误差理论和实验数据处理

绪论 误差理论和实验数据处理 大学物理实验的目的和任务 物理学是一门实验科学 物理概念的确定物理规律的发现 建立和检验 都是通过实验结果概括出来的 因此 从古至今物理实验在物理学的创立和发展上都占有十分重要的地位 物理实验课程的主要目的和任务 1 对学生进行 三基 的训练 使学生获得物理实验的基本知识 进行基本实验方法和基本实验技能的训练 培养学生的阅读理解能力 动手操作能力 分析判断能力 书写表达能力以及初步的实验设计能力 2 加深对物理概念的掌握和理解 3 具备初步的从事实验工作的基本素质 测量和误差 1 测量及其分类 测量是人们对自然界中的现象和实体取得定量概念或数字表征的过程 测量可以分为直接测量和间接测量两大类 2 误差及其来源和 消除 方法 一个待测的物理量 在一定的条件下总有一个客观存在的量值 这个量值我们称之为真值 在实际的测量中 测量结果和真值之间总存在一定的差值 这个差值就称之为误差 误差是不可避免的 真值是测不出的 测量的目的在于尽量减少误差之后 得出一个在一定条件下待测物理量的最可信赖值 并对其精确度作出正确的估计 系统误差和偶然误差 1 系统误差 特征 A 有规律 自成系统 B 可以消除 仪器误差 方法误差 环境和条件误差 个人误差可以采取一些措施来消除或减少这些系统误差 2 偶然误差 特征 A 随机产生 无规律 B 不能消除 环境原因 个人原因偶然误差也有其必然性 测量次数无穷多时 偶然误差满足正态分布 正态分布具有单峰性 对称性和有界性三个特点 3 精密度 准确度和精确度 a 精密度高 准确度差 b 准确度高 精密度差 c 精密度 准确度都高 就是精确度高 测量结果的表示 直接测量误差的估算 1 算术平均值 测量结果的最可信赖值 偶然误差的性质告诉我们实际测量中 测量次数总是有限的 算术平均值只是真值的近似值 称为最佳估计值 最可信赖值 用它来表示测量结果 2 多次等精度测量的误差估算 某次测量值的误差 某次测量值的偏差 1 标准误差和标准偏差 测量列的标准误差 上述公式只有理论上的意义 测量列的标准偏差 白塞尔公式 2 算术平均值的标准偏差 算术平均值的标准偏差应小于测量列的标准偏差 由上式可以看到 增加测量次数对提高测量精度是有益的 3测量结果及其物理意义 测量结果可以表示为偏差落在 区间的概略约68 3 偏差落在 区间的概略为95 5 偏差落在 区间的概略为99 73 实验中粗差的剔除1 拉依达准则2 肖维涅准则 4单次直接测量结果的误差估算 仪器误差仪器误差满足平均分布可以方便得计算 5 绝对误差 相对误差及百分差 绝对误差 相对误差 百分差 间接测量的误差估算 1 误差传递的基本公式 N f x1 x2 x3 xn 单次测量时误差传递公式绝对误差 相对误差 附表 常用函数关系的误差传递公式 多次等精度测量时误差传递公式 标准偏差的误差传递公式绝对误差 相对误差 附 常用函数关系的标准偏差传递公式 2 误差分析的应用 实际测量中 为了保证总误差在限定要求以内 就要进行误差分配 选择合理的测量方法和恰当的测量仪器 以单摆实验为例要求总误差小于0 4 l 80cm 100cm 误差可估计 l 0 1cm相对误差为0 13 1 80 0 至0 1 1 100 0 用秒表测量T 测量一次误差为 t 0 2s周期大约为2秒 相对误差为10 0 2 2 必须采用多周期累计测量 测量100个周期 相对误差为0 1 0 2 100 2 总误差小于0 4 有效数字及其运算法则 1 有效数字的概念 1 3254524 675658900 5790 0009820 21067重要概念 A 有效位数B 和小数点无关C 一位可疑数字 2 有效数字的有关规定 1 有效数字中的 0 数值前的 0 不是有效数字 2 单位涣算保持有效位数不变例如 3 71m 3 71 102cm 371cm 3 71 103mm 3 直接测量的读数规则 可以估读的仪器一定要估读 按最小分度值的1 2 1 5 或1 10估读 4 关于误差的规定 误差的有效位数一般取一位 最多取两位 测量结果的最后一位应该和误差位对齐 去尾方法 四舍六入五凑偶 举例 读数规则 0 4mm 0 1mm 2mm 3mm 5mm 6mm 7mm 8mm 4 7mm按1 10估读 正确 4 70mm按1 10估读 不正确 0 1mm 2mm 3mm 5mm 6mm 7mm 8mm 4mm 0 1mm 2mm 3mm 5mm 6mm 7mm 8mm 4 55mm按1 10估读 似乎正确 4mm 所有读数中只要有一个不正确 这种读数方法就不正确 3 有效数字的运算规则 1 加减运算 最后结果的小数点位数和加数中小数位数最少的对齐 2 乘除运算 最后结果的有效位数和乘 除 数中有效位数最少的相同 3 乘方 开方运算 最后结果的有效位数和底数的有效位数相同 4 对数运算 对数的有效位数和真数相同 5 常数运算 运算中它们的有效位数是任意的 6 三角函数运运算 三角函数的可疑数和角度的最小单位对应的那一位对齐 例如 1 1 389 17 2 8 67 94 12 121 4 1 38917 28 67 94 1212 385121 379 2 22 12 385 2 2 27 24770 2477027 2570 56 472 3 188 103 ln58 6 4 07 4 52 64 45 2132 6 4220 1036 Sin60 5 0 866751708 查表 Sin1 0 0002908882045 Sin60 5 0 8668 数据处理的基本方法 1 列表法 设计表格排列顺序记录方便观看清楚 2 作图法 直观 形象 准确度要差一些 实验图线的绘制 图纸大小的选择坐标的标记和分度实验点的标志图线的描绘图线的注解和说明 图纸的描绘 注意点 1 坐标轴的起点坐标不一定为零 原则是使作出的图线充满整个图纸 2 坐标轴的分度 作图纸的最小分度代表有效数字准确数的最后一位 3 实验点的标识必须明显 突出 例如 可以用 等符号 图解法 外推法 可以方便地得到实际上难于测量的点的量值 求经验公式 用解析法和图解法可以求得经验公式 也可以利用图解法求得截距和斜率 进而求得相应的物理量 注意 不能用实验点求斜率 3 逐差法 两个测量值成y a bx线性关系时 利用逐差法可以方便地求得斜率和截距 并能充分地利用测量数据 设x y之间有线性关系 实验测得一列对应数据为x1 x2 xn和y1 y2 yn 则有 根据一般的逐项取差法 所以 这样的计算方法是不可取的 逐差法的基本方法是把测量数据分为前后个数相等的两组 后面一组中各个数据减去前面一组中相应的数据 再将结果取平均求斜率b 取平均求得b 求得b后 可以运用累加法求截距a 4 最小二乘法与曲线的拟合 图解法处理数据时 人工拟合的曲线不是最佳的 科研工作中常用最小二乘法来拟合曲线 用最小二乘法求得变量之间的函数关系称为回归方程 因此用实验数据寻求最佳拟合线的问题也常称为方程的回归问题 这里只讨论一元线性回归问题 变量x y之间存在线性关系y a bx 将它们代入方程 为使方程成立 必须引入偏差项 假设 每个测量值都是等精度的 而且只有y有明显的随机误差 即 最理想的是常数a b应使上式中的偏差 1 2 n的绝对值最小 即 的值取最小值的条件是 一阶导数等于0 得正规方程 解正规方程可求得Q极小条件下的参量a b的值称为最佳拟合值 若令 则 偏差项的平方和对a b的二阶偏导大于零 因此 上式即为满足最小二乘原理所求得的最佳拟含直线的两个参数 即斜率和截距 根据最小二乘法 用回归法求a b时 结果是唯一的 我们必须指出 这样求得的斜斜率和截距仍然有误差 为 其中 y为测量值yi的标准偏差 常用相关系数r来判断x与y之间到底是否符合线性关系 或符合到什么程度 对于一元线性回归的情况 常称r为线性相关系数 其定义如下 相关系数r的值在 1之间 越接近1 说明拟合得越好 线性关系 相关系数 非等精度测量 加权平均 对某物理量作等精度多次测量时 每个测量结果的可信度都一样 可用简单的算术平均值来得到结果 在一列非等精度测量中 必须引入一个数pi来表示某个测量结果xi的可信度 pi越大标准偏差 i越小 测量结果xi对最后实验结果的贡献也就越大 可以证明 实验结果的加权平均为 其中pi称为权 权pi于其对应的标准偏差xi的平方成正比 它满足归一化条件可以证明 加权平均值的标准偏差为 举例 非等精度测量得到一电阻的三个测量结果为 由此可以计算得到 最后结果是 物理实验的过程和要求 三个教学环节 实验前的预习实验的操作完成实验后实验报告的完成 1 实验前的准备 预习 认真阅读实验教材 明确该实验的目的要求 实验原理 要测量的物理量及测量方法