更高更妙的物理：专题17--静电场：原理与方法

专题17 静电场：原理与方法在这个专题里，我们探讨有关静电场的一些重要原理以及场强、电势和电荷分布等问题的处理方法。 相对于观察者静止的电荷所产生的电场被我们称为静电场，静电场最重要的外观表现一是对进入电场的任何带电体都产生力的作用；一是当带电体在电场中移动时，电场力做功，说明静电场具有能量。电荷守恒定律、库仑定律、高斯定理、场叠加原理、唯一性原理都是反映静电场这两大表现所具性质的基本规律。 在摩擦起电、接触起电、感应起电或其他方法使物体带电的过程中，正、负电荷总是同时出现且量值一定相等，当两种等量异种电荷相遇发生中和时，物体不再带电，即一种电荷消失时必然有相等量值的异种电荷同时消失。实验证明：对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变原来为零的始终为零，原来为某一量的，则始终为，此即电荷守恒定律，是物理学中的基本定律之一。在静电场中，它与电场具有能量并遵从能量守恒是相承相容的。许多静力学问题都须依据这一原理来解决。【例1】一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为。如果球在第一次与板接触后带电量为，求球可获得的最大电量。【分析与解】球在第一次与板接触后获得的电量为，说明有量值为的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为，即球与板这一系统中的总电量是按的比例分配到球上与板上的。那么，当多次操作直至最终板上电量又一次为但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上的电量达到最大，若设为，则应有，故可求得球可获得的最大电量。 点电荷间的库仑定律，是静电学的基本定律，库仑定律给出点电荷间相互作用力与距离平方成反比，它的内涵是很丰富的，它导致静电场是“有源场”即我们熟悉的电场线总是从正电荷（源头）出发、到负电荷（尾间）终止的结果；它导致静电平衡的导体电荷分布在外表面而内部场强为零；它可以导出下面将做介绍的揭示静电场场强分布规律的高斯定理。 库仑力与万有引力均为平方反比力，点电荷电场与质点引力场的许多性质，具有可类比性。在专题中我们整理过的关于引力场的各种结论，往往通过平移对称操作，对电场同样适用，常用模型与方法也往往是相通的。如引力场中曾被牛顿证明过的一个均匀球壳，对球壳内物质的万有引力为零，即球壳内引力场处处为零。这个结论平移到一个均匀带电球壳，则球壳内电场强度处处为零；又如，对于一个质量均匀半径为的实心球，在距球心（）处质点只受到半径为的球内质量的万有引力，“引力场强”，而以外的球壳（即为外径为内径的球壳）则对质点无引力的作用。这个结论平移到一个均匀带电、半径为的实心球，在距球心（）处的场强只由半径为的球内电荷贡献：，而与以外的球壳所带电荷无关，等等。【例2】把两个相同的电量为的点电荷固定在相距为的地方，在二者中间放上第三个质量为电量亦为的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期。【分析与解】如图所示，为等量同种正电荷连线的中点，该点场强为零，则第三个电荷置于该点处于平衡，受扰动后，设其有一位移，此时电荷受、两处点电荷的库仑力方向如图示，以位移方向为正，合力为，注意到小幅振动，是小量，则有，可见第三个点电荷所受合力为线性变化力且方向总与位移相反，故为简谐运动，周期。 场强、电势和电荷分布等问题由于数学计算的困难，能够用初等数学精确求解的只在一些具有很强对称性的情况下。例如点电荷及一对等量同种或异种点电荷形成的电场的场强与电势分布；均匀带电球体内、外各点的场强与电势分布；孤立带电导体球的电荷分布，等等。【例3】均匀带电球壳半径为，带正电，电量为，若在球面上划出很小一块，它所带电量为（）。试求球壳的其余部分对它的作用力。【分析与解】这个问题中，待求力是带电球壳的内力，且对称分布，宜用微元法求解。 如图所示，是球面上划出的很小一块面积元，因带电量，故可视作一点电荷，其在内、外两侧引起的场强大小相等设为、方向相反。现设球壳其余部分在处的场强为，则内侧面作为球壳内部，场强应为零，故有。 而外侧，由均匀球壳场强公式，可得。 由以上两式可得，则点电荷在处所受球壳其余部分对它的力为。【例4】一个半径为的孤立的带电金属丝环，其中心电势为。将此环靠近半径为的接地的球，只有环中心位于球面上，如图所示。试求球上感应电荷的电量。【分析与解】将带电金属丝环分成许多相同的小面元，每个电荷元所带电量为、，它们在环中心处形成的电势为，则金属丝带电量为。设接地的球上感应电量为，由于接地，故整个球为一电势为零的等势体，那么环上电荷及球上感应电荷在球心处产生的电势之和应为零，即，得。 现在，我们从库仑定律与场的叠加原理导出静电学的另一条基本规律高斯定理。 我们知道，用电场线描述电场时，电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则，称为电通量，并以正、负表示电场线从该面穿出或穿入。先考察点电荷的电场，如图所示，为以点电荷为中心包围点电荷的球面，为包围点电荷的任意封闭曲面，若球面半径为，则球面上各处的场强大小均为，式中，称为真空中的介电常数。显然，从该球面穿出的电通量。根据电场线的性质在电场中没有电荷处的电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷的任意封闭曲面上的电通量也是。若如图所示，电荷在闭合曲面之外，由电场线性质可知穿入曲面的电场线条数与穿出该曲面的电场线条数相等，那么整个封闭曲面的总电通量为零。根据电场叠加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为，则，在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的，这就是真空中静电场的高斯定理。 当电荷分布具有某些特殊对称性时，往往可应用高斯定理简便地计算场强。【例5】半径为的圆板，在与其中心距离为处置一点电荷，试求板上的电通量。【分析与解】如图所示，以点电荷为球心，以为半径作一球面，显然，通过圆板的电通量与以圆板周界为周界的球冠面的电通量是相同的，球面上电通量，则球冠面上电通量，那么圆板上的电通量即为。【例6】在相距的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及。求在对称平面上与导线所在平面相距为的一点的电场强度。【分析与解】我们先利用高斯定理求出与细长导线距离为处的电场强度。如图所示，细长导线均匀带电，由对称性知各点场强方向均沿法向，电场线分布辐向均匀。现取一以细导线为几何轴、底面半径为、高的圆柱面，由高斯定理得该面上的电通量，则距轴心的圆柱面上的电场强度。本题中，点场强是两线电荷在该点电场的叠加，如图所示，两线电荷在点引起的场强大小相同：，方向如图所示；合场强。 我们面对的各种具体问题，往往情况复杂、对称破缺。解决这类复杂问题的一条重要途径，便是依据静电场问题的唯一性原：理进行等效变换，设法将复杂问题化解为符合对称性要求的基本问题，以便利用已知规律最终得解。 等效处理的办法大致可分为两类： 、对不具有对称性的带电体，用若干具有对称性的带电体做等效替代；或是对具有弱对称性的带电体，用具有更强对称性的带电体进行等效替代。这种方法我们称之为“等效对称替代法”。、对实际导体面或电介质面上的不均匀分布的电荷，用虚设的点电荷或均匀带电球进行等效替代，从而将一给定的静电场变换成另一易于计算的等效静电场。这种方法我们称之为“等效电像变换法”先示例“等效对称替代法”。【例7】如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小。【分析与解】球冠面上正电荷在点产生的电场以示，球层面上正电荷在点产生的电场以示，由对称性容易确定方向向右，方向向左，如图所示。乍一看，却似乎无法比较两部分不规则带电体产生的电场强度的大小，须设法作等效替代，创造出可运用已知规律的条件。 如图所示，设想以另一表面均匀分布正电荷的完全相同的半球，附在球层上构成球缺，显然，球缺在点产生的电场强度大于；球缺和球冠构成一完整球，由于均匀带电球面内电场强度处处为零，那么，与必然大小相等方向相反，于是，我们可确定球冠面电荷在点产生的电场强度大于球层面电荷在点产生的电场强度。【例8】如图所示，正四面体各面为导体，但又彼此绝缘。已知带电后四个面的静电势分别为、和，求四面体中心点的电势。【分析与解】若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定。现正四面体各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定，我们来进行等效替代：另有同样的三个四个面的静电势分别为、和的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为，中心点共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心点电势为，于是求得和。【例9】如图所示，在半径为、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为的一个小球，小球球心与大球球心相距为，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀。【分析与解】挖去一个小球而带有空腔的带电体球对称性被破坏，故难以直接运用库仑定律求出处的电场强度，须通过等效变换，将该带电体转化为若干个具有球对称性的带电体。 设想空腔部分的静电场构成是由体电荷密度为与的两个小均匀带电球复合而成，于是原带电体便被体电荷密度为半径为的均匀带正电大球与位于空腔部分的、体密度为半径为的均匀带负电小球替代，即：将空腔中的电场视作上述两个带电球引起的电场的叠加。由于此两球的电场均具有辐向对称性，故问题可解。体电荷密度为的小球在其球心产生的场强为零；体电荷密度为的大球在处产生的场强大小为，则点的电场强度，方向由点指向点。 为了证明空腔内电场均匀，我们任取空腔内一点，点对的矢径为，对的矢径为，如图所示，图中是大球在点引起的场强，是小球在点引起的场强，则点场强为，可知空腔内任一点的场强方向均沿矢径，即从点指向点，大小均为，可见为一匀强场。【例10】如图所示，在半径为的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为，是它的一条直径，如果要使上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何分布？【分析与解】由于要求直径上的场强处处为零，而圆环只对圆心具有对称性，故可知欲满足题设条件，圆环上的电荷分布是不均匀的。我们知道，均匀带电球壳内部的场强处处为零，那么其直径上各点的场强自然为零了，现要使带电圆环在其直径上各点场强具有同样的效果，那么环上的电荷分布一定与均匀带电球面的电荷分布有着某种等效关系。 我们对直径上场强的构成作一分析，如图所示，在均匀带电球面的直径上任取一点，若用与垂直的平面分割球面，可得一系列的圆环带，根据对称性可知，每一均匀带电小环在点产生的场强矢量必沿，而所有小环在点的合场强为零。现设想把原均匀分布在每一小环带上的电荷均对半“撸”到该小环带上两弧线元和上，整个电量对称地分布到直径两侧的半圆环上，则点的场强不变，直径上的电场强度仍处处为零，不过细圆环上电荷的分布显然是不均匀的。如图所示，任取圆环上一点，与的夹角为。取处极小段弧长，其上分布的电量对应于半径为、电量为的均匀带电球面上用垂直于直径的平面截出的宽、周长的小环带上所带电量的一半，即， 那么，该元弧段上的电荷线密度为。这就是令半径为的细圆环一直径上场强处处为零，电量在环上分布应遵从的规律。 下面展示“电像变换法”。 【例11】如图所示，无限大的接地导体板，在距板处的点有一个电量为的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷的作用力。【分析与解】由于导体板接地，板上的电势为零，在点电荷的作用下，板的右侧出现感应电荷，但其电量及分布未知，故无法直接求出它们对电荷的作用力。然而，由于导体为一等势面，从点电荷出发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布大致如图所示。这使我们联想到等量异种电荷的电场：两点电荷联线的垂直平分面为一零电势面，电场线还包括图中用虚线画出的另一半。因此，导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷替代，板上感应电荷对的作用亦等效于像电荷对发生的作用，于是，由库仑定律容易得到，板上感应电荷对点电荷的作用力大小为。 这里求解所用的方法，多用于接地导体或保持电势不变的导体外有一个或多个点电荷的情况。通常根据导体面及点电荷的几何位置关系，推断在所考察区域适当放置一个或多个量值合适的电荷，使之能够满足导体面上给定的场强及电势条件、模拟感应电荷对空间电场的贡献。这些虚拟的电荷称为像电荷，通过等效电像变换的方法，使实际问题易于解决，而其可靠性则源于静电学的重要原理唯一性原理。【例12】如图所示，设在一接地导体球的右侧点，有一点电荷，它与球心的距离为，球的半径为，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷受到的电场力为多大？【分析与解】先来确定导体球上感应电荷的像电荷电量及位置。如图所示，感应电荷在球上的分布不均匀，靠近点一侧较密，关于对称，故大致位置在连线上，距为的点。由于导体球接地，球心处的电势为零，根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电量在点引起的电势与点电荷在点引起的电势之和为零，即有，根据唯一性原理可知，等效的像电荷电量即此。像电荷位置，令其在球面上任意点引起的电势与在同一点的电势叠加为零，即满足，将代入，两边平方后有，对于任意的角，等式均成立，则，这样确定了像电荷的位置，于是可求出球表面感应电荷对的作用力它等同于像电荷对的库仑力，是引力。 电荷与电场的相互关系包括两个方面：静电荷产生静电场及电荷在静电场中受力。电荷在给定电场中受到力的作用将发生运动，在经典物理范畴内，带电质点的运动遵守牛顿运动定律。带电粒子在静电场中的运动有着广泛的科技应用背景，如利用电子枪或离子枪加速带电粒子、示波器和电子显微镜中采用静电场来聚焦粒子束、用电子束或离子束做技术加工、静电除尘与静电喷漆，等等。这里援引第届的一道试题，介绍带电粒子在静电场中运动的一种实际应用。【例13】如图所示，速调管用于甚高频信号的放大。速调管主要由两个相距为的腔组成，每个腔有一对平行板。初始速度为的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统。要放大的高频信号以一定的相位差（一个周期对应于相位）分别加在两对电极板上，从而在每个腔中产生交变水平电场。当输入腔中的电场方向向右时，进入腔中的电子被减速；反之，电场方向向左时，电子被加速，这样，从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子束。如果输出腔位于该短电子束形成处，那么，只要加于其上的电压相位选择恰当，输出腔中的电场将从电子束中吸收能量。设电压信号为周期、电压的方波。电子束的初始速度，电子荷质比。假定间距很小，电子渡越腔的时间可忽略不计。保留位有效数字，计算：使电子能叠加成短电子束的距离；由相移器提供的所需的输出腔与输入腔之间的相位差。【分析与解】通过输入腔的电子在电场方向向左时被电场加速，在电场方向向右时被减速，由动能定理得电子离开输入腔时速度；要形成短电子束，应使后半周期通过输入腔被加速的电子经过一段距离在输出腔“追”上前半周期通过输入腔被减速的电子，从而叠加成短电子束，故此应有。即 为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能量，应使电场方向向右，电场力对电子束做负功。当输入腔电场方向向右时满足，则，或。1、如图所示，正点电荷和正点电荷分别放置在、两点，两点间相距。现以为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置，设与的夹角为，则_。（用三角函数表示）2、如图所示，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为，电荷面密度为，试求其场强，并作图。3、在一厚度为的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为，求在平板层内及平板层外的电场强度，并作图。4、一点电荷位于一立方体中心，立方体边长为，试问通过立方体一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？5、如图所示，电场线从正点电荷出发，与正点电荷及负点电荷的连线成角，则该电场线进入负点电荷的角度是多大？6、准确地画出两点电荷及的电场线分布示意图。7、电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心处的电场强度等于。两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中分出一部分球面，如图所示。试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在处的电场强度。8、半径为的导电球壳包围半径为的金属球，金属球原来具有的电势为，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？9、有两个异种点电荷，其电量之比为，相互间距离为。试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离。10、两个电量为的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且与板的距离均为，两点电荷之间的距离为。求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向。11、半径分别为和的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为和，试求大的半球面所对应底面圆直径上电势的分布。12、有一半径为、带电量为的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数，定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力。13、两个半球合在一起组成一个完整的金属球，球的半径为，如图所示，求这两个半球间斥力。14、如图所示，在一开口的原不带电的导体球壳中心点有一点电荷。球壳内、外表面的半径分别为和。欲将电荷通过小孔缓慢地从移到无穷远处，应做多少功？15、如图所示，两个以为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是、。现在离为（）的地方放一个点电荷。问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？16、如图所示，半径相同的两个金属球、相距很远，原来不带电，球先与远处