网络名师小班辅导教案-初中数学一次函数与反比例函数第3讲反比例函数及其性质教师版

2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 1 of 13 第三讲第三讲 反比例函数及其反比例函数及其 性质性质 中考要求 考试要求考试要求 板块板块 A A 级要求级要求B B 级要求级要求C C 级要求级要求 反比例函数反比例函数 能结合具体问题了解 反比例函数的意义 能 画出反比例函数的图 象 理解反比例函数的 性质 会根据已知条件确定反比例函数的解 析式 能用反比例函数的知识解决有 关问题 能用反比例函数解决某 些实际问题 知识点睛 反比例函数的定反比例函数的定义义 函数 为常数 叫做反比例函数 其中叫做比例系数 是自变量 是函数 自变量的取值 k y x k0k kxyx 范围是不等于 0 的一切实数 反比例函数的反比例函数的图图像 像 反比例函数 为常数 的图像由两条曲线组成 每条曲线随着的不断增大 或减小 越来越接近 k y x k0k x 坐标轴 反比例函数的图像属于双曲线 反比例函数与 的图像关于轴对称 也关于轴对称 k y x k y x 0k xy 反比例函数反比例函数图图像的性像的性质质 反比例函数 为常数 的图像是双曲线 k y x k0k 当时 函数图像的两个分支分别位于第一 三象限内 它们关于原点对称 在每一个象限内 随的增0k yx 大而减小 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 2 of 13 当时 函数图像的两个分支分别位于第二 四象限内 它们关于原点对称 在每一个象限内 随的增0k yx 大而增大 注意 注意 反比例函数 的取值范围是 因此 k y x 0k 0 x 图象是断开的两条曲线 画图象时 不要把两个分支连接起来 叙述反比例函数的性质时 一定要加上 在每一个象限内 如当时 双曲线的两支分别在一 三象限 在每一个象限内 随的增大而减小 0k k y x yx 这是由于 即或的缘故 0 x 0 x 0 x 如果笼统地叙述为时 随的增大而增大就是错误的 0k yx 由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零 所以图象和轴 轴都没有交点 但画图时要体现xyxy 出图象和坐标轴无限贴近的趋势 在画出的图象上要注明函数的解析式 重 难点 重点 重点 本节的重点是反比例函数的概念和性质 特别是反比例函数的性质的描述 注意在描述时候不能直接表示成随的增大或减小而增大或减小 一定要yx 强调象限 难点 难点 掌握反比例函数的实际运用 以及反比例函数与一次函数的综合 与几何和 代数的综合 例题精讲 板块一板块一 反比例函数基本概念及图象反比例函数基本概念及图象 1 反比例函数概念反比例函数概念 例例 1 下列关于下列关于的函数中 的函数中 中 一定是反比例函数的有中 一定是反比例函数的有 x 2 y x 4 3 y x k y x 2 2m y x A 1 个个B 2 个个C 3 个个D 4 个个 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 3 of 13 解析解析 显然 是反比例函数 虽然具备反比例函数的形式 但是不满足反比例函数的要求 也就是 不能保证比例常数是一个 非零 常数 具备反比例函数的形式 同时也能保证比例常数k 这是因为是实数 所以 2 20m m 2 0m 2 20m 因此 是反比例函数 例例 2 已知已知是关于是关于的反比例函数 求的反比例函数 求的值及函数的解析式 的值及函数的解析式 2 21 2 mm ymm x xm 解析解析 根据反比例函数也可以写成 可知 0 k yk x 1 0ykxk 2 2 11 20 mm mm 由 得 或 由 得 且 0m 1m 0m 2m 则1m 1 y x 例例 3 已知函数已知函数是是关于关于的反比例函数 求的反比例函数 求的值的值 1 m m y x yxm 解析解析 本题重点考查反比例函数的概念 要求作为分母的是只含有字母的一次单式 在本题中 要求x 的指数等于 1 要求比例常数不等于 0 因为函数是关于的反比例函数 所xm1m 1 m m y x yx 以 又因为比例常数 即 故 当时 函数是11mm 10m 1m 1m 1m 1 m m y x 关于的反比例函数 yx 例例 4 若函数若函数是反比例函数 则是反比例函数 则的值为的值为 1a y x a A 为任意实数为任意实数 B C D a0a 1a 1a 解析解析 错解 选 A 分析 错解没有注意到反比例函数的定义中的限制条件 这里的相当于定义中的 0k 1a k 即 10a 1a 正解 选 D 例例 5 已知已知与与成反比例 当成反比例 当时 时 则 则是是的 的 y 2 x3x 4y yx A 正比例函数正比例函数 B 一次函数一次函数 C 反比例函数反比例函数 D 以上都不是以上都不是 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 4 of 13 解析解析 错解 C 分析 要确定是的哪种函数 则需要根据已知就条件求出是之间的函数关系式 因为 与yxyxy 成反比例 所以设 把代入可求得 所以 根据反比例函数的定义可x 2 k y x 3 4xy 36k 2 36 y x 知 形如 时 是的反比例函数 这里的分母中的指数是 1 次的 而分母中 k y x 0k yxx 2 36 y x 的的指数是 2 次的 所以满足的不是的反比例函数 也不是一次函数 x 2 36 y x yx 正解 D 板块二板块二 反比例函数图象性质反比例函数图象性质 例例 6 在反比例函数在反比例函数图象的每一支曲线上 图象的每一支曲线上 都随都随的增大而减小 则的增大而减小 则的取值范围是的取值范围是 5k y x yxk A B C D 5k 0k 5k 0k 解析解析 由反比例函数 y 都随 x 的增大而减小可以判断图象分布在第一 三象限 因此比例系数的符号5k 是正数 解不等式 即 故应选 A 50k 5k 补充补充 反比例函数反比例函数的图像所在的象限内 的图像所在的象限内 随随增大而增大 则反比例函数的解析式是 增大而增大 则反比例函数的解析式是 2 2 31 m ymx yx A B C 或或 D 不能确定不能确定 4 y x 4 y x 4 y x 4 y x 解析解析 反比例函数的图像所在的每个象限内 随的增大而增大 2 2 31 m ymx yx 2 310 21 m m 1 3 1 m m 1m 例例 7 已知点已知点 在反比例函数在反比例函数 的图像上 其中的图像上 其中 为实数为实数 则这个函 则这个函P1a k y x 0k 2 23amm m 数的图像在第数的图像在第 象限象限 解析解析 点 在反比例函数的图像上 P1a k y x 1 k ak 又 2 2 23122ammm 20ka 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 5 of 13 反比例函数 的图像在第一 三象限 k y x 0k 例例 8 2007 湖南岳阳中考 在下图中 反比例函数湖南岳阳中考 在下图中 反比例函数的图像大致是 的图像大致是 2 1k y x A B C D 解析解析 反比例函数的图像在第一 三象限内 故选 D 2 10k 2 1k y x 例例 9 07 四川绵阳中考四川绵阳中考 若若 是反比例函数是反比例函数图像上的两个点 且图像上的两个点 且 A 1 a 1 bB 2 a 2 b 2 y x 12 aa 则则与与的大小关系是的大小关系是 1 b 2 b A B C D 大小不确定 大小不确定 12 bb 12 bb 12 bb 解析解析 反比例函数的图像在第二 四象限 且在每一象限内 随的增大而增大 2 y x yx 当或时 12 0aa 12 0aa 12 bb 当时 与的大小关系不能确定 选择 D 12 0aa 1 b 2 b 补充补充 2007 山东临沂中考 已知反比例函数山东临沂中考 已知反比例函数的图像在第二 第四象限内 函数图像上有两点的图像在第二 第四象限内 函数图像上有两点 k y x 则 则与与的大小关系为 的大小关系为 12 2 7 5 AyBy 1 y 2 y A B C D 无法确定无法确定 12 yy 12 yy 12 yy 解析解析 由题意可得均在第四象限内 12 2 7 5 AyBy 反比例函数的图像在第二 第四象限内 0k 在每个象限内 随的增大而增大 yx 又 故选 A 2 75 12 yy O y xO y xx y O x y O 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 6 of 13 例例 10 06 年南京市中考题年南京市中考题 若点若点 都是反比例函数都是反比例函数的图的图A1 1 yB2 2 yB 3 y 2 1k y x 像上 试比较像上 试比较 的大小关系的大小关系 1 y 2 y 3 y 解析解析 所以的函数在一 三象限内 易得 2 10k 2 1k y x 231 yyy 补充补充 反比例函数反比例函数的图像上有三点 的图像上有三点 比较 比较 大小大小 3 y x 2 a1 b1cabc 解析解析 在每个象限内 随的增大而增大 30 yx 又 点 在第二象限 2 a1 b21 0ab 又 点 在第四象限 1c0c cab 例例 11 2009 丽水市 如图 点丽水市 如图 点在反比例函数在反比例函数的图象上 且横坐标为的图象上 且横坐标为 2 若将点若将点先先P 1 0yx x P 向右平移两个单位 再向上平移一个单位后所得的像为点向右平移两个单位 再向上平移一个单位后所得的像为点 则在第一象限内 经过点则在第一象限内 经过点的反比例的反比例 P P 函数图象的解析式是函数图象的解析式是 A B C D 5 0yx x 5 0yx x 6 0yx x 6 0yx x P 解析解析 根据题意易得 因为点平移时符合 上加下减 左减右加 则点平移后的坐标为 1 2 2 P P 3 4 2 P 又 故选 D xyk 6k 例例 12 02 年南京市中考题年南京市中考题 反比例函数反比例函数的图象的两个分支分别位于的图象的两个分支分别位于 2 0 k yk x 反比例函数反比例函数的图像所在的象限内 的图像所在的象限内 随随增大而增大 则反比例函数的解析式增大而增大 则反比例函数的解析式 2 2 31 m ymx yx 是是 06 年南京市中考题年南京市中考题 若点若点 都是反比例函数都是反比例函数的的 A1 1 yB2 2 yB 3 y 2 1k y x 图像上 试比较图像上 试比较 的大小关系的大小关系 1 y 2 y 3 y 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 7 of 13 解析解析 所以位于一 三象限 2 0k 根据题意可得 故反比例函数的解析式为 2 310 21 m m 1 3 1 m m 1m 4 y x 所以的函数在一 三象限内 易得 2 10k 2 1k y x 231 yyy 板块三板块三 反比例函数的综合应用反比例函数的综合应用 例例 13 2008 年广东年广东湛江市湛江市 已知三角形的面积一定 则它底边已知三角形的面积一定 则它底边上的高上的高与底边与底边之间的函数关之间的函数关aha 系的图象大致是 系的图象大致是 A B C D 解析解析 根据题意可知 且的定值 又因为线段的长度非负且 a 0 此反比例函数的图像在第一 2s h a 0s 象限 故选 D 例例 14 2007 南充中考 已知反比例函数的图像经过点南充中考 已知反比例函数的图像经过点和和 则 则的值是的值是 3 2 2m m 解析解析 设反比例函数关系式为 k y x 将点代入 求得 3 26k 函数关系式为 6 y x 再 将 点代入关系式 得 可求得 2m 6 2 m 3m 例例 15 2007 广东梅州中考 近视眼镜的度数广东梅州中考 近视眼镜的度数 度 与镜片焦距 度 与镜片焦距 米 成反比例 已知 米 成反比例 已知 400 度近度近yx 视眼镜镜片的焦距为视眼镜镜片的焦距为 0 25 米 则眼镜度数米 则眼镜度数与镜片焦距与镜片焦距之间的函数关系式为之间的函数关系式为 yx h aO h aO h aO h aO 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 8 of 13 解析解析 设此反比例函数的解析式为 k y x 将点代入求得 0 25 400 xy 100k 故其关系式为 100 y x 说明 2006 年江西省中考考过此原题 补充补充 2006 南京市中考 某种灯的使用寿命为南京市中考 某种灯的使用寿命为 1000 小时 它的可使用天数小时 它的可使用天数与平均每天使用的小与平均每天使用的小y 时数时数之间的关系式为之间的关系式为 x 解析解析 由题意可知与成反比 故关系式为 yx 1000 y x 例例 16 2007 安徽芜湖中考 在对物体做功一定的情况下 力安徽芜湖中考 在对物体做功一定的情况下 力 牛牛 与此物体在力的方向上移动的距与此物体在力的方向上移动的距F 离离 米米 成反比例函数关系 其图像如图所示 成反比例函数关系 其图像如图所示 在图像上 则当力达到在图像上 则当力达到 10 牛时 物体在力的牛时 物体在力的s 5 1P 方向上移动的距离是方向上移动的距离是 米米 O P 5 1 s 牛 F 牛 解析解析 设反比例函数关系式为 k F s 将点代入 求得 5 1P5k 此函数关系式为 5 F x 当时 米 10F 0 5x 说明 2006 年仙桃市 潜江市 江汉油田考此题 只是数据有改动 补充补充 2006 郴州市中考 某闭合电路中 电源电压不变 电流郴州市中考 某闭合电路中 电源电压不变 电流与电阻与电阻成反比例 如下图表示成反比例 如下图表示I A R 的是该电路中电流的是该电路中电流 与电阻与电阻之间函数关系的图像 则用电阻之间函数关系的图像 则用电阻表示电流表示电流 的函数解析式为 的函数解析式为 IRRI 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 9 of 13 8 I R 8 I R 4 I R 2 I R 解析解析 设反比例函数关系为 k I R 将点代入 求得 4 2M8k 函数解析式为 8 I R 例例 17 吉林省中考题吉林省中考题 已知点已知点 在函数在函数 的图像上 矩形的图像上 矩形的边的边在在轴上 轴上 是对角线是对角线的的 13 k y x 0 x ABCDBCxEBD 中点 函数中点 函数 的图像经过的图像经过 两点 若两点 若 求 求点的坐标点的坐标 k y x 0 x AE45ABD E D E O CB A y x D E O CB A y x 解析解析 点 在函数的图像上 13 k y x 3k 又也在函数的图像上 故设点的坐标为 E k y x Em 3 m 过点作轴于 则 EEFx F 3 EF m 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 10 of 13 又是对角线的中点 EBD 6 2ABCDEF m 故点的纵坐标为 代入中 得点坐标为 A 6 m 3 y x A 2 m6 m 因此 由 得 22 mm BFOFOBm 45ABD 45EBF BFEF 即有 解得 而 故 则点坐标为 3 2 m m 6m 0m 6m E6 6 2 例例 18 05 年南通中考题年南通中考题 如图 如图 都是等腰直角三角形 点都是等腰直角三角形 点 在函数在函数 11 POA 212 P A A 1 P 2 P 4 y x 0 x 的图像上 斜边的图像上 斜边 都在 都在轴上 求点轴上 求点的坐标的坐标 1 OA 12 A Ax 2 A P2 P1 x y OA2A1 P2 P1 x y O C D A 2 A1 解析解析 分别过点 做轴的垂线 根据题意易得 得 1 P 2 Px 1 PCOC 21 P DAD 1 4PC OC 2 4P D OD 所以 2 4 2OA 2 A4 20 点评 此题最后是关于一元二次方程的形式 学生们不会解析 但是可以通过因式分解中的配方法来解决 这 样学生会更加容易接受 补充补充 2009 湖北黄石 如图所示 湖北黄石 如图所示 111222 P xyP xy 在函数在函数的图象上 的图象上 都是等腰都是等腰 nnn Pxy 9 0yx x 112123231nnn OPAP A AP A AP AA 直角三角形 斜边直角三角形 斜边都在都在轴上 则轴上 则 1121nn OAA AAA x 12n yyy P3 P1 P2 A3A2A1O x y 由已知易得 则 点横坐标为 1 33P 1 3y 2 P 2 6y 那么可得 解得 22 69yy 2 3 23y 2010 年 暑假 短期班 一次函数与反比例函数 第 3 讲 教师版 page 11 of 13 同理点横坐标为 那么可得 3 P 3 6 2y 33 6 29yy 解得 3 3 33 2y 依此类推 的纵坐标为 n P331 n ynn 12 33 233 33 23313 n yyynnn 家庭作业 习题习题 1 已知反比例函数的图象经过点已知反比例函数的图象经过点 则这个函数的图象位于 则这个函数的图象位于 2 1P A 第一 三象限 第一 三象限B 第二 三象限 第二 三象限 C 第二 四象限 第二 四象限D 第三 四象限 第三 四象限 解析解析 设反比例函数的表达式为 把点代入得 因为 所以函数图象在二 四象 k y x 2 1P 2k 0k 限 故选 C 习题习题 2 已知已知 且反比例函数 且反比例函数的图像在每个象限内 的图像在每个象限内 随随的增大而增大 如果点的增大而增大 如果点 3b 1b y x yxa3 在