高考中立体几何与三棱柱

1.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知直三棱柱中，为的中点。（）求异面直线和的距离；（）若，求二面角的平面角的余弦值。 【解析】（）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为（）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以，因此得从而所以在中，由余弦定理得2.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点CBADC1A1()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【答案】3.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ，=（）证明;（）已知AB=2，BC=，求三棱锥的体积【答案】 4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）5.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面6. （2013新课标）18（本小题满分12分）如图，直棱柱中，分别是的中点， （）证明：平面； （）求二面角的正弦值7. （2013新课标1卷18）如图，三棱柱中，ABCC1A1B1,（1）证明：；（2）若平面平面,，求直线与平面所成角的正弦值解：（）取AB中点E，连结CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 12分8.（2013北京卷理17）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.C1B1A1CBA（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。 解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(II)由（I）知AA1 AC，AA1 AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以ABAC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为，则,即，令，则，所以.同理可得，平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得.因为，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.9.（2013四川卷理19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（）设（）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值解：如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外,。在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,/平面.由已知,是的中点,所以,则直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. .6分解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为).设,则由,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中, ;在中, .从而,所以.所以.故二面角的余弦值为. 12分解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为. 12分10. （2013湖南卷文17）如图，在直棱柱中，,是中点，点在棱上运动。ABCDA1B1C1E（1）证明：；（2）当异面直线所成的角为时，求三棱锥的体积。 解： () .(证毕)（）.11. （2013新课标2卷文18）如图，直三棱柱中，分别的中点。