凸函数的性质及其应用论文.doc

黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文凸函数性质及其应用 摘 要 本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词 凸函数的积分性质;凸函数的不等式 Abstract In this article，first we list several kind of definitions for convex functions，then we give several important properties of convex functions ; finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality. Keywords integral properties of convex functions ; inequality of convex functions 凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系 定义1 设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“”则是严格凸函数的定义. 定义2 设在区间I上有定义, 在区间I称为是凸函数当且仅当:有 定义3 设在区间I上有定义, 在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4 在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1 定义2与定义3等价. 引理2 若连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质 定理1 设在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意, 保持成立）：（i）在I上为凸函数 （1） （ii） （2）(iii) （3）(iv) （4）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2 若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率 是x的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论3 若是区间I上的凸函数，则I上任意四点stuv有.推论4 若是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在，皆为增函数，且 这里表示的全体内点组成之集合.（若为严格凸的，则与为严格递增的）.证明 因为内点,故使得,从而（利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x)= .同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论5 若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2 设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有 .证明（必要性）因为凸函数，由上面的推论4知， 存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有. (充分性)设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的. 定理3 设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增. 证明 （充分性）,不妨设及记，则,或 (1)由于 (1)式等价于 (2)应用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2)式获证.（必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知: 同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论 若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：定理4 （不等式）若为上的凸函数，则 , ，有.证明 应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何 与都有现设及（i=1,2,k+1）,.令i=1,2,k,则.由数学归纳法假设可推得= = 即对任何正整数,上述不等式成立.推论 设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有. 3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用 我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质. 例1 设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界. 证明 设为任一闭子区间:（证明在上有上界）取.因为凸函数,所以 其中. 故在上有上界；（证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以 , 从而 ， 即为在上的下界.例2 设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明 要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有 (1)因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，（其中分别表示在上的上下界）,从而 (2)若 可取由的凸性，有， 从而 由此可得(2)式成立.若，则（2）式明显成立.这就证明了（2）式对一切皆成立.因此（2）式当与互换位置也成立，故有，令则（1）式也获证. 例3 设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限 与存在.证明 设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限 , 从而 亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下: 例4 设为区间上连续的凸函数.试证:，有.证明 令 则, (1) 同理，令，亦有 从而, (2) 注意与关于中点对称.由于是凸函数,故由（2）式得 . 另外,由（1）式,应用的凸性 .例5 设是上的凸函数,求证： （1）为上的凸函数. 证明 为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知积分(1)有意义. ,令 时 （2）恒有 因(2) = （因的凸性） 所以是上的凸函数. 例6 设函数在上递增,试证 函数为凸函数. 证明 因 递增,积分有意义.且 故由定理1知为凸函数.例7 设为上的凸函数,证明 有 （1）证明 因为凸函数, 由定理1推论4 ，存在且递增（当）.故(1)中的积分有意义.对任作一分划 有 参看定理2，我们有 于是由.(1)式知 . 将分划无限分细,令 同理有 3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了不等式，并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.例8 设 证明 证明 由于函数在区间上是凸函数，由凸函数的性质，即定理4 有 由于不可能同时相等，从而有 例 9 设函数是区间上的凸函数，对于 则 证 明 由于,则由定理1中（4）式，有 即令,对上式两边求和，有 即 例 10 设及则有不等式成立： 当且仅当与成正比例时等号成立.证明 取=，因为，所以在上为凸函数,由定理4得: 即 ， 亦即 令则有，于是有 令，则有 当与成正比例时，即 (为正常数，)当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立.例11 设和是两组正数， .证明 . 证明 要证原不等式即要证明 . 令,则由于，所以为凹函数，由不等式 即得所证.例12 证明：.证明 设，则由于（用不等式） 所以 由于不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立. 例 13 证明不等式，其中均为正数.证 明 设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而.即又因 , 所以 .例14应用不等式证明：设，有 证明 取函数, . 因为是区间上严格凹函数，则对及 1. ，则上式等号成立 ; 2.若不全相等，则由不等式 即 即因为在上单调递增,综合结论得，命题成立.参考文献1裘兆泰等.数学分析学习指导,科学出版社,2004年.2徐利治等.大学数学解题法诠释第一版,安徽教育出版社，1999年3徐利治等. 数学分析的方法和例题选