教师的问题观

第5章教师的问题观 已知 下图中矩形的面积是30平方厘米 求阴影三角形的面积 一般视角 教师的视角 这个问题适合几年级的学生 需要有哪些知识准备 会有哪些收获 解决问题的方法是否唯一 这种解法对其他问题是否有效 学生可能遇到的问题或错误 教师角色的特殊性 1 教师是一个解题高手 2 教师能够挖掘问题的教育功能 3 教师能够恰当地向学生展示解题的过程与意义 第一节成为解题高手 问题1 判断正误1 每年都有365天 2 自然数分为奇数和偶数 3 没有最大的自然数 问题2 在三只盒子里 一只装有两个红球 一只装有两个白球 还有一只装有红球和白球各一个 已知三只盒子上的标签全贴错了 你能只从一只盒子里拿出一个球来 就确定这三只盒子里各装的是什么吗 分析 A摸出的是红球 那么这个盒子的两个球都是红球 贴有两个白色球的那个盒装的一定是一个白球一个红球 贴有两个红色球的那个盒装的是一个白球和一个红球 B摸出的是白球的 那这个盒装的两个都是白球 贴有 两个红色球 那个盒子装的一定是一个红球一个白球 贴有 两个白球 的那个盒子一定是两个红球的 问题3 某班有45人 会打羽毛球的18人 羽毛球和乒乓球都会打的7人 不会打乒乓球又不会打羽毛球的6人 问会打乒乓球的多少人 分析 两项都不会的有6人会打羽毛球和乒乓球人数的总和为45 6 39人只会打羽毛球的有18 7 11 人 那么39 11 28人 即会打乒乓球的有28人 思考 甲 乙各乘一艘游艇划行 甲每摇桨10次的同时 乙只摇8次 而乙摇桨70次所走的路程等于甲摇桨90次走的路 现甲先摇4次 问乙摇几次追上甲 方法1 设甲摇1次走x 乙摇一次走y 70 y 90 x甲摇先摇4次 则甲领先4x 假设乙要摇z次 那么甲一共摇了4 z 5 4 4 1 25z次若乙追上了甲 则乙走的总路程 甲走的总路程所以 4 1 25z x z y z 9x 7z 112所以乙要摇112次 方法2 不妨设甲摇桨一次需1秒 那么乙就需要1 25秒再假设甲摇一次走1米 那么乙就走9 7米甲先摇4次 说明甲领先乙4米 现在开始计时 当乙追上甲的时候设为时间t 那么这段时间乙划t 1 25次 共走 t 1 25 9 7 米甲划了t 1次 共走 t 1 1 米两个路程的差应当是甲领先的四米 也即 t 1 25 9 7 t 1 1 4可以解出t 140秒从而乙摇的次数为140 1 25 112次 方法3 设甲摇10次所用时间为t 甲摇90所走路程为m则甲摇桨频率为10 t 乙摇桨频率为8 t甲的速度为m 90 10 t 乙的速度为m 70 8 t 甲先摇四次所走的路程为m 90 10 t 4 10 t 设乙开始追 到追上甲 所用时间为T则m 70 8 t T m 90 10 t T m 90 10 t 4 10 t 解得T 14tT 乙频率就得乙的摇桨次数14t 8 t 112 次 第二节挖掘问题的教育功能 问题5 在一幅比例尺是1 2000000的地图上 量得甲 乙两个城市之间高速公路的距离是5 5cm 在另一幅比例尺是1 5000000的地图上 这条公路的图上距离是多少 分析 实际距离是11000000cm 11000000 5000000 2 2cm或设长度为X 则5 5 2000000 X 5000000解得X 2 2 问题6四个连续自然数的积是5040 这四个连续自然数分别是多少 分析 由于一个10 三个9相乘得7290超过5038 可知 此四个数最大不超过10 若这四个数中最大数为9 则其余三个为6 7 8 此四个数相乘得6 7 8 9 3024假设这四个数 最大为10 则其余三个为7 8 9 此四个数相乘得7 8 9 10 5040由此可知 这四个数应该为7 8 9 10 问题7 一个口袋有红 黄 蓝 三种颜色的小球各10个 要一次摸出相同颜色的小球 一次至少要摸出 个球 答案 一次至少拿4个球 就可以保证有两个球的颜色相同 请问 这是为什么 小明看着自己的成绩表预测 如果下次数学考试100分 那么总平均分是91分 如果下次考80分 那么数学总平均成绩是86分 问 小明数学统计表是已经有几次考试 解 设有x次考试的成绩 现在的平均分为a 则有 xa 100 x 1 91 xa 80 x 1 86两式相减得20 x 1 5则x 3a 88即现有3次考试的成绩 思考 粗心的小明把一个数乘以三分之四看成了四分之三 并得出结果为12 正确答案应该是多少 甲乙两杯水共有400ml 从甲杯中倒40ml给乙杯后两杯中的水相同 问 甲杯原本比乙杯多多少ml的水 小阳很迷惑 今年爷爷的年龄是我的六倍 再过几年 爷爷的年龄就是我的五倍了 到我上大学的时候 爷爷的年龄就只有我的四倍了 爷爷是越活越年轻了吗 你能猜出小阳爷爷今年多少岁吗 第三节解题之后的思考 问题10 有下面两组数 甲组 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19乙组 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20每次分别从甲 乙两组中各取一个数相加求和 不同的结果有 个 分析 甲组的数为2n 1 n为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10乙组的数为2t t为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10则甲 乙两组各取一数相加结果为2n 1 2t结果只取决于n t 因此只要知道n t有多少个不同结果 就可以知道原题有多少个不同结果 1 当n 1时 t取任意数 则有10个结果 2 当n 2时 只有当t 10时 才得到与 1 不同的结果 2 当n 3时 只有当t 10时 才得到与 1 2 不同的结果 10 当n 10时 只有当t 10时 才得到与 1 2 10 不同的结果因此共有10 1 9 19个不同结果 问题11 小王有三本集邮册 全部邮票的五分之一在第一本上 N除以8 N为非零自然数 在第二本上 剩余的39张在第三本上 小王有多少张邮票 分析 设其有x张邮票 得x 5 N 8 39 x由题意知 N为8的倍数 又4x 5为偶数 39为奇数 则N为8的奇数倍数 设N 2t 1 8得4x 5 2t 1 39x 100 5t 2则5t为偶数再设t 2w 得x 100 5 2w 2 50 5w其中W 0 1 2 3 4 问题12 一个服装的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子 一件上衣和一条裤子为一套服装 现有66名工人生产 每天最多能生产多少套服装 解 设x名工人生产上衣 依题意可得4x 7 66 x 则x 42所以一天可以生产4 42 168套服装 第四节问题的发现与创造 数学故事 智斗八戒话说唐僧师徒西天取经归来 来到郭家村 受到村民的热烈欢迎 大家都把他们当作除魔降妖的大英雄 不仅与他们合影留念 还拉他们到家里作客 面对村民的盛情款待 师徒们觉得过意不去 一有机会就帮助他们收割庄稼 耕田耙地 开始几天猪八戒还挺卖力气 可过不了几天 好吃懒做的坏毛病又犯了 他觉得这样干活太辛苦了 师傅多舒服 只管坐着讲经念佛就什么都有了 其实师傅也没什么了不起的 要不是猴哥凭着他的火眼金睛和一身的本领 师傅恐怕连西天都去不了 更别说取经了 要是我也有这么一个徒弟 也能有一番作为 到那时 哈哈 我就可以享清福了 于是八戒就开始张落起这件事来 没几天就召收了9个徒弟 他给他们取名 小一戒 小二戒 小九戒 按理说 现在八戒应该潜心修炼 专心教导徒弟了 可是他仍然恶习不改 经常带着徒弟出去蹭吃蹭喝 吃得老百姓叫苦不迭 老百姓想着他们曾经为大家做的好事 谁也不好意思到悟空那里告状 就这样 八戒们更是有恃无恐 大开吃戒 一顿要吃掉五 六百个馒头 老百姓被他们吃得快揭不开锅了 邻村有个叫灵芝的姑娘 她聪明伶俐 为人善良 经常用自己的智慧巧斗恶人 她听了这件事后 决定惩治一下八戒们 她来到郭家村 开了一个饭铺 八戒们闻讯赶来 灵芝姑娘假装惊喜地说 悟能师傅 你能到我的饭铺 真是太荣幸了 以后你们就到我这儿来吃饭 不要到别的地方去了 她停了一下说 这儿有张圆桌 专门为你们准备的 你们十位每次都按不同的次序入座 等你们把所有的次序都坐完了 我就免费提供你们饭菜 但在此之前 你们每吃一顿饭 都必须为村里的一户村民做一件好事 你们看怎么样 八戒们一听这诱人的建议 兴奋得不得了 连声说好 于是他们每次都按约定的条件来吃饭 并记下入座次序 这样过了几年 新的次序仍然层出不穷 八戒百思不得其解 只好去向悟空请教 悟空听了不禁哈哈大笑起来 说 你这呆子 这么简单的帐都算不过来 还想去沾便宜 你们是永远也吃不到这顿免费饭菜的 难道我们吃二 三十年 还吃不到吗 悟空说 那我就给你算算这笔帐吧 我们先从简单的数算起 假设是三个人吃饭 我们先给他们编上1 2 3的序号 排列的次序就有6种 即123 132 213 231 312 321 如果是四个人吃饭 第一个人坐着不动 其他三个人的座位就要变换六次 当四个人都轮流作为第一个人坐着不动时 总的排列次序就是6 4 24种 按就样的方法 可以推算出 五个人去吃饭 排列的次序就有24 5 120种 10个人去吃钣就会有3628800种不同的排列次序 因为每天要吃3顿钣 用3628800 3就可以算出要吃的天数 1209600天 也就是将近3320年 你们想想 你们能吃到这顿免费钣菜吗 经悟空这么一算 八戒顿时明白了灵芝姑娘的用意 不禁羞愧万分 从此以后 八戒经常带着徙弟们帮村民们干活 他们又重新赢得了人们的喜欢 数学故事2 蜗牛何时爬上井 一只蜗牛不小心掉进了一口枯井里 它趴在井底哭了起来 一只癞蛤蟆爬过来 瓮声瓮气的对蜗牛说 别哭了 小兄弟 哭也没用 这井壁太高了 掉到这里就只能在这生活了 我已经在这里过了多年了 很久没有看到过太阳 就更别提想吃天鹅肉了 蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆 心里想 井外的世界多美呀 我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里 蜗牛对癞蛤蟆说 癞大叔 我不能生活在这里 我一定要爬上去 请问这口井有多深 哈哈哈 真是笑话 这井有10米深 你小小的年纪 又背负着这么重的壳 怎么能爬上去呢 我不怕苦 不怕累 每天爬一段 总能爬出去 第二天 蜗牛吃得饱饱的 喝足了水 就开