗最大 电流最小时的频率fn 既不等于压电振子的谐振频率fr和反谐振频率fa 也不等于LC串联谐振频率fs和LC并联谐振频率fp wangcl 89 但是当等效电阻R1较小的情况下 即Qm值较高的情况下 fm fr fs之间相差较小 fn fa fp之间相差也较小 所以实用上常忽略这个差别 近似地认为相等 即 wangcl 90 这时压电振子的各个参数 也近似认为由下列关系来确定 5 36 器件的材料 几何参数 频率参数 wangcl 91 小结 纵向伸缩振动 一 压电方程组 牛顿第二定律二 波动微分方程式三 满足自由边界条件波动微分方程式的解四