数理统计复习题试题习题.doc

数理统计练习题 1设是总体的样本，已知，未知，则不是统计量的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选C. 2设总体为来自的样本，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：相互独立且均服从 故 即 则 选C. 3设是总体的样本，和分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： ， B错 . A错. 选C. 4设是总体的样本，是样本均值，记 ，则服从自由度为的分布的随机变量是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 选B. 5设是来自的样本，为其样本方差，则的值为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 由分布性质： 即 选C. 6设总体的数学期望为是来自的样本，则下列结论中正确的是（ ）. （A）是的无偏估计量； （B）是的极大似然估计量； （C）是的一致（相合）估计量； （D）不是的估计量. 解：是的无偏估计量. 选A. 7设是总体的样本，是样本均值，是样本方差，则（ ）. （A）； （B）与独立； （C）； （D）是的无偏估计量. 解：已知总体不是正态总体 （A）（B）（C）都不对. 选D. 8设是总体的样本，则（ ）可以作为的无偏估计量. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 选A. 9设总体服从区间上均匀分布，为样本， 则的极大似然估计为（ ） （A）； （B） （C） （D） 解： 似然正数 此处似然函数作为函数不连续 不能解似然方程求解极大似然估计 在处取得极大值 选C. 10设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量. （ ）解：，所以是的无偏估计，应选（A）.11设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 （A） （B） （C）（D） 解：因为方差已知，所以的置信区间为 应选D.12设总体 X N ( m , s2 ),其中s2已知，则总体均值的置信区间长度L与置信度1-的关系是(a) 当1- 缩小时，L缩短.(b) 当1- 缩小时，L增大.(c) 当1- 缩小时，L不变.(d) 以上说法均错.解：当s2已知时，总体均值的置信区间长度为当1- 缩小时，L将缩短，故应选（a)13设总体 X N ( m1 , s12 ), Y N ( m2 , s22 ) ,X和Y相互独立，且 m1 , s12 ，m2 , s22 均未知,从X中抽取容量为n1 =9的样本，从Y中抽取容量为n2 =10的样本分别算得样本方差为 S12 =63.86， S22=236.8对于显著性水平=0.10（0 1）,检验假设H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 则正确的方法和结论是 (a) 用F检验法,查临界值表知F0.90(8 ，9)=0.40, F0.10(8,9)=2.47 结论是接受H0(b) 用F检验法,查临界值表知F0.95(8,9)=0.31, F0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H0 (c) 用t检验法,查临界值表知t0.05(17)=2.11结论是拒绝H0 (d) 用2检验法,查临界值表知2 0.10(17)=24.67结论是接受H0解：这是两个正态总体 均值未知时，方差的检验问题，要使用F检验法。在假设H0 : s12 = s22 是双侧检验问题，选(b)14机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n1和n2的样本，并且已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是(a) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 m 2 (b) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 m 2 (c) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 (d) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C)15在求参数的置信区间时，置信度为90%是指（ ）（a） 对100个样品，定有90个区间能覆盖 （b） 对100个样品，约有90个区间能覆盖 （c） 对100个样品，至多有90个区间能覆盖（d） 对100个样品，只能有90个区间能覆盖 答：选(b)16收集了n 组数据 画出散布图，若n 个点基本在一条直线附近时，称这两变量间具有（ ）（a） 独立的关系 （b） 不相容的关系 （c） 函数关系 （d） 线性相关关系 答：选(d)17设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ）解： 即 ，亦即 .18设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_. 解：的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为（）.19最小二乘法的基本特点是使回归值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是。答：实际观测值；函数的极值原理。20某单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A1下进行 5 次重复试验，在水平A2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ）。答：10数理统计的基本概念 1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 ， 2加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体，则，其概率密度为 于是样本的密度为 3证明若，则 证 因，所以可表示为，其中相互独立，且均服从，于是 4已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 .5设是来自正态总体的简单随机样本，求常数，使得. 解 所以当时6设是分布的容量为的样本，试求下列统计量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ，所以 （1） （2） 7设是来自总体的样本，试求统计量的分布。 解 ，于是 8从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应多大？ 解 即 ，查正态分表得即.故样本容量至少应为35。 9求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解 设和为两个独立样本的均值，则，于是即 . 参数估计 1对某一距离进行5次测量，结果如下： （米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计. 解 的矩估计为，的矩估计为 ， 所以 2设总体具有密度 其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，求的矩估计 解 ，解出得 于是的矩估计为 . 3设总体的密度为 试用样本求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计：解出得 所以的矩估计为 . 再求极大似然估计： ， ， ，解得的极大似然估计： . 4设总体服从指数分布 试利用样本求参数的极大似然估计. 解 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为 5设来自几何分布 ，试求未知参数的极大似然估计. 解 ， 解似然方程 ，得的极大似然估计 。 6. 设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。 证 （此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。 7设总体，是来自的样本，试证估计量 ；， .都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 故都是的无偏估计. , ， .所以最有效. 8设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计. 证 ， 证毕. 9从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望的置信度为0.90的置信区间。 （1）已知厘米； （2）为未知. 解 （1）的置信区间为 的置信区间为； （2）的置信区间为 的置信区间为. 10生产一个零件所需时间（单位：秒），观察25个零件的生产时间，得，试以0.95的可靠性求和的置信区间. 解 的置信区间为 其中 所以 的置信度0.95下的置信区间为 的置信区间为 所以的置信区间为 . 11零件尺寸与规定尺寸的偏差，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。 解 的无偏估计为 的无偏估计为 的置信区间为 所以 的置信度为0.90的置信区间为； 的置信区间为 所以的置信度0.90下的置信区间为 . 12对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下： 品种A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间. 解 此题是在的条件下求的置信区间. 的置信区间为 其中 .所以的置信度为0.95下的置信区间为 . 13设和两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得，若批导线的电阻服从分布，批导线的电阻服从，求的置信度为0.90的置信区间. 解 的置信区间为 其中 .所以 的置信度0.90下的置信区间为. 14从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计算得平均值，标准差，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间。 解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极限定理近似服从，对于给定的，查正态分布表，求出临界值使 即的置信区间为 . 15在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的置信区间（置信度近似为0.95） 解 设次品率为，100件产品中的次品数为，由教材163页知，的置信区间为，其中 此处 本题中 ， 于是的置信度近似为0.95的置信区间为 . 假设检验 1一台包装机装奶粉，额定标准重量为500，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态，其中=15，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得奶粉净重数据如下（单位：）497 506 518 524 488 517 510 515 516若取显著性水平，问这包装机工作是否正常？解 建立假设； 检验统计量为当成立时，有，否定域为：由，查标准正态分布表，得将样本观测值带入计算得故否定，接受，认为产品重量均值不再等于500克亦即认为包装机工作不正常 2糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 问该日打包机工作是否正常（；已知包重服从正态分布）？ 解 ， 问题是检验假设 的否定域为.其中 因为 所以接受，即该日打包机工作正常.3设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受. 4某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为：设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为？ 解 问题是在未知的条件下检验假设 的否定域为 因为 所以接受，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25. 5按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素的含量（单位：毫克）如下 已知维生素的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 解 设为维生素的含量，则，. 问题是检验假设 （1）. （2）选择统计量并计算其值： （3）对于给定的查分布表求出临界值. （4）因为。所以接受，即认为维生素含量合格. 6某种合金弦的抗拉强度，由过去的经验知（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（） 解 ，. 问题是检验假设 （1）. （2）选统计量并计算其值. （3）对于，查分布表，得临界值. （4）因，故否定即认为抗拉强度提高了。 7从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的有无显著差别？（，椭圆度服从正态分布）。 解 ，问题是检验假设. （1）. （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为所以接受，即总体方差与规定的无显著差异。 8从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（，熔化时间服从正态分布）. 解 ， 问题是检验假设. （1）； （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因，故接受，即可以认为方差不大于80。 9对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125； 第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。 解 设第一、二种织品的强度分别为和，则 问题是检验假设 （1） （2）选统计量并计算其值. （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。 10在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为 旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（） 解 设为新品种产量，为旧品种产量；，问题是检验假设 ， ， 选统计量并计算其值： 对给定的，查分布表得临界值. 因为故接受，即新品种高于旧品种. 11两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？ 解 问题是检验假设 选统计量并计算其值 对给定的查分布表得临界值，. 因 故接受，即无显著差异. 12一颗骰子掷了120次，得下列结果：点 数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（） 解 用表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设 这里， ，故 查分布表，得临界值因为故接受，即骰子匀称。 15 方差分析回归分析 1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩 水 率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 解 ，查附表5得.序号 12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.337.5147.9475.24470.89998.561246.091406.254597.03131.82112.24252.34316.03358.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差来源平方和自由度均方值工 艺误 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总 和77.2019因为，所以工艺对缩水率有显著影响. 2灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？（）试验号寿 命1234567816001610165016801700172018001850164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680 解 ，查附表5得 为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表寿命序号12345678015810122025441015145024614229873085658291912431363364841361448672.8105.12560.1671286.0927349829572642937 ， ， ， 方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配 料误 差6.94716.5093222.3130.7273.18总 和23.45625因为，故不显著.3在钢线碳含量对于电阻时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据0.010.300.400.550.700.800.951518192122.623.826 设对于给定的为正态变量，且方差与无关. （1）求线性回归方程; （2）检验回归方程的显著性； （3）求的置信区间（置信度为0.95）； （4）求在处的置信度为0.95的预测区间. 解 我们用下表进行计算序号12345670.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8260.010.090.160.30250.490.640.9025225324361441510.76566.446761.55.47.611.5515.8219.0424.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.77 , , , , （1） , ， 所以回归方程为 （2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方 差 分 析 表方差来源平方和自由度均 方F值回 归1剩 余5总 和6其中 . 查F分布表求出临界值 因为 所以回归方程高度显著. （3）由公式知，的置信度为下的置信区间为此处, . 所以的置信度为0.95下的置信区间为（11.112, 13.987） （4）, . 故在处的置信度为0.95的置信区间为 4在硝酸钠的溶解度试验中，对不同的温度测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量的观测值如下：041015212936516866.771.076.380.685.792.999.6