2020届常德市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省常德市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先用列举法表示集合，再根据交集的定义运算即可【详解】解：，又，故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查集合的表示法，属于基础题2若复数满足，则 （ ）ABCD【答案】C【解析】直接根据复数的模与复数代数形式的运算性质求解【详解】解：，故选：C【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题3双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据双曲线的几何性质求解即可【详解】解：由题意可得，解得，双曲线的标准方程是，故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及其几何性质，属于基础题4等差数列前项和为，则公差 （ ）A-4B-2C2D4【答案】B【解析】直接根据等差数列的前项和公式求解即可【详解】解：，即，又，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题5某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，其4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】计算出基本事件总数及满足条件的基本事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【详解】解：由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为，共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含，共3种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率，故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题6如图，梯形中，为中点，则 （ ）ABCD【答案】C【解析】设为的中点，连接，则四边形为平行四边形，则，再根据平面向量的线性运算即可得出答案【详解】解：设为的中点，连接，且，四边形为平行四边形，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题7若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是 （ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得平移后的函数解析式为，再根据三角函数的对称性即可求出答案【详解】解：，向右平移个单位后的函数解析式为，所得图象关于原点对称，当时，有最小正值，且，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象及其性质，属于基础题8函数的图象大致为 （ ）ABCD【答案】D【解析】排除法，求出函数的定义域可排除A、B，函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数的单调性，从而可得出结论【详解】解：由得且，即且，函数的定义域为，故A、B错；又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，时，由得，令，存在实数，使得，又函数在上单调递增，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；函数在上的单调性应是先递减后递增，故C错，D对；故选：D【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题9九章算术中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，设，设该圆的半径为，由题意得，代入数据即可求出，从而可求出答案【详解】解：由题意，作出示意图得点为弦的中点，则，设，设该圆的半径为，由题意，“弦”指，“矢”指，该弧田的面积为，即，解得，或（舍去），解得，故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理，属于中档题10已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则或；若是异面直线，那么与一定相交；若，则其中所有正确命题的编号是（ ）ABCD【答案】D【解析】以长方体为载体，结合平行与垂直的判定与性质求解【详解】解：画任意一个长方体如图，如图，直线平面，直线平面，平面，平面，但平面与平面相交，故错；若，则在平面内必存在一条直线使得，又，则或与重合，则或，故对；如图，直线平面，直线平面，直线与直线异面，但平面，故错；若，则在平面内且不在平面内必存在一条直线使得，又，则，又，则，则，故对；故选：D【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题11已知 ，且，则下列不等式关系中正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】令，求得，再根据幂函数的单调性即可得出结论【详解】解：令，幂函数在上单调递增，即，故选：B【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，考查根据幂函数的单调性比较大小，属于中档题12已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，则椭圆的离心率为 （ ）ABCD【答案】C【解析】设，由余弦定理求得，从而，从而求得直线的方程，联立直线与圆的方程求得点的坐标，利用焦半径公式即可求出离心率【详解】解：由题意，由题意有，则，设，由余弦定理得，则，直线的方程为，又圆的标准方程为，联立解得，或，由焦半径公式得，化简得，方程两边同时除以得，解得，或（舍去），故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查焦半径公式，考查余弦定理解三角形，考查计算能力与推理能力，属于难题二、填空题13若实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】4.【解析】画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可求出答案【详解】解：由题意，实数满足的约束条件的可行域如图由得点，目标函数变形得，则由图可知，当直线经过时，目标函数取得最大值，故答案为：4【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题14曲线在处的切线方程为_【答案】.【解析】根据导数的几何意义求解即可【详解】解：，当时，曲线在处的切线方程为：即，故答案为：【点睛】本题主要考查根据导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题15某圆柱的高为2，体积为，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为_【答案】.【解析】根据球心，圆柱底面圆心，圆柱与球的一个交点连成一个直角三角形，解直角三角形即可得球的半径，从而算出球的表面积【详解】解：由题意作出示意图，设圆柱底面半径为，球的半径为，圆柱的高为2，体积为，得，此球的表面积，故答案为：【点睛】本题主要考查球与圆柱的关系、球的表面积，属于基础题16已知的内角的对边长成等比数列，（1）则_（2）若延长至使得，当面积的最大值为时，则_.【答案】. 2. 【解析】由题意得，得，由可得，从而，即，解方程即可求出，结合余弦定理得，再根据面积公式以及基本不等式即可求出【详解】解：成等比数列，由正弦定理得，又，且，即，即，或（舍去），又由余弦定理得，的面积，当且仅当即时等号成立，故答案为：，【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查基本不等式，考查计算能力，属于难题三、解答题17由国家统计局提供的数据可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入（单位：万元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号1234567人均可支配收入1.651.832.012.192.382.592.82（1）求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2019年中国居民人均可支配收入附注：参考数据：，参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，【答案】（1）；（2）2.97万元.【解析】（1）由题意求出，再代入公式即可求出答案；（2）由（1）中的回归方程的斜率可知2012年至2018年中国居民人均可支配收入逐年增加，再把代入方程即可求出答案【详解】解：（1）由题可知：，故所求线性回归方程为；（2）由（1）中的回归方程的斜率可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入逐年增加；令得：，所以预测2019年中国居民人均可支配收入为2.97万元【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法及作用，考查计算能力，属于基础题18设数列的前项和为，已知.（1）求通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可求得，再由得，从而，由此可得数列的通项公式；（2）结合等差数列和等比数列的前项和公式，直接用分组求和法求解即可【详解】解：（1），由得，从而知，又当时，也符合，故；（2），【点睛】本题主要考查数列的递推公式求通项公式，考查分组求和法，考查计算能力，属于基础题19如图，在三角形中，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意可知平面，则，又，再根据线面垂直的判定与性质即可得出结论；（2）由题意得，由此可得当为半圆弧的中点时体积有最大值，从而求出答案【详解】（1）证：因为平面与半圆所在的平面垂直，交线为，又，即，所以垂直于半圆所在平面，而在半圆平面内，故，又为直径，点为半圆弧上一点，故，且，因此平面，又平面，所以；（2）解：由题意知，点为的中点，所以点到半圆面的距离是点到半圆面距离的一半，因此，而（其中为点到的距离），当点为半圆弧的中点时，最大，且最大值为1，因此的最大值为2，故三棱锥体积的最大值为【点睛】本题主要考查线面垂直的的判定与性质，考查等体积法求三棱锥的体积，属于基础题20已知抛物线，是上两点，且两点横坐标之和为4，直线的斜率为2.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出答案；（2）利用导数可得，结合（1）中韦达定理表示出，解方程即可得出结论【详解】解：（1）设直线方程为：，联立消元得，则，则，所以曲线方程为；（2）设，曲线，则，求导得，曲线在点处的切线与直线平行可得：，所以，由（1）可得：，则，且，解得，直线方程为：【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题21已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求证：当时，.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求导得，再分类讨论结合导数的意义即可得出答案；（2）由题意只须证，根据导数求单调性与最值即可得出答案【详解】解：（1）函数，定义域为，所以，当时，在单调递减；当时，令，则，解得，在单调递增；令，则，解得；在单调递减；综上：当时，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减；（2）要证当时，只须证：，而，因此，只要证：，设，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，即；所以当时，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分析能力与计算能力，属于中档题22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任一点作与夹角为30的直线，交于点，且的最大值为，求的值.【答案】（1），；（2）或.【解析】（1）先求出曲线与直线的直角普通方程，再联立解方程组即可求出答案；（2）由题意设曲线的参数方程为（为参数），再根据点到直线的距离公式，结合三角函数的性质求解即可【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为：，当时，直线的普通方程为，由解得或，从而与的交点坐标为，；（2）的普通方程为，的参数方程为（为参数），故上任一点到的距离为则，当时，的最大值为，所以；当时，的最大值为，所以.综上，