上海市2001-2012年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质

2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质锦元数学工作室 编辑1、 选择题1. （上海市2004年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】 C。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：0，函数图象如图，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。，。故选C。2.（上海市2006年4分）二次函数图像的顶点坐标是【 】（A.） （1，3） （B）. （1，3） （C）.（1，3） （ D）. （1，3）【答案】B。【考点】二次函数的性质。【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：（1，3）。故选B。3.（上海市2007年4分）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】A，B，C，D，【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。 由题意得，函数的图象经过第一、三、四象限，。故选B。4.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，直线经过【 】A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限【答案】A。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。 由题意得，函数的，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。5.（上海市2008年组4分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是【 】A3B2C1D0【答案】B。【考点】抛物线与轴的交点。【分析】抛物线与轴的交点的个数即方程不相等实数根的个数，有2个，故选B。6.（上海市2009年4分）抛物线（是常数）的顶点坐标是【 】ABCD【答案】B。【考点】抛物线的性质。【分析】因为抛物线是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是。故选B。7.（上海市2010年4分）在平面直角坐标系中，反比例函数 图像的两支分别在【 】A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】B。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限： 反比例函数的系数， 图象两个分支分别位于第二、四象限。故选B。8.（上海市2011年4分）抛物线(2)23的顶点坐标是【 】(A) （2，3）； (B) （2，3）； (C) （2，3）； (D) （2，3） 【答案】。【考点】二次函数的顶点坐标。【分析】由二次函数的顶点式表达式(2)23直接得到其顶点坐标是（2，3）。故选。二、填空题1. （2001上海市2分）如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 【答案】。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设正比例函数的解析式为， 正比例函数的图象经过点（2，4）， 根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，得，解得。 这个函数的解析式为。2. （上海市2002年2分）抛物线的顶点坐标是 【答案】（3，6）。【考点】二次函数的性质【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标：，抛物线的顶点坐标是（3，6）。3.（上海市2003年2分）在平面直角坐标系内，从反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 。【答案】。【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：根据题意，知|k|=12，k=12，又k0，k=12。该函数关系式为：。4.（上海市2005年3分）点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 【答案】。【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。【分析】设这个正比例函数的解析式是，因为点A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有4=2 ，从而可求出 =2。从而得这个正比例函数的解析式是。5.（上海市2005年3分）如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 【答案】。【考点】二次函数图象与平移变换。【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式。6.（上海市2006年3分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升 元。【答案】5.09。【考点】函数的图象。【分析】根据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509100=5.09元。7.（上海市2007年3分）如图，正比例函数图象经过点，该函数解析式是 【答案】。【考点】待定系数法求正比例函数解析式。【分析】设该正比例函数的解析式为， 由图象可知，该函数图象过点A（1，3），。 该正比例函数的解析式为。8.（上海市2008年4分）在平面直角坐标系中，如果双曲线经过点，那么 【答案】2。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】因为双曲线经过点，所以满足方程，即，从而。9.（上海市2009年4分）反比例函数图像的两支分别在第 象限【答案】一、三。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限：反比例函数的系数，图象两个分支分别位于第一、三象限。10.（上海市2010年4分）一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图所示 当 0x1时，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1x2时，y关于x的函数解析式为 .【答案】y=100x40。【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】在0x1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1x2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当1x2时的函数解析式为y=100x40。11.（上海市2011年4分）如果反比例函数（是常数，0）的图像经过点(1，2)，那么这个函数的解析式是 【答案】。【考点】曲线上的点与方程的关系。【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(1，2)代入，得，即，那么这个函数的解析式是。三、解答题1. （2001上海市10分）如图，已知抛物线y2x24xm与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点（1）求实数m的取值范围；（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问BDC与EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由【答案】解：（1）令y=0，则有2x24xm=0，依题意有，=168 m0，m2。又抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，m0.因此实数m的取值范围为0m2。（2），C（1，m2）。令y=0，2x24xm =0，则（由（1）知）。AB。（3）在中令y=0，得x ，E（，0）。令x=0，得y1，F（0，1）。OE=，OF=1。由（2）可得BD=， CD=2m。当OE=BD时，解得m =1。此时OF=DC=1。又EOF=CDB=90，BDCEOF（SAS）。两三角形有可能全等。【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式0，求解即可。（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。（3）要求判定BDC与EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有CDE=EOF=90，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。2.（上海市2002年10分）如图，直线yx2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，SABP9（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RTx轴，T为垂足，当BRT与AOC相似时，求点R的坐标.【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（4，0）。 设点P的坐标为（a，a2），其中a0。由题意，得SABP（a4）（a2）9， 解得a2或a10（舍去）。 而当a2时，a23，点P的坐标为（2，3）。 （2）设反比例函数的解析式为。 点P在反比例函数的图象上，k6 。 反比例函数的解析式为。设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b2，那么BTb2，RT。当RTBAOC时，即，解得b3或b1（舍去）。点R 的坐标为（3，2）。当RTBCOA时，即，解得b1或b1（舍去）。点R 的坐标为（1，）。综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1，）。【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数又因为BRTAOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。3.（上海市2003年10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5cm，拱高OC0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE与AB的距离OM0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：1.4，计算结果精确到1米）【答案】解：（1）顶点C在y轴上，设以这部分抛物线为图象的函数解析式为。点A（，0）在抛物线上，得。所求函数解析式为：。（2）点D、E的纵坐标为，得。点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）。DE=()=。因此月河河流宽度为110000.01=（米）。【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。【分析】（1）因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可。（2）因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。 4.（上海市2003年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数的图象经过点A、B，与轴相交于点C。 （1）、的符号之间有何关系？ （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果4，AB，求、的值。【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即0时，0（如图）；当抛物线开口向上，即0时，0；因此、同号。（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式中，令=0，得：。OAOB=mn=，OC2=。OAOB=OC2，=，解得=1。所以、互为倒数。（3）由题意知：，则mn=，mn=。AB=，AB2=48。（nm）2=48，即（m+n）24mn=48，。解得。因此、的值分别为：、2或、2。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与轴交于正半轴，即、同号。（2）当CO2=OAOB时，可用表示出OC，用、表示出OAOB，代入上式即可求得、是否为倒数关系。（3）沿用（2）的思路，首先将值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何、的倒数关系，即可求得、的值。 5.（上海市2004年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为 同学发现两个结论： ； 数值相等关系：。 （1）请你验证结论和结论成立； （2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，其他条件不变，结论是否仍成立？（请说明理由） （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，又将条件“”改为“”，其他条件不变，那么和有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）【答案】解：（1）由已知可得点的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为 点M的坐标为（2，2），。 ， 即结论成立。 设直线CD的函数解析式为 则，得 直线CD的函数解析式为； 由上述可得，点H的坐标为（0，2），。 ，即结论成立。 （2）结论仍成立，理由如下： 点A的坐标为，则点B坐标为（），从而点C坐标为，点D坐标为，设直线OC的函数解析式为，则，得。 直线OC的函数解析式为。 设点M的坐标为（）， 点M在直线OC上， 当时，点M的坐标为（）。 。 结论仍成立。 （3），理由如下： 由题意，当二次函数的解析式为，且点A坐标为（t，0）（）时，点C坐标为（），点D坐标为（），设直线CD的函数解析式为 则 直线CD的函数解析式为。 则点H的坐标为（），。 ，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。（2）（3）的解法同（1）完全一样。6.（上海市2005年10分）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图），点C的坐标为（0，3），且BOCO1、 求这个二次函数的解析式；2、 设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.【答案】解：（1）C（0，3），OC=|3|=3，=3。 又OC=BO，BO=3，B（3，0）。 933=0，=2。 这个二次函数的解析式为。 （2），M（1，4）。 又由解得 A（1，0）， AM=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（1）由已知可得B（3，0），又C（0，3），代入抛物线解析式可求、。 （2）求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。7.（上海市2006年12分）如图，在直角坐标系中，为原点点在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数的图象经过点（1）求点的坐标（5分）；（2）如果经过点的一次函数图象与轴的正半轴交于点，且，求这个一次函数的解析式（7分）。【答案】解：（1）由题意，设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上，得，解得，。 经检验，是原方程的根，但不符合题意，舍去。 点的坐标为。 （2）由题意，设点的坐标为 ，解得，经检验是原方程的根。 点的坐标为。 设一次函数的解析式为， 一次函数图象过点，得。 所求一次函数的解析式为。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出的坐标。 （2）根据题意求B点坐标，再求解析式。8.（上海市2007年12分）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式【答案】解：（1）函数，是常数）图象经过，。 设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。 ，。 由的面积为4，即，得，点的坐标为。 （2）证明：根据题意，点的坐标为，则。 ，易得， ，。 。 （3），当时，有两种情况： 当时，四边形是平行四边形， 由（2）得，得。 点的坐标是（2，2）。 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得。 直线的函数解析式是。 当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形， 则，点的坐标是（4，1）。 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得。 直线的函数解析式是。 综上所述，所求直线的函数解析式是或。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。【分析】（1）由函数（，是常数）的图象经过，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式，从而由的面积为4求出点的坐标。 （2）由已知，求出，即可证得。 （3）分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。9.（上海市2008年12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点二次函数的图像经过点，顶点为（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标（5分）；（2）如果点的坐标为，垂足为点，点在直线上，求点的坐标（7分）【答案】解：（1）二次函数的图像经过点， ，得。所求二次函数的解析式为。来源:中.考.资.源.网 则这个二次函数图像顶点的坐标为。 （2）过点作轴，垂足为点。 在中， 。 在中，又，可得。 过点作轴，垂足为点。由题意知，点在点的右侧， 易证。 其中，。设点的坐标为，则，。 若点在的延长线上，则，得， ，。点的坐标为。 若点在线段上，则，得， ，。点的坐标为。 综上所述，点的坐标为或。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图像经过点，可求得，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式，可得这个二次函数图像顶点的坐标为。 （2）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点。分点在的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或。10.（上海市2010年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yx2bxc过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得： ，解之得：b=4，c=0 抛物线的表达式为：。 将抛物线的表达式配方得： 该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。 （2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4m,n）。来源:学.科.网 则四边形OAPF可以分为：OFA与OAP， = + = =20 =5。 点P为第四象限的点，n0，n= 5。 代入抛物线方程得m=5。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。 （2）根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，代入抛物线方程求得m。11.（上海市2011年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图 像与轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数2bc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标 【答案】解：（1）在一次函数中，当=0时，=3。A（0，3）。MO=MA，M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为。又点M在反比例函数 上，M（1，）。又A（0，3）AM= 。（2）二次函数2bc的图象经过点A、M可得，解得。这个二次函数的解析式23。（3）点D在一次函数 y=的图象上，则可设D（n， ），设B（0，m）（m3），C（n， ）。四边形ABDC是菱形，| AB |=3m，| DC |= = （）= 。| AD |= | AB |=| DC |，3m= 。| AB |=| AD |，3m= 。解得，n 1=0（舍去），n 2=2。将n=2，代入C（n， ）。点C的坐标为C（2，2）。【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。（2）二次函数2bc的图象经过点A、M由待定系数法即可求出二次函数的解析式。（3）可设D（n， ），C（n， ）且点C在二次函数23上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。12.（2012上海市10分）某工厂